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| Formeln Logik | Deflationismus Vs Beweistheorie | Field I 100 VsDeflationismus: Problem: wie rechtfertigt man die Nützlichkeit des Schließens auf metalogischer Ebene statt auf der Objekt Ebene? Beweistheorie: hier insbesondere gibt es gar keine Objektebene! Objektebene: hier machen die Aussagen keine Referenz auf Sätze oder Formeln. Oder abstrakte Analoga davon wie Propositionen). Und damit auch nicht auf Axiome, Schlußregeln oder Ableitungen. Problem: wie können wir dann die Anwendbarkeit (Nützlichkeit) von beweistheoretischem Schließen zeigen? I 101 DeflationismusVsBeweistheorie: da diese mit mathematischen Entitäten arbeitet, kann der Deflationist nicht annehmen, daß wir überhaupt Wissen von ihr erhalten. Wie kann der Deflationist dennoch ihre Nützlichkeit zeigen? 1. wir müssen die normalen Definitionen beweistheoretischer Begriffe zurückweisen und welche ohne Referenz auf mathematische Entitäten (mE) finden. a) wir brauchen eine hinreichend kraftvolle Theorie aktualer Inskriptionen, ohne Modalität: mit einer solchen Theorie könnten wir Begriffe wie "e ist eine wohlgeformte Inskription", "e und f sind typ identische Inskriptionen" , "d ist (eine Inskription, die) eine Ableitung (enthält in bezug auf System F)", sowie verschiedene Prädikate von Inskriptionen, die diese strukturell beschreiben (z.B. von einem bestimmten Inskriptions Typ A zu sein). Das könnte in Logik 1. Stufe ausgeführt werden. b) wir müssen eine modale Extension schaffen: in der wir z.B. "A ist ableitbar" verstehen als "es ist möglich, daß es eine Ableitung gibt, deren letzte Zeile eine A-Inskription ist". VsPlatonismus: also nicht: "es existiert aktual ein bestimmter Typ abstrakter Sequenzen abstrakter Analoga der Symbole. Field: damit soll kein neuer Typ von Möglichkeit neben logischer Möglichkeit eingeführt werden außer wenn wir sie aus strikter logischer Möglichkeit plus anderen akzeptablen Begriffen definieren können. Problem: 1. logische Möglichkeit ist gänzlich anti essentialistisch. (?). ((s) Nimmt nichts als wesentliches Substrat an? Als Wesen, als Entität?) Field: das bringt ein Problem für die Übersetzung von Sätzen, wo "ableitbar" im der Reichweite des Quantors liegt. (s) "Es gibt etwas, (eine Entität) das ableitbar ist". Field: Bsp "er äußerte eine ableitbare Inskription" wäre immer falsch in einer naiven Übersetzung. I 102 Lösung: substitutionale Quantifikation. (ungleich Kripke/Wallace). 2. Problem: die Konsistenz mit axiomatischer Beweistheorie ist nicht hinreichend für Beweisbarkeit im normalen Sinn: Unvollständigkeits Theoreme liefern Fälle von unbeweisbaren Formeln, wo die Behauptung, daß es einen Beweis gibt konsistent ist mit der Beweistheorie. Lösung: für die Beweisbarkeit von A ...Existenz eines Beweises kompatibel sein mit einer (nominalistischen oder platonistischen) Beweistheorie die in einer kraftvollen Logik aufgestellt ist, die Ableitungen ausschließen kann, die nicht echt endlich sind. z.B. eine Logik mit einem Quantor "es gibt nur endlich viele" oder mit substitutionalem Quantor. stärker/schwächer/(s): stärker: eine Logik, die unendliche Ableitungen ausschließt. |
Field I H. Field Realism, Mathematics and Modality Oxford New York 1989 Field II H. Field Truth and the Absence of Fact Oxford New York 2001 Field III H. Field Science without numbers Princeton New Jersey 1980 Field IV Hartry Field "Realism and Relativism", The Journal of Philosophy, 76 (1982), pp. 553-67 In Theories of Truth, Paul Horwich Aldershot 1994 |
| Formeln Logik | Prior Vs Frege, G. | I 50 Wahrheitswert/PriorVsFrege: Problem: der Begriff "Wahrheitswert" (WW): ist von ihm erfunden worden, aber ursprünglich für mathematische Zusammenhänge. Wert: "größer als 0" zu sein, ist strikt gesprochen nicht der "Wert" einer Funktion für ein gegebenes Argument. Der Wert für dieses Argument ist nicht eine Eigenschaft einer Zahl (z.B. > 0 zu sein). Sondern eine Zahl!. Der Wert einer Funktion ist verschieden für verschiedene Argumente und ist nicht die ganze Kollektion (Frege: Wertverlauf!) von Werten. Frege: Sätze bezeichnen Gegenstände, die Wahrheit und Falschheit genannt werden. Und zwar in der gleichen Weise wir Zahlennamen (numerals, Zahlwort) und Formeln die Zahlennamen enthalten, Zahlen bezeichnen. Welche Zahl von einem gegebenen Funktionsausdruck bezeichnet wird, hängt davon ab, welche Zahl von dem Argumentausdruck bezeichnet wird, und von nichts anderem. Prior: wenn die Analogie halten soll, muss, ob Wahrheit oder Falschheit bezeichnet wird, davon abhängen, was von dem Argumentsatz ((s) dem zitierten Glauben) bezeichnet wird, und von nichts sonst. ((s) Also müsste immer geglaubt werden, dass Gras grün ist, einfach, weil es wahr ist - absurd.) Prior: Bsp dass es nicht der Fall ist, dass Gras pink ist, so wie 2 - 1 > 0 ist, (und auch andere Dinge, wie z.B. sein eigenes Quadrat ist!) das soll nach Frege nicht bloß "wahr" sein, sondern "das Wahre". Das soll der Tatsache entsprechen, dass 2 - 1 nicht nur "> 0" ist sondern die Zahl 1! I 51 Und das es nicht der Fall ist dass Gras pink ist ist "das Wahre" (Wahrheit) genau deshalb, weil dass Gras pink ist "das Falsche" ist. Analogie: "das Falsche" wie: (1+1) 1 ist die Zahl 1 genau weil 1+1 die Zahl 2 ist weil dass Gras pink ist ist das Falsche genau wie (3-1) 1 die Zahl 1 ist, weil 3-1 die Zahl 2 ist. Es gibt nicht verschiedene Wahrheiten. . PriorVsFrege: alles das folgt, wenn Freges Analogie stimmt. Aber natürlich ist sie falsch. Wahrheit und Falschheit sind mehr wie Eigenschaften von dem, was Sätze bezeichnen. Das wollte Frege vermeiden. Aber wir haben oben gesagt, dass Sätze nichts bezeichnen. Propositionen/Prior: haben nur Pickwicksche Bedeutung! (WittgensteinVsBroad: (Wittgenstein II 94): Es gibt nicht eine "besondere" Bedeutung neben der "gewöhnlichen" Bedeutung.) Prior: aber wir wissen genug, um zu sehen, dass das harmlos ist. Wir wissen, was es heißt, dass 1 > 0 ist, nämlich, da für jedes φund jedes ψ, wenn genau ein Ding φt und kein Ding ψt, dann φ-en mehr Dinge als ψ-en. Das ist eine Definition von "mehr als". I 51/52 Funktion/Satz/Prior: es ist eine Funktion des Sinnes von "Gras ist pink", durch den Satz "X glaubt, dass Gras pink ist" ausgedrückt zu werden. Unterscheidung ohne Unterschied/Prior: aber das macht keinen Unterschied! Dass das nicht der Fall ist, ist genau das, was den Glauben falsch macht. Es gibt kein Ding , das mit "Gras ist pink" bezeichnet wird. (VsFrege: also auch nicht "das Falsche", das hat Frege aber auch nicht so gemeint). Wahrheitsfunktionen und Glaubensfunktionen sind Funktionen desselben Arguments! Def Proposition/(Gedanken?)