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| Begriff/ Autor/Ismus |
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| Paradoxie intensional | Gödel Vs Russell, B. | Russell I XIV ZirkelfehlerprinzipPrincipia Mathematica/PM/Russell/Gödel: scheint also nur zu gelten unter konstruktivistischen Annahmen: wenn man unter einem Begriff ein Symbol versteht, zusammen mit einer Regel, um Sätze, die das Symbol enthalten zu übersetzen in Sätze, die es nicht enthalten. Klassen/Begriffe/Gödel: können dagegen auch als reale Objekte aufgefasst werden, nämlich als "Vielheiten von Dingen" und Begriffe als Eigenschaften oder Relationen von Dingen, die unabhängig von unseren Definitionen und Konstruktionen existieren! Das ist genauso legitim wie die Annahme physikalischer Körper. Sie sind auch für Mathematik notwendig, so wie sie es für die Physik sind. Konzept/Terminologie/Gödel: ich werde „Konzept“ von jetzt an ausschließlich in diesem objektiven Sinne gebrauchen. Ein formaler Unterschied zwischen diesen zwei Konzeptionen von Begriffen wäre: dass von zwei verschiedenen Definitionen der Form α(x) = φ(x) angenommen werden kann, dass sie zwei verschiedenen Begriffe α im konstruktivistischen Sinn definieren. (Nominalistisch: da zwei solche Definitionen unterschiedliche Übersetzungen geben für Propositionen, die α enthalten.) Für Konzepte (Begriffe) ist das dagegen keineswegs der Fall, da dasselbe Ding in verschiedener Weise beschrieben werden kann. Bsp "Zwei ist der Begriff, unter den alle Paare fallen und nichts sonst." Es gibt gewiss mehr als einen Begriff im konstruktivistischen Sinne, der dieser Bedingung genügt, aber es könnte eine gemeinsame "Form" oder "Natur" aller Paare geben. Alle/Carnap: Vorschlag, "alle" als Notwendigkeit zu verstehen, würde nichts helfen, wenn "Beweisbarkeit" konstruktivistisch eingeführt würde (..+..). Def intensionalitätsaxiom/Russell/Gödel: zu verschiedenen Definitionen gehören verschiedene Begriffe. Dieses Axiom hält für Begriffe im Zirkelfehlerprinzip: konstruktivistischer Sinn. Konzepte/Russell/Gödel: (ungleich Begriffe!) sollen objektiv existieren. (Also nicht konstruiert). (Realistischer Standpunkt). Ist nur die Rede von Konzepten, bekommt die Frage einen völlig anderen Sinn: dann scheint es keinen Einwand dagegen zu geben, von ihnen allen zu sprechen, noch dagegen, einige von ihnen unter Bezug auf alle zu beschreiben. Eigenschaften/GödelVsRussell: man könnte sicher von der Totalität aller Eigenschaften (oder aller eines bestimmten Typs) sprechen, ohne dass das zu einer "Absurdität" führen würde! ((s) > Bsp „Alle Eigenschaften eines großen Feldherrn“. Gödel: das macht es lediglich unmöglich, ihren Sinn zu konstruieren (d.h. als eine Behauptung über Sinneswahrnehmung oder irgendwelche anderen nichtkonzeptuellen Entitäten zu erklären), was kein Einwand für jemand ist, der den realistischen Standpunkt einnimmt. Teil/Ganzes/Mereologie/GödelVsRussell:: ebenso wenig ist es widersprüchlich, dass ein Teil identisch (nicht bloß gleich) sein soll mit dem Ganzen, wie im Falle von Strukturen im abstrakten Sinne zu sehen ist. Bsp Die Struktur der Reihe der ganzen Zahlen enthält sich selbst als einen besonderen Teil. I XVI/XVII Sogar innerhalb des Bereichs der konstruktivistischen Logik gibt es gewisse Annäherungen an diese Selbstreflektivität (Selbstreflexivität/Heutzutage: Selbstähnlichkeit) imprädikativer Eigenschaften, nämlich Bsp Propositionen, die als Teile ihres Sinns nicht sich selbst enthalten, sondern ihre eigene formale Beweisbarkeit. Es existieren auch Sätze, die sich auf eine Totalität von Sätzen beziehen, zu der sie selbst gehören: Bsp "Jeder Satz einer (gegebenen) Sprache enthält mindestens ein Beziehungswort." Das macht es nötig, nach anderen Lösungen für die Paradoxien zu suchen, denen zufolge der Trugschluss nicht in der Annahme gewisser Selbstreflektivitäten der Grundterme besteht, sondern in anderen Annahmen über dieselben! Die Lösung mag vorläufig in der einfachen Typentheorie gefunden worden sein. Natürlich bezieht sich all das nur auf Konzepte. Klassen: man sollte meinen, dass sie ebenfalls nur durch ihre Definitionen nicht geschaffen, sondern nur beschrieben werden! Dann gilt das Zirkelfehler Prinzip wieder nicht. Zermelo spaltet Klassen in "Ebenen" auf, so dass nur Mengen niedrigerer Ebenen Elementen von Mengen höherer Ebenen sein können. Reduzibilitätsaxiom/Russell/Gödel. (später fallengelassen) wird nun vom Klassenaxiom (Zermelos "Aussonderungsaxiom") eingenommen: dass für jede Ebene für eine beliebige Propositionalfunktion(Aussagenfunktion, AF) φ(x) die Menge jener x von dieser Ebene existiert, für die φ(x) wahr ist. Das scheint impliziert zu sein durch das Konzept von Klassen als Vielheiten. I XVIII Extensionalität/Klassen: Russell: zwei Gründe gegen die extensionale Sicht von Klassen: 1. Die Existenz der