/Church: haben die Eigenschaft, "der Begriff von Wahrheit oder Falschheit zu sein". Gedanken/PriorVsFrege: unter den Funktionen seiner Gedanken haben wir solche, die aufeinander bezogen sind, genau wie die Funktionen des Wahren und des Falschen aufeinander bezogen sind und letzteres können wir als überflüssig weglassen. Aber den Stein, den wir über Bord geworfen haben, haben die Extensionalisten zu einer Wegmarke gemacht! PriorVsFrege: Fazit: Sätze bezeichnen überhaupt nichts, und auch nicht "das Wahre" oder "das Falsche". Extensionalismus/Prior: These: Sätze hätten Wahrheitswerte als ihre "Extension". I 53 PriorVs: das haben sie genauso wenig, wie Prädikate Klassen als Extension haben. Denn Wahrheitswerte und Klassen sind beides logische Konstruktionen und zwar sehr ähnliche! Und keine "Gegenstände". (PriorVsPlatonismus, Vs Existenz von Klassen und Warheitswerten als Gegenständen). Namen/Variablen/Prior: es gibt eine Doktrin unter amerikanischen Logikern dass jede gebundene Variable für einen Namen steht. PriorVs: das ist ein zu exzentrisches Kriterium für Namen. Ontologie/Individuum/Prior: kombiniert in Wirklichkeit die Maxime, dass nur Individuen real sind, mit der Sichtweise, dass der einzige Weg, wie wir Individuen linguistisch zu fassen kriegen ist, sie als Anwendungen von Substantiven zu behandeln. Und dass ihre Anwendung einzigartig ist, ist etwas, das innerhalb des Systems ausgedrückt werden kann, und zwar nicht mit Russellschen logischen Eigennamen (dies, oder Kennzeichnungen), I 166 sondern mit Lesniewskis Funktor "e" oder "Das __ ist ein __". Kennzeichnung/Frege: bei ihm ist der Ausdruck " das soundso" selbst ein Individualname (individueller Name, singulärer). PriorVsFrege: es gibt überhaupt keine individuellen Namen! Stattdessen kommt der Ausdruck als Teil eines längeren Funktors vor, der die Individuation vornimmt. "Dies"/Oxford/Prior: viele dort sind nicht glücklich über Russellsche logische Eigennamen. |
Pri I A. Prior Objects of thought Oxford 1971 Pri II Arthur N. Prior Papers on Time and Tense 2nd Edition Oxford 2003 |
| Formeln Logik | Quine Vs Frege, G. | Quine I 425 VsFrege: Tendenz zu Gegenstandsorientierung. Tendenz, Sätze Namen anzugleichen und dann Gegenstände zu setzen, die sie benennen sollen. Quine I 209 Identität/Aristoteles/Quine. Aristoteles dagegen hat die Dinge richtig gesehen: "was immer von dem einen prädiziert wird, sollte auch von dem anderen prädiziert werden." QuineVsFrege: auch Frege in "Über Sinn und Bedeutung" falsch. QuineVsKorzybski: nochmalige Verdoppelung: Korzybski "1=1" muss falsch sein, weil linke und rechte Seite der Gleichung räumlich verschieden! (Verwechslung von Zeichen und Gegenstand) "a =b": Wenn man sagt, a=b ist nicht identisch, denn der erste Buchstabe des Alphabets kann nicht der zweite sein: Verwechslung von Zeichen und Gegenstand. Gleichung/Quine: die meisten Mathematiker würden Gleichungen gerne so ansehen, als setzten sie Zahlen zueinander in Beziehung, die irgendwie gleich aber doch auch verschieden sind. Whitehead hat diese Ansicht einmal verteidigt: 2+3 und 3+2 seien nicht identisch, die unterschiedliche Reihenfolge führe zu unterschiedlichen Gedankenprozessen.(QuineVs) . I 264 nach Russell "Propositionale Einstellungen": glaubt, sagt, bemüht sich, dass, macht geltend, ist überrascht, befürchtet, wünscht, usw... I 265 Propositionale Einstellungen schaffen opake Kontexte, in die nicht hineinquantifiziert werden darf. (>) Man darf hier nicht einen sing Term durch einen gleichbezeichnenden Term ersetzen, ohne den Wahrheitswert in Mitleidenschaft zu ziehen. Auch nicht einen allgemeiner Term durch einen gleichumfassenden. Auch Querverweise aus opaken Kontexten heraus sind verboten. I 266 Frege: in einer Konstruktion mit einer propositionalen Einstellung darf ein Satz oder Terminus keine Wahrheitswerte, keine Klasse und kein Individuum bezeichnen, sondern funktioniert als "Name eines Gedankens" oder Name einer Eigenschaft oder eines "Individuenbegriffs". QuineVsFrege: ich lasse mich auf keinen dieser Schritte ein. Die Störung der Ersetzbarkeit verbiete ich nicht, sondern sehe darin nur einen Anhaltspunkt für eine nichtbezeichnende Funktion. II 201 Frege betonte den "ungesättigten" Charakter der Prädikate und Funktionen: sie müssen durch Argumente ergänzt werden. (Bedenken gegen verfrühte Vergegenständlichung von Klassen oder Eigenschaften). QuineVsFrege: Frege hat nicht erkannt, dass man allg Term schematisieren kann, ohne dass man Klassen oder Eigenschaften reifiziert. Damals war die Unterscheidung zwischen Schemabuchstaben und quantifizierbaren Variablen noch unklar. II 202 "so dass" ist ontologisch harmlos. Trotz der traurigen Geschichte der Verwechslung von allgemeinen Termini und Klassennamen, schlage ich vor, die Schreibweise für den harmlosen Relativsatz aus der Mengenlehre zu nehmen und zu schreiben: "{x:Fx} und "ε" für die harmlose Kopula "ist ein". (Enthaltensein) (Also die Umkehrung von "so dass"). Dann bestreiten wir einfach, damit auf Klassen Bezug zu nehmen! Eigenschaften specken wir ab, sie werden wegen der wohlbekannten Vorteile der Extensionalität zu Klassen. Die Quantifikation über Klassen begann mit einer Verwechslung des Allgemeinen mit dem Singulären. II 203 Man erkannte später, dass nicht jedem allg Term seine Klasse zukommen könne, wegen der Paradoxien. Die Relativsätze (geschrieben als Terminusabstrakta "{x:Fx}") oder so dass Sätze konnten auch weiterhin in der Eigenschaft allgemeiner Termini ohne Einschränkung weiter fungieren, doch einigen von ihnen konnte man nicht gestatten, als Klassennamen eine Doppelfunktion auszuüben, während andere das konnten. Entscheidend ist, welche Mengenlehre man übernehmen will. Bei der Spezialisierung eines quantifizierten Ausdrucks darf eine Variable nicht durch ein Abstraktum wie "{x:Fx}" ersetzt werden. Ein solcher Schritt würde eine Prämisse der Form (1) voraussetzen, und das wäre eine höhere Form der Logik, nämlich Mengenlehre: (1) (Ey)(y ={x:Fx}) Diese Prämisse sagt uns, dass es eine solche Klasse gibt. Und an diesem Punkt geht die Mathematik über die Logik hinaus! III 98 Term/Terminologie/Quine: "Termini" hier als allgemeine absolute Termini, in Teil III einstellige Prädikate. III 99 Termini sind niemals Sätze. Term: ist neu in Teil II, weil wir erst hier beginnen, Sätze zu zerlegen. Zutreffen: Termini treffen zu. Kentaur/Einhorn/Quine: "Kentaur" trifft auf jeden Kentauren zu und sonst gar nichts, also auf gar nichts, da es keine Kentauren gibt. III 100 Zutreffen/Quine: Problem: "böse" trifft nicht auf die Qualität der Bosheit zu und auch nicht auf die Klasse der bösen Menschen, sondern nur auf jeden einzelnen bösen Menschen. Term/Extension/Quine: Termini haben Extensionen, aber ein Term ist nicht die Bezeichnung seiner Extension. QuineVsFrege: ein Satz ist nicht die Bezeichnung seines Wahrheitswertes (WW). ((s) Frege: "bedeutet" - nicht "bezeichnet"). Quine: Vorteil: dann müssen wir keine abstrakten Klassen annehmen. VII (f) 108 Variablen/Quine: "F" usw.: nicht bindbar! Sie sind nur Scheinprädikate, Leerstellen im Satzdiagramm. "p", "q", usw.: stehen für ganze Aussagen, sie werden manchmal so angesehen, als brauchten sie Entitäten, deren Namen diese Aussagen sind. Proposition: diese Entitäten werden manchmal Propositionen genannt. Das sind eher hypothetische abstrakte Entitäten. VII (f) 109 Frege: alternativ: seine Aussagen benennen immer die eine oder die andere von genau zwei Entitäten: "das Wahre" oder "das Falsche". Die Wahrheitswerte. (Frege: Aussagen: Namen von WW.) Quine pro Frege: besser geeignet, um das Ununterscheidbare zu unterscheiden. (s.o.: Maxime, WW ununterscheidbar im propositionalen Kalkül (s.o. VII (d) 71). Propositionen/Quine: wenn sie notwendig sind, sollten sie besser als Namen von Aussagen angesehene werden. Alltagssprache/Quine: am besten kehren wir zur Alltagssprache zurück: Namen sind eine Art von Ausdruck und Aussagen eine andere! QuineVsFrege: Sätze (Aussagen) müssen nicht als Namen angesehen werden und "p", "q" nicht als Variablen, die Entitäten als durch Aussagen benannte Entitäten als Werte annehmen. Grund: "p", "q" usw. sind keine gebundenen Variablen! Bsp "[(p > q) . ~p] > ~p" ist kein Satz, sondern ein Schema. "p", "q", usw.: überhaupt keine Variablen in dem Sinne, dass sie Werte annehmen könnten! (VII (f) 111) VII (f) 115 Namen/QuineVsFrege: es gibt keinen Grund, Aussagen als Namen von Wahrheitswerten oder überhaupt als Namen zu behandeln. IX 216 Induktion/Fregesche Zahlen: diese sind anders als die von Zermelo und von von Neumann gegen den Ärger mit der Induktion gefeit (zumindest in der TT), und mit ihnen müssen wir sowieso in NF arbeiten. New Foundations/NF: ist aber wesentlich eine Abschaffung der TT! Problem: die Abschaffung der TT lädt einige unstratifizierte Formeln ein. Damit kann der Ärger mit der Induktion wieder auftreten. NFVsFrege: ist andererseits befreit von dem Ärger mit der Endlichkeit, den die Fregesche Arithmetik in der TT berührte. Dort wurde ein UA gebraucht, um die Eindeutigkeit der Subtraktion zu gewährleisten. (Sonderzeichen) Subtraktion/NF: hier gibt es kein Problem der Uneindeutigkeit, denn NF hat unendliche Klassen - vor allem ϑ - ohne ad hoc-Forderungen. Ad 173 Anmerkung 18: Sätze/QuineVsFrege/Lauener: benennen nicht! Daher können von ihnen keine Namen (durch Anführungszeichen) gebildet werden. XI 55 QuineVsFrege/Existenzgeneralisierung/Modallogik/notwendig/Lauener: Lösung/FregeVsQuine: das ist ein Fehlschluss, weil in ungeraden Kontexten eine Verschiebung zwischen Bedeutung und Sinn stattfindet. Hier referieren Namen nicht auf ihren Gegenstand, sondern ihren normalen Sinn. Das Substitutionsprinzip bleibt nämlich gültig, wenn wir für „)“ einen synonymen Ausdruck einsetzen. QuineVsFrege: 1. wir wissen nicht, wann Namen gleichbedeutend sind. (Synonymie). 2. in Formeln wie Bsp „(9>7) u N(9>7)“ kommt „9“ sowohl innerhalb als auch außerhalb des MO vor. So dass durch existentielle Generalisierung (Ex)((9>7) u N(9>7)) herauskommt und das ist unverständlich. Denn die Variable x kann in der Matrix nicht beide Male für das gleiche Ding stehen. |
Quine I W.V.O. Quine Wort und Gegenstand Stuttgart 1980 Quine II W.V.O. Quine Theorien und Dinge Frankfurt 1985 Quine III W.V.O. Quine Grundzüge der Logik Frankfurt 1978 Quine V W.V.O. Quine Die Wurzeln der Referenz Frankfurt 1989 Quine VI W.V.O. Quine Unterwegs zur Wahrheit Paderborn 1995 Quine VII W.V.O. Quine From a logical point of view Cambridge, Mass. 1953 Quine VII (a) W. V. A. Quine On what there is In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (b) W. V. A. Quine Two dogmas of empiricism In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (c) W. V. A. Quine The problem of meaning in linguistics In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (d) W. V. A. Quine Identity, ostension and hypostasis In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (e) W. V. A. Quine New foundations for mathematical logic In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (f) W. V. A. Quine Logic and the reification of universals In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (g) W. V. A. Quine Notes on the theory of reference In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (h) W. V. A. Quine Reference and modality In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (i) W. V. A. Quine Meaning and existential inference In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VIII W.V.O. Quine Bezeichnung und Referenz In Zur Philosophie der idealen Sprache, J. Sinnreich (Hg) München 1982 Quine IX W.V.O. Quine Mengenlehre und ihre Logik Wiesbaden 1967 Quine X W.V.O. Quine Philosophie der Logik Bamberg 2005 Quine XII W.V.O. Quine Ontologische Relativität Frankfurt 2003 Quine XIII Willard Van Orman Quine Quiddities Cambridge/London 1987 |
| Formeln Logik | Waismann Vs Frege, G. | Waismann I 77 Frege: Definition der Zahl in zwei Schritten a) wann sind zwei Mengen gleichzahlig. b) Definition des Begriffs der "Anzahl": sie ist gleich, wenn jedem Element der einen ein Element der anderen Menge entspricht. Eineindeutige Relation. Unter Def "Zahl einer Menge"/Frege: versteht er die Menge aller mit ihr gleichzahligen Mengen. Bsp Die Zahl 5 ist die Gesamtheit aller Fünferklassen in der Welt. VsFrege: wie sollen wir feststellen dass zwei Mengen gleichzahlig sind? Offenbar durch Aufweisung einer solchen Relation. Bsp Wenn man dazu etwa Löffel auf Tassen verteilen muss, dann hat die Relation vorher also nicht bestanden. Solange die Löffel nicht auf den Tassen lagen, waren die Mengen nicht gleichzahlig. Das entspricht aber nicht dem Sinn, in dem man das Wort gleichzahlig verwendet. Also geht es darum, ob man die Löffel an die Tassen legen kann. Aber was bedeutet "kann"? I 78 Dass gleich viele Exemplare vorhanden sind. Nicht die Zuordnung bestimmt die Gleichzahligkeit, sondern umgekehrt. Die vorgeschlagene Definition gibt zwar eine notwendige, aber keine hinreichende Bedingung für die Gleichzahligkeit und fasst den Ausdruck "gleichzahlig" zu eng. Klasse: Liste ("Schulklasse") logisch oder Begriff (Säugetiere) empirisch. Bei zwei Listen ist es weder emopirisch noch logisch zu sagen, sie lassen sich einander zuordnen. Bsp 1.Sind in diesem Zimmer ebenso viele Personen wie im Nebenzimmer? Ein Experiment liefert die Antwort. 2. Sind 3x4 Tassen gleichzahlig mit 12 Löffeln? Man kann das durch Ziehen von Linien beantworten, was kein Experiment ist, sondern ein Vorgang in einem Kalkül. Nach Frege sind zwei Mengen nicht gleichzahlig, wenn man die Relation nicht herstellt. Man hat zwar etwas definiert, aber nicht den Begriff "gleichzahlig". Man kann die Definition erweitern, indem man davon spricht, dass sie zugeordnet werden können. Aber das ist wieder nicht richtig. Denn sind die beiden Mengen durch ihre Eigenschaften gegeben, so ist es immer sinnvoll, ihr Zugeordnetsein zu behaupten, (das hat aber einen verschiedenen Sinn, je nach dem Kriterium, an dem man die Möglichkeit der Zuordnung erkennt: dass die beiden gleichzahlig sind, oder dass es Sinn haben soll, von einer Zuordnung zu sprechen! Tatsächlich gebrauchen wir das Wort "gleichzahlig" nach verschiedenen Kriterien: von welchen Frege nur ein einziges hervorhebt und zum Paradigma macht. Bsp 1. Liegen auf dem Tisch 3 Tassen und 3 Löffel, so sieht man auf einen Blick die Zuordenbarkeit. II 79 2. Ist die Anzahl nicht übersehbar, sie aber in eine übersichtliche Form geordnet, z.B. Quadrat oder Raute, springt wieder die Gleichzahligkeit ins Auge. 3.Anders ist der Fall, wenn wir etwas von zwei Fünfecken feststellen, dass sie dieselbe Anzahl von Diagonalen haben. Hier fassen wir die Gruppierung nicht mehr unmittelbar auf, es ist vielmehr ein Satz der Geometrie. 4. Gleichzahlig bei eineindeutiger Zuordenbarkeit 5.Das normalen Kriterium der Zahlengleichheit ist aber das Zählen, (das nicht als Abbildung zweier Mengen durch eine Beziehung aufgefasst werden darf.) WaismannVsFrege: Diesen verschiedenen und biegsamen Gebrauch gibt Freges Definition nicht wieder. I 80 Das führt zu seltsamen Konsequenzen: Nach Frege müssen zwei Mengen notwendig gleichzahlig sein oder nicht und zwar aus logischen Gründen. Bsp Angenommen, der Sternenhimmel: Jemand sagt: "ich weiß zwar nicht wie viele ich gesehen habe, aber eine bestimmte Anzahl müssen es gewesen sein." Wie unterscheide ich diese Aussage von "Ich habe viele Sterne gesehen". ((Es geht um die Zahl der gesehenen, nicht der vorhandenen Sterne). Wenn ich noch einmal zurück könnte zu der Situation, könnte ich sie nachzählen. Aber das geht nicht. Es gibt keine Methode, die Anzahl festzustellen, und damit verliert die Zahlangabe ihren Sinn. Bsp’ Man könnte die Sache aber auch anders sehen: eine kleine Anzahl von Sternen kann man noch zählen, etwa 5. Hier haben wir eine neue Zahlenreihe: 1,2,3,4,5, viele. Das ist eine Reihe, die manche primitive Völker wirklich gebrauchen. Sie ist durchaus nicht unkomplett. und wir sind nicht im Besitz einer kompletteren, sondern nur eine komplizierteren, neben der die primitive zu recht besteht. Man kann auch in dieser Reihe addieren und multiplizieren und das in voller Strenge. Angenommen, die Dinge der Welt würden wie Tropfen an uns verbeischweben, dann wäre diese Zahlenreihe durchaus angemessen. Bsp Angenommen, wir sollten Dinge zählen, die während des Zählens wieder verschwinden oder andere entstehen. Solche Erfahrungen würde unsere Begriffsbildung in ganz andere Bahnen lenken. Vielleicht würden Worte wie "Viel", "wenig" evtl. verfeinert, an die Stelle unserer Zahlworte treten. I 80/81 VsFrege: seine Definition geht an alldem vorbei. Nach ihr sind zwei Mengen logisch notwendig gleichzahlig, ohne Wissen, oder sie sind es nicht. Genauso hatte man vor Einstein argumentiert, zwei Ereignisse seine gleichzeitig, unabhängig von Beobachtung. Aber so ist es nicht, sondern der Sinn einer Aussage erschöpft sich in der Art ihrer Verifikation (auch Dummett) Waismann: man muss also auf das Verfahren zur Feststellung der Gleichzahligkeit achten, und das ist viel komplizierter als Frege meinte. Frege: zweiter Teil der Zahldefinition: Def Zahl/Frege: ist eine Klasse von Klassen. ((s) Anderswo: so nicht von Frege! FregeVs!). Bsp Dem Begriff "Apfel, der auf dem Tisch liegt, kommt die Zahl 3 zu". Oder: die Klasse der auf dem Tisch liegenden Äpfel ist ein Element der Klasse 3. Das hat den großen Vorzug der Evidenz: dass nämlich die Zahl nicht von den Dingen, sondern von dem Begriff ausgesagt wird. WaismannVsFrege: Aber wird das dem tatsächlichen Gebrauch der Zahlworte gerecht? Bsp Im Befehl "3 Äpfel!" hat das Zahlwort gewiss keine andere Bedeutung, aber nach Frege kann dieser Befehl nicht mehr anch dem gleichen Schema gedeutet werden. Es besagt nicht: die Klasse der Äpfel, die zu holen ist, ist Element der Klasse 3. Denn dies ist eine Aussage, und die kennt unsere Sprache nicht. WaismannVsFrege: seine Definition knüpft den Zahlbegriff in unnötiger Weise an die Subjekt Prädikat Form unserer Sätze. Tatsächlich ergibt sie die Bedeutung des Wortes "3" aus der Art seiner Verwendung (Wittgenstein). RussellVsFrege Bsp Angenommen, es gäbe genau 9 Individuen auf der Welt. Dann könnten wir die Kardinalzahlen von 0 bis 9 definieren, aber die 10, als 9+1 definiert, wäre die Nullklasse. Folglich werden die 10 und alle folgenden natürlichen Zahlen miteinander identisch sein, sämtlich = 0. Um das zu vermeiden müsste ein zusätzliches Axiom eingeführt werden, das Def "Unendlichkeitsaxiom"/Russell: besagt, dass es einen Typus gibt, dem unendlich viele Individuen angehören. Das stellt eine Aussage über die Welt dar, und von der Wahrheit dieses Axioms hängt nun wesentlich der Aufbau der ganzen Arithmetik ab. Jedermann wird nun begierig sein zu wissen, ob das Unendlichkeitsaxiom wahr ist. Wir müssen erwidern: wir wissen es nicht. Es ist so beschaffen, dass es sich jeder Prüfung entzieht. Dann müssen wir aber zugestehen, dass seine Annahme keinen Sinn hat. I 82 Es hilft auch nichts, dass man das "Unendlichkeitsaxiom" als Bedingung der Mathematik mitführt, denn so gewinnt man nicht die Mathematik, wie sie tatsächlich vorliegt: die Menge der Brüche ist überall dicht, aber nicht: die Menge der Brüche ist überall dicht, wenn das Unendlichkeitsaxiom zutrifft. Das wäre eine künstliche Umdeutung, nur dazu ersonnen, die Lehre aufrechtzuerhalten, dass die Zahlen aus wirklichen Klassen in der Welt aufgebaut sind (VsFrege: aber nur bedingt, denn Frege spricht nicht von Klassen in der Welt). Waismann I 85 Der Irrtum der Logik war, dass sie glaubte, die Arithmetik fest untermauert zu haben. Frege: "Die Grundsteine, in einem ewigen Grund befestigt, sind von unserem Denken zwar überflutbar, aber nicht verrückbar." WaismannVsFrege: allein der Ausdruck die Arithmetik "begründen" gibt uns ein falsches Bild, I 86 als ob ihr Gebäude auf Grundwahrheiten errichtet sei, während sie ein Kalkül ist, der nur von gewissen Festsetzungen ausgeht, frei schwebend, wie das Sonnensystem, das auf nichts ruht. Wir können die Arithmetik nur beschreiben, d.h. ihre Regeln angeben, nicht begründen. Waismann I 163 Die einzelnen Zahlbegriffe bilden eine Familie. Es gibt Familienähnlichkeiten. Frage: werden sie erfunden oder entdeckt? Wir lehnen die Auffassung ab, dass die Regeln aus der Bedeutung der Zeichen folgen. Betrachten wir Freges Argumente. (WaismannVsFrege) II 164 1.Man kann Arithmetik als ein Spiel mit Zeichen ansehen, aber dann geht der eigentliche Sinn des ganzen verloren. Wenn ich Rechenregeln aufstelle, habe ich dann den "Sinn" des "=" mitgeteilt? Oder nur eine mechanische Anweisung zum Gebrauch des Zeichens gegeben? Doch wohl das letztere. Dann geht aber das Wichtigste der Arithmetik verloren, der Sinn, der sich in den Zeichen ausspricht. (VsHilbert) Waismann: Gesetzt, es sei so, warum beschreiben wir dann nicht lieber gleich den geistigen Vorgang? Ich werde aber mit einer Zeichenerklärung antworten und nicht mit einer Schilderung meines geistigen Zustands, wenn man mich fragt, was 1+ 1 = 2 bedeutet. Wenn man sagt, ich weiß doch, was das Gleichheitszeichen bedeutet, z.B. in Addition, Quadratischen Gleichungen, usw. dann hat man mehrere Antworten gegeben. Der berechtigte Kern von Freges Kritik: wenn man nur die formelhafte Seite der Arithmetik betrachtet und die Anwendung außer acht lässt, erhält man ein bloßes Spiel. Aber was hier fehlt, ist nicht der Vorgang des Verstehens, sondern die Deutung! I 165 Bsp Wenn ich ein Kind außer den Formeln auch noch die Übersetzungen in die Wortsprache lehre, macht es dann bloß mechanischen Gebrauch? Sicher nicht. 2. Argument: Es ist also die Anwendung, die die Arithmetik von einem bloßen Spiel unterscheidet. Frege: "Ohne einen Gedankeninhalt wird auch eine Anwendung nicht möglich sein. WaismannVsFrege: Angenommen, man erfände ein Spiel, das genauso aussieht wie die Arithmetik, aber nur zum Vergnügen dient. Würde es keinen Gedanken mehr ausdrücken? Warum kann man von einer Schachstellung keine Anwendung machen? Weil sie keine Gedanken ausdrückt." WaismannVsFrege: Angenommen, man erfände ein Spiel, das genauso aussieht wie die Arithmetik, aber nur zum Vergnügen dient. Würde es keinen Gedanken mehr ausdrücken? Schach: es ist voreilig zu sagen, dass eine Schachstellung keine Gedanken ausdrückt. Waismann bringt. Bsp Figuren stehen für Truppen. Das könnte aber gerade bedeuten, Die Figuren müssten erst zu Zeichen von etwas gemacht werden. I 166 Erst wenn man bewiesen hat, dass es einen und nur einen Gegenstand von der Eigenschaft gibt, ist man berechtigt, ihn mit dem Eigennamen "Null" zu belegen. Die Null zu schaffen, ist unmöglich. Ein >Zeichen muss etwas bezeichnen, sonst ist es nur Druckerschwärze. WaismannVsFrege: wir wollen das letztere weder bestreiten noch zugeben. Bloß welcher Sinn kommt dieser Behauptung zu? Dass Zahlen nicht dasselbe wie Zeichen sind die wir aufs Papier schreiben, ist klar. Sie werden erst durch den Gebrauch zu dem, was sie sind. Frege meint aber vielmehr: dass die Zahlen vorher schon irgendwie da sind, dass die Entdeckung der imaginären Zahlen ähnlich wie die eines fernen Erdteiles ist. I 167 Bedeutung/Frege: um nicht Tintenkleckse zu sein, müssen die Zeichen eine Bedeutung haben. Und die existiert dann unabhängig von den Zeichen. WaismannVsFrege: die Bedeutung ist der Gebrauch, und über den gebieten wir. |
Waismann I F. Waismann Einführung in das mathematische Denken Darmstadt 1996 Waismann II F. Waismann Logik, Sprache, Philosophie Stuttgart 1976 |
| Formeln Logik | Wessel Vs Intuitionismus | I 239 WesselVsIntuitionismus: die Begrenzung der Negation auf eine spezifischen Bereich zerstört die Logik als selbständige Wissenschaft. Das kann man aber in einem universellen Regelsystem lösen. (s.u.). I 269 WesselVsIntuitionismus: Hauptmangel: dass der universale Charakter der Logik bestritten wird. Unterschiedliche Logiken für endliche und unendlich de Bereiche. Auch die Vertreter der Mikrophysik (Quantenmechanik) propagieren unterschiedlichen BereichsLogiken. I 270 Wessel: das hängt mit einer falschen Auffassung des Gegenstands der Logik zusammen: Logik/Wessel: eine spezielle Wissenschaft, die die Eigenschaften der Sprachregeln untersucht. Wissenschaft: versteht unter dem Gegenstand der Logik (fälschlicherweise) irgendeinen außersprachlichen Gegenstand (z.B. Quanten, Elementarteilchen usw.) WesselVs: Dilemma: das dieser betrachtete Gegenstand nicht unmittelbar der Anschauung gegeben ist, muss er sprachlich konstruiert werden. Dazu braucht man aber die Logik, zirkulär. Negation/Intuitionismus/Wessel: die Intuitionisten verwerfen die Negation des klassischen Kalküls, sie sollten aber (unsere) nichttraditionelle Prädikationstheorie anwenden, die das Problem der Unentscheidbarkeit bereits berücksichtigt. Bsp Frage, ob in der Entwicklung der Zahl π irgendwann eine bestimmte Zahlenfolge auftritt: hier gibt es drei Möglichkeiten: 1. Sie kann auftreten (A) 2. Sie kann nicht auftreten (B) 3. Es ist unmöglich festzustellen (C) Angenommen, jemand behauptet A, dann sind zwei verschiedene Negationen möglich: 1. Die Behauptung von B 2. Die Erklärung, dass sie nicht richtig ist. Negation/WesselVsIntuitionismus: verwechselt zwei verschiedene Arten von Negation: die aussagenlogische (äußere) und die Negation beim Operator des Zusprechens von Prädikaten (‹/--). I 271 Intuitionisten/Logik/Wessel: akzeptiert, wie die meisten klassischen Logiker, die Bisubjunktion ~(s< P) ↔ (s ‹/--). Diese ist aber kein logisches Gesetz. Die Unterschiede zwischen der klassischen und der intuitionistischen Logik bestehen im Wesentlichen bei Negationen, die unmittelbar vor den Aussagenvariablen stehen. Wir stellen jetzt einige Formeln gegenüber, wobei wir die Zeichenkombinationen verwenden, die eigentlich sinnlos sind: -i p, ?p usw. -i p: soll heißen ~(s ‹--) u ~(‹/--P). I 272 in der klass. Logik gelten die de Morganschen Gesetze, die IntuitionistenVsDe Morgan: Vs 3. und 4. Gesetz . 3. ~(p u q) > ~p v ~q 4 ~(~p v ~q) > p u q. Intuitionismus/Wessel: ist eine versteckt epistemische Logik: "Es ist beweisbar, dass p beweisbar oder dass ~p beweisbar ist". WesselVs: dazu muss man aber erst über logische Basissysteme verfügen, die nicht von Empirie abhängig sind! Epistemische Prädikate ("beweisbar") dürfen nicht mit logischen Operatoren verwechselt werden! Die klass. Paradoxien treten zum Großteil auch in der intuitionistischen Logik auf. I 273 Es gibt Beweise, die zeigen, dass es eine Zahl geben muss, aber die Zahl selbst nicht liefern! Bsp + Man muss kein Anhänger des Intuitionismus sein, um Beweis vorzuziehen, die konstruktiv die Zahl liefern. I 274 MT5. es gibt eine Gruppe von im IAK beweisbaren Formeln, für die gilt: einige ihrer P-R sind in PT beweisbar und andere nicht Bsp p > ~p > ~p p > ~q > (q > _p) ++ I 275 MT6. Es gibt eine Gruppe von im IAK beweisbaren Formeln, für die gilt; alle ihre P-R sind in PT nicht beweisbar. Bsp ~(p v q) > ~p u ~q, ~~(p u ~p) WesselVsIntuitionismus: MT5 und MT6 zeigen, dass die Intuitionisten inkonsequent sind: wenn sie s ‹/--P und _(s ‹--P) identifizieren, müssten sie noch viel mehr von der klassischen Logik verwerfen. |
Wessel I H. Wessel Logik Berlin 1999 |
| Formeln Logik | Frege Vs Kant | I 30 HankelVsKant: die Annahme von unendlich vielen unbeweisbaren Urwahrheiten ist unangemessen und paradox. (Frege pro Hankel) Axiome/FregeVsKant: sollten unmittelbar einleuchtend sein. Bsp ist es etwa einleuchtend, daß 135 664 + 37 863 = 173 527? Und eben das führt Kant für ihre synthetische Natur an! I 30 Frege: es spricht aber vielmehr gegen ihre Unbeweisbarkeit. Wie sollen sie anders eingesehen werden, als durch einen Beweis, da sie unmittelbar nicht einleuchten. I 41 Zahlen/FregeVsKant: Kant will die Anschauung von Fingern und Punkten zu Hilfe nehmen, aber das geht ja hier gerade nicht! man sollte nicht zwischen kleinen und großen Zahlen unterscheiden müssen! FregeVsKant: "reine Anschauung" hilft nicht! Was wird alles Anschauung genannt. Anzahlen, Länge, Flächeninhalte, Volumina, Winkel, Krümmungen, Massen, Geschwindigkeiten I 42 Kräfte, Lichtstärken, Stromstärken, usw. Dagegen kann ich nicht einmal die Anschauung der Zahl 100 000 zugeben. Der Sinn des Wortes Zahl in der Logik ist demnach ein weiterer als der in der transzendentalen Ästhetik. Zahlen/Frege: man sollte die Verwandtschaft mit der Geometrie nicht überschätzen! I 43 Ein geometrischer Punkt ist für sich betrachtet von einem anderen gar nicht zu unterscheiden, einzelne Zahlen dagegen wohl! Jede Zahl hat ihre Eigentümlichkeit. I 120 FregeVsKant: dieser hat die analytischen Urteile unterschätzt: I 121 Er denkt das Urteil allgemein bejahend. Problem. wenn es sich aber um einen einzelnen Gegenstand handelt, um ein Existenzialurteil? Zahlen/FregeVsKant: dieser meint, ohne Sinnlichkeit wäre uns kein Gegenstand gegeben, die Zahlen sind es aber doch, als abstrakte aber ganz bestimmte Gegenstände. Zahlen sind keine Begriffe! IV 61 Verneinung/FregeVsKant: dieser spricht von bejahenden und verneinenden Urteilen. Dann müsste man auch bejahende und verneinende Gedanken unterscheiden. Das ist in der Logik ganz unnötig. I 119 FregeVsKant: dieser hat die analytischen Urteile unterschätzt: I 120 Er denkt das Urteil allgemein bejahend. Problem. wenn es sich aber um einen einzelnen Gegenstand handelt, um ein Existentialurteil? Kant: scheint an beigeordnete Merkmale zu denken. Aber z.B. im Falle der stetigen Funktion einer wirklich fruchtbare Definition gibt es sicher eine innigere Verbindung. I 121 Die Folgerungen der Mathematik bereichern unsere Kenntnisse, deswegen sollten sie nach Kant synthetisch genannt werden, sie sind aber durchaus auch analytisch! Sie sind in den Definitionen enthalten, wie die Pflanze im Samenkorn, nicht wie der Balken im Hause. Zahlen/FregeVsKant: dieser meint, ohne Sinnlichkeit wäre uns kein Gegenstand gegeben, die Zahlen sind es aber doch, als abstrakte aber ganz bestimmte Gegenstände. Zahlen sind keine Begriffe. Stepanians I 34 Mathematik/Wahrheit/FregeVsKant: falsch, geometrische Erkenntnis (durch reine Anschauung) auf alle Mathematik zu verallgemeinern. Step I 34 reine Anschauung/Kant/Frege/Stepanians: (wie Kant): geometrische Erkenntnis stützt sich auf reine Anschauung und ist schon "in uns", synthetisch a priori. FregeVsMill: geometrische Erkenntnis ist keine Sinneswahrnehmung, weil Punkt, Linie usw. nicht eigentlich durch die Sinne wahrgenommen werden. Mathematik/Wahrheit/FregeVsKant: falsch, geometrische Erkenntnis (durch reine Anschauung) auf alle Mathematik zu verallgemeinern. I 35 Zahlen/KantVsFrege: sind uns nicht durch Anschauung gegeben. I 36 Zahlen/Arithmetik/FregeVsKant: für alle arithmetischen Begriffe lassen sich rein logische Definitionen geben. ((s) Daher ist sie eine sicherere Erkenntnis als die geometrische). Def Logizismus/Frege/Stepanians: das ist die Auffassung, die "Logizismus" genannt wurde. D.h. die Arithmetik ist ein Teil der Logik. Arithmetik/FregeVsKant: ist nicht synthetisch, sondern analytisch. Newen I 21 Entdeckungszusammenhang/Begründungszusammenhang/Newen: die Unterscheidung hat in Freges Grundlagen der Arithmetik ihre Wurzeln. Def analytisch/Frege: ist die Begründung eines Satzes, wenn bei dem Beweis nur allgemeine logische Gesetze und Definitionen benötigt werden. I 22 Frege/FregeVsKant: alle Zahlformeln sind analytisch. Tugendhat II 12 "Nicht"/Tugendhat: Fehler: das Wort "nicht" als Spiegelung der "Position" zu betrachten. (Kant: nennt "Sein" "Position"). FregeVsKant: hat gezeigt, dass die Negation sich immer auf den sogenannten propositionalen Gehalt bezieht und nicht auf derselben Ebene mit dem Behauptungsmoment (Position) steht. Die traditionelle Gegenüberstellung von verneinenden und bejahenden Urteilen (Kant) ist deswegen nicht zu halten! |
F I G. Frege Die Grundlagen der Arithmetik Stuttgart 1987 F II G. Frege Funktion, Begriff, Bedeutung Göttingen 1994 F IV G. Frege Logische Untersuchungen Göttingen 1993 Step I Markus Stepanians Gottlob Frege zur Einführung Hamburg 2001 New II Albert Newen Analytische Philosophie zur Einführung Hamburg 2005 Newen I Albert Newen Markus Schrenk Einführung in die Sprachphilosophie Darmstadt 2008 Tu I E. Tugendhat Vorlesungen zur Einführung in die Sprachanalytische Philosophie Frankfurt 1976 Tu II E. Tugendhat Philosophische Aufsätze Frankfurt 1992 |
| Formeln Logik | Leibniz Vs Kant | Frege III 31 Zahlen/LeibnizVsKant: hat denn auch die Beweisbarkeit der Zahlformeln behauptet. "Es ist keine unmittelbare Wahrheit, daß 2 und 2 4 sind. Vorausgesetzt, daß 4 bezeichnet 3 und 1. Man kann sie beweisen, und zwar so: Definitionen: 1. 2 ist 1 und 1, 2. 3 ist 2 und 1 3. 4 ist 3 und 1. Axiom: Wenn man gleiches an die Stelle setzt, bleibt die Gleichung bestehen. Beweis: 2 + 2 = 2 + 1 + 1 = 3 + 1 = 4. Also: nach Axiom: 2 + 2 = 4. Leibniz I 83 Letztbegründung/LeibnizVsKant: macht den subjektphilosophischen Radikalismus nicht mit. Wie vor ihm Spinoza und nach ihm Hegel hat er von der seit Descartes unverzichtbaren Subjektreflexion aus einen nicht subjektiven Seinsgrund finden wollen, der sich in den Vernunftwahrheiten ausdrückt. Dafür reichen zwei Prinzipien aus: 1. Prinzip des Widerspruchs 2. das Prinzip des zureichenden Grundes. (Kann auf das Widerspruchsprinzip zurückgeführt werden). Da außerdem das Identitätsprinzip aus der Sinneswahrnehmung eingesehen wird, dürfen wir den Prinzipien der Sachen selbst (also ihrer ontischen Realität) die in unserem Denken vorausgesetzte Vernunft (ihre Logizität) zuschreiben. das ebenso panlogisch wie das System Hegels. I 84 Im Universum und seinen Teilen ist so Logik niedergeschlagen und verkörpert. Metaphysik/Logik/Leibniz: daher lassen sich alle Beziehungen zwischen Wirklichkeiten phänomenalen wie metaphysischen in logischer Form ausdrücken. Letztbegründung/LeibnizVsKant: nicht erscheint die Welt logisch, weil das Subjekt sie in der Logikform seines Denkens auffasst, sondern die Logikform des Denkens ist zwingend, weil die Welt sich als logisch verfasste zeigt. Leibniz: dem Subjekt zeigt sich die Welt nun aber gerade nicht als Welt sondern als additive Reihe, als Aggregat. I 128 Phänomen/LeibnizVsKant: darf nicht kantisch als vom Wesen getrennt aufgefasst werden! Vielmehr bildet der "mundus intelligibilis" die Grundlage für den "mundus sensibilis". Dieser ist auch keine Verdoppelung, sondern eine "Übersetzung". Das Phänomenale ist das Substanzielle selbst, aber unter Bedingungen der Imagination, für die Räumlichkeit und Zeitlichkeit maßgeblich sind. Ansich/Erscheinung/Leibniz/Josef König: ihr Verhältnis ist bei Leibniz ein dialektisches. Es entspricht wiederum genau dem Schema des "Übergreifenden Allgemeinen": Das Ansich ist Gattung seiner selbst (!), des Ansich und seines Gegenteils, der Erscheinung. ((s) > „Das übergreifende Allgemeine“, >Paradoxien). I 129 Damit ist nicht die Tatsache gemeint, dass die Erscheinung immer die Erscheinung eines Ansich ist, (was ja der Sinn des Wortes ist). KantVsLeibniz: denn dann könnte die Erscheinung ja immer noch verschieden von dem sein, dessen Erscheinung sie ist, und von daher wäre keine Kenntnis des Gegenstands möglich. (So sieht Kant das Verhältnis). LeibnizVsKant: besteht darauf, dass die Erscheinung dasselbe ist wie das Ansich, das sich in der Erscheinung zeigt. Die Welt tut das in der Perzeption. Dadurch vervielfältigt sie sich in zweifacher Hinsicht. 1. als Ganzes aber jeweils unter anderer Perspektive 2. sie erscheint räumlich als das Auseinandersein der verschiedenen Substanzen, 3. sie erscheint zeitlich als Abfolge verschiedener Perzeptionen. Das System der Perzeptionen ist "wohl begründet", weil es nichts anderes ist als die sich selbst beschränkende Aktivität der ursprünglichen Kraft des Ansich. Der Unterschied zwischen Ansich und Erscheinung ist der Unterschied des Ansich selber! Das ist die Totalität und das Prinzip seines Unterschieds. I 130 Daher ist die Erscheinung nicht gegen das Ansich abgehoben, sondern eine Art desselben und als solche etwas durchaus Reales. Phänomenalität/Leibniz: die Weise, in der das Auszudrückende im Ausgedrückten enthalten ist. Jedes Ausgedrückte ist ein Phänomen. Es ist wohl begründet, weil das Ansich, indem es sich ausdrückt, das Phänomen ist, mit ihm identisch ist und es als erscheinendes Ansichseiendes begründet. Das Phänomen ist der Realität nicht entgegengesetzt (VsKant) sondern gerade ihre spezifische Seinsweise im Vorgang der universellen Repräsentation. Daher müssen auch alle Perzeptionen in allen einzelnen Substanzen einander entsprechen. I 133 Bewegung/Leibniz: etwas tritt an den Platz von etwas anderem. I 134 Das, was alle diese Plätze umfasst, heißt "der Raum". Dafür braucht man auch keine "absolute Realität" von Raum anzunehmen. Raum/Zeit/LeibnizVsKant: Inbegriff möglicher Verhältnisse, aber nicht als Anschauungsformen, sondern real ontologisch als Strukturen des Verhältnisses der materiell Ansichseienden zueinander. |
Lei II G. W. Leibniz Philosophical Texts (Oxford Philosophical Texts) Oxford 1998 F I G. Frege Die Grundlagen der Arithmetik Stuttgart 1987 F II G. Frege Funktion, Begriff, Bedeutung Göttingen 1994 F IV G. Frege Logische Untersuchungen Göttingen 1993 |
| Formeln Logik | Wessel Vs Lewis, C.I. | System SI/CL.Lewis/Wessel: hier sind alle Axiome Tautologien und die Schlussregeln vererben den tautologischen Charakter. Aber: p -> (q -> p) nimmt bei p = 3 und q = 3 den nichtausgezeichneten Wert 4 an, ist also nicht herleitbar und damit kein Theorem von SI: Ebenfalls kein Theorem: ~p -> (p -> q). Die "klassischen" Paradoxien sind vermieden, aber: ~p u p -> q und q > ~(~p u p) ist beweisbar! ((s) andere Darstellung von Widerspruch bzw. unmöglicher Aussage) Also: 1. Aus einem Widerspruch folgt eine beliebige Aussage 2. Eine logisch wahre Aussage folgt aus einer beliebigen. ((s) durch SI ausgeschlossen) da in der ursprünglichen Variante von SI ein Widerspruch ~p u p als eine unmögliche Aussage definiert wurde und dessen Negation als notwendige, kann man umformulieren: I 131 modal: 1. aus einer Unmöglichen folgt jede beliebige, 2. eine notwendige Aussage folgt aus jeder beliebigen. ((s) durch SI ausgeschlossen) (>"Paradoxien der strikten Implikation"). Implikation/WesselVsLewis(Cl.): hat die Paradoxien nicht befriedigend gelöst. Er sah zwar die Notwendigkeit eines inhaltlichen Zusammenhangs, präzisierte diesen aber nicht. (s.u.: gleiche Variablen müssen zweimal auftauchen!). Lewis: neu: bei A > B ↔ ~(A u ~B) dürfe "A u ~B" nicht nur nicht gelten, sondern müsse unmöglich sein. I 131 WesselVsLewis,CL.: dieser versucht, die Folgebeziehung durch modale Termini zu definieren. A -> A = def ~M(A u ~B). 1. Das ist zirkulär: eine Definition der Folgebeziehung ist nötig, um modale Termini überhaupt erst einführen zu können. 2. Die Paradoxien aus Principia Mathematica sind zwar ausgeschlossen, nicht aber die "klassischen". (Ajdukiewicz/(s) EFG bzw. wahre aus beliebiger). 3. Die strikte Implikation wird als Operator verstanden. So kann sie aber in beweisbaren Formeln der AussagenLogik niemals vorkommen!. |
Wessel I H. Wessel Logik Berlin 1999 |
| Formeln Logik | Hilbert Vs Russell, B. | Klaus von Heusinger, Eselssätze und ihre Pferdefüsse Uni Konstanz Fachgruppe Sprachwissenschaft Arbeitspapier 64; 1994 Heusinger I 1 Epsilon/Heusinger: bringt eine neue Repräsentation von bestimmten und unbestimmten NP: diese werden wie Pronomina als kontextabhängige Terme aufgefaßt, die mit einem modifizierten Epsilonoperator repräsentiert werden. Dieser wird als Auswahlfunktion gedeutet. VsRussell/VsIotaoperator: dieser ist weniger flexibel, weil er der Einzigkeitsbedingung unterliegt. Kontextabhängigkeit: ist außerdem dynamisch, indem der Kontext den fortschreitenden Informationsstand spiegelt. I 30 EO/Hilbert/Bernays/Heusinger: termbildender Operator, der aus einer Formel F und einer Variablen x den Term x Fx macht. Er kann als verallgemeinerter Iotaoperator verstanden werden, für den weder die Einzigkeits- noch die Existenzbedingung gilt. Iotaoperator/HilbertVsRussell: hat bei Hilbert keine kontextuelle, sondern eine explizite Definition. D.h. ix Fx darf eingeführt werden, wenn die in (48i) ausgedrückte Einzigkeits- und Existenzbedingung für die Formel F ableitbar ist. Problem: das ist unpraktisch, weil man nicht immer sieht, ob die Formel die Bedingungen erfüllt. Etaoperator/Lösung/Hilbert: darf wie in (48ii) eingeführt werden, wenn es mindestens ein Element gibt, das F wahr macht,. Er wird inhaltlich als Auswahlfunktion gedeutet. Einzigkeitsbedingung: ist also durch das Auswahlprinzip ersetzt worden. Problem: auch diese Existenzbedingung läßt sich der Formel nicht ansehen. Lösung/Hilbert: Epsilonoperator/EO: ist nach (48iii) auch dann definiert, wenn F leer ist, so daß ein Epsilonterm immer wohldefiniert ist. I 38 Bestimmtheit/VsRussell/Heusinger: damit wird Bestimmtheit nicht auf Einzigkeit zurückgeführt (>Iotaoperator) sondern auf den allgemeineren Begriff der Salienz (nach Lewis). Allgemeinheit/(s): ob Salienz (die letztlich selber kontextabhängig ist) allgemeiner als Einzigkeit ist, ist fraglich). Bestimmtheit/Heusinger: ist entweder a) eine globale Eigenschaft, wie das für Unikate und funktionale Konzepte zutrifft (deiktischer Gebrauch) oder b) lokal: durch den Kontext festgelegt. (anaphorischer Gebrauch) Beide haben ein dynamisches Element. Rucker I 263 HilbertVsRussell: verbesserte kurz nach Erscheinen der Principia Mathematica die Techniken, um mit ihrer Hilfe seine Idee des "formalen Systems" auszuarbeiten. Mathematik/Logik/Hilbert: Idee, alle Relationen wie x = y, x = 0, und z = x + y als spezielle Prädikate in der PrädikatenLogik aufzufassen: G(x,y), N(x), und S(x,y,z). Dann können die Axiome der Mathematik als Formeln der PrädikatenLogik betrachtet werden und der Beweisvorgang wird zur einfachen Anwendung der Regeln der Logik auf die Axiome. I 264 Das erlaubt mechanische Lösungsverfahren. |
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| Formeln Logik | Frege Vs Strawson, P. F. | EMD II 269 Kennzeichnungen/Fregesche Sprache/FregeVsStrawson: Def Fregesche Kennzeichnungen: Kennzeichnungen die auf mehr als ein einziges Objekt zutreffen (nach einer bestimmten Interpretation) dann sollen sie nur auf ein Element zutreffen. ((s) also keine Wahrheitswertlücke wie bei Strawson). Sie zu verwenden, tut der klassischen Logik am wenigsten Zwang an. Die einfachste solche Konvention könnte sein, daß ein Element der Interpretation ein Element sein soll, das von allen basalen Kennzeichnungen bezeichnet wird, das es faul macht. Identität ((s) "erzeugt", "Identitäts Operator")). Alternativ: kompliziertere Konvention, dann sollte eine faule Kennzeichnung als eine Menge bezeichnend genommen werden, die die eingebettete Formel erfüllt. Formeln, die faule Kennzeichnungen enthalten, stellen sich dann entweder als wahr oder falsch heraus. Die klassische Logik ist bewahrt. |
F I G. Frege Die Grundlagen der Arithmetik Stuttgart 1987 F II G. Frege Funktion, Begriff, Bedeutung Göttingen 1994 F IV G. Frege Logische Untersuchungen Göttingen 1993 EMD II G. Evans/J. McDowell Truth and Meaning Oxford 1977 Evans I Gareth Evans "The Causal Theory of Names", in: Proceedings of the Aristotelian Society, Suppl. Vol. 47 (1973) 187-208 In Eigennamen, Ursula Wolf Frankfurt/M. 1993 Evans II Gareth Evans "Semantic Structure and Logical Form" In Truth and Meaning, G. Evans/J. McDowell Oxford 1976 Evans III G. Evans The Varieties of Reference (Clarendon Paperbacks) Oxford 1989 |
| Formeln Logik | Cresswell Vs Verschiedene | II 58 Computation/Cresswell: (Vertreter: z.B. Moore/Hendrix, 1981) erwecken den Anschein als hätten sie ein Problem gelöst, an dem die Logiker seit Jahren vergeblich herumlaborieren. CresswellVs: das sind zwei ganz verschiedene Fragen: ((s) Die Logiker schlagen sich mehr mit der semantischen, die Computation-Leute mit psychologischen Fragen herum). Inhalt/Cresswell: (eines Komplement-Satzes) kann als Äquivalenzklasse aller Objekte aufgefaßt werden, die als Repräsentationen dieses Satzes gelten. Glaubensobjekte/Moore/Hendrix: (Hendrix 1981) einige dieser Objekte (die Objekte von mentalen Zustände wie Glauben) sind Sätze in einer interne Sprache des Geistes, andere in öffentlicher Sprache. Es kann auch welche geben, die in gar keiner Sprache sind. (Bsp Logische Formeln). II 59 Inhalt/Bedeutung/Cresswell: zwei Sätze haben dieselbe Bedeutung, wenn sie denselben Inhalt haben, vorausgesetzt, es kommen keine Index-Wörter vor. (5) Die Karte zeigt an, daß es 12 km sind bis Lower Moutere. … Das setzt voraus, daß jeder Satz schon eine Bedeutung hat, so daß die Einstellung dann einfach eine Einstellung in Bezug auf die Bedeutung ist. CresswellVsMoore/CresswellVsHendrix: d.h. daß wir das Problem von Moore und Hendrix eben nur lösen können, wenn wir schon eine Semantik haben. Synonymie/Cresswell: wenn die Synonymie-Relation ~~ (Schreibweise: im Buch zwei Tilden übereinander) so definiert wird, kann man sie für die ganze Sprache kompositional aufbauen. Ich habe keine Ahnung wie das gehen soll, aber Hendrix und Moore unterlassen es jedenfalls. CresswellVsHendrix: sie zeigen nicht, wie die Synonymie-Klassen erhalten werden. Das Rezept, um die Wahrheitsbedingungen (WB) von (6) zu erhalten würde überhaupt nur funktionieren, wenn die Bedeutung durch die WB bestimmt würde. Hughes I 260 Non Standard Systeme/Hughes/Cresswell: haben andere Grundoperatoren als L und M. Bsp Halldén (1949b): Beschränkung auf einen einzigen dreistelligen Operator, durch den alle anderen modalen und wahrheitsfunktionalen Operatoren definiert werden können: [p,q,r] mit der Bedeutung: "entweder ist p falsch oder q ist falsch oder r ist unmöglich". Also (~p v ~q v ~Mr). Dann: Negation, Konjunktion, Möglichkeit: ~a = def [a,a,a] (a . b) = def [a,b[a, ~a,a]] Ma = def ~[[a, ~a,a],[a ~a,a],a] I 261 Hughes/CresswellVsHalldén: das macht einen unnatürlichen Eindruck. |
Cr I M. J. Cresswell Semantical Essays (Possible worlds and their rivals) Dordrecht Boston 1988 Cr II M. J. Cresswell Structured Meanings Cambridge Mass. 1984 Hughes I G.E. Hughes Maxwell J. Cresswell Einführung in die Modallogik Berlin New York 1978 |
| Formeln Logik | Wessel Vs Verschiedene | I 17 Toleranzprinzip/Carnap: ("Die logische Syntax der Sprache", 1934): "Wir wollen nicht Verbote aufstellen, sondern Festsetzungen treffen. Verbote können durch eine definitorische Unterscheidung ersetzt werden. In der Logik gibt es keine Moral. Jeder mag seine Logik, d.h. seine Sprachform aufbauen wie er will, nur muss er wenn er mit uns diskutieren will, syntaktische Bestimmungen angeben, anstatt philosophischer Erörterungen." (Das Toleranzprinzip wurde zuerst von Karl Menger formuliert). I 20 WesselVsToleranzprinzip: im ganzen lehnen wir es ab, aber wir stimmen Menger darin zu, dass der Konstruktivitätsbegriff unklar ist. VsMenger: der weiteste Konstruktivitätsbegriff ist nicht die Forderung nach bloßer Widerspruchsfreiheit! (Wessel wie Chr. Thiel). Begründung/Logik/Wessel: alle Begründungsversuche sind hier letztlich zirkulär! Pro Carnap: natürlich hat jeder Logiker und jeder Mathematiker das Recht, beliebige Kalküle erst aufzubauen, wobei er die Regeln korrekt anzugeben hat. VsCarnap: das bedeutet jedoch nicht, dass die möglichen oder vorhandenen Kalküle gleichberechtigt sind! Das wäre ein "Gleichgütligkeitsprinzip" . I 136 Def analytische Implikation/Parry/Wessel: (1933): Wenn eine Formel A eine Formel B analytisch impliziert, so kommen in B nur solche Aussagenvariablen vor, die auch in A vorkommen. I 137 Axiome: (Auswahl) + A 12. (A ‹-› B) u F(A) -> F[A/B] A 13. F(A) -> (A -> A) analytische Implikation/WesselVsParry: keine Lösung des Problems, da > wieder ein Operator ist und in Axiomen und Theoremen mehr als einmal vorkommen kann. Pro: hier wird zum erstenmal der Gedanke ausgesprochen, dass in der Folgerung nur solche Variablen vorkommen dürfen, die auch in der Voraussetzung enthalten sind. Paradoxien/Implikation/nichtklassische Richtung/Wessel: Fragen: 1. gibt es irgendwelche Garantien, dass paradoxe Formeln nicht beweisbar sind? 2. gibt es Garantien dafür, dass nicht nichtparadoxe Formeln irrtümlich ausgeschlossen werden? 3. gibt es Kriterien um zu entscheiden, ob eine beliebige Formel paradox ist oder nicht? 4. Kann man ein System aufbauen, in dem alle paradoxen Formeln nicht beweisbar, alle nichtparadoxen Formeln aber beweisbar sind? I 219 Identität/M.Stirner: "ineinander den Menschen sehen und gegeneinander als Menschen handeln...sehe ich in dir den Menschen wie ich in mir den Menschen und nichts als den Menschen sehe, so sorge ich für dich wie ich für mich sorgen würde...wir stellen ja beide nichts als den mathematischen Satz vor: A = C und B = C folglich A = B, d.h. ich nichts als Mensch und du nichts als Mensch : ich und du dasselbe". WesselVsStirner, Max: das ist die gleiche Logik wie bei "J.Kaspar (Pseudonym von Stirner) ist ein Lebewesen, ein Esel ist ein Lebewesen, also ist J. Kaspar ein Esel". Das ist die Verwechslung verschiedener logischer Formen. ((s) Prädikation ist keine Identitätsaussage: "ich bin ein Mensch" heißt nicht "Ich = Mensch".) I 314 Eulersche Diagramme/Borkowski/Lejewski/"ontologische Tafel"/Wessel: Erweiterung der Eulerschen Diagramme: Bedeutungseinschluss und ausschluss, Existenz usw. WesselVsLejewski: seine Theorie ist mit gravierenden Mängeln belastet. I 315 Terminitheorie/Wessel: es sind unbegrenzt viele sing Term möglich, aber jede Theorie kommt mit einer begrenzten Anzahl aus. WesselVsLejewski: Bsp bei ihm macht der Term "Kosmonaut" eine mysteriöse Wandlung durch. zunächst leerer Term, dann sing Term, dann allg Term! WesselVs: er ist von Anfang an ein allg Term: die Referenz hat überhaupt nichts damit zu tun. Bei der Unterscheidung von leer/nichtleer handelt es sich um eine ganz andere Klassifikation von Termini. Das ist keine rein logische Aufgabe. I 352 Intension/WesselVsStegmüller: die Bezeichnung als "inhaltliches" Problem zeigt nur, dass es auf der logischen Ebene noch nicht gelöst ist. StegmüllerVsModalLogik: da modale Kontexte intensionalen Charakter hätten. |
Wessel I H. Wessel Logik Berlin 1999 |
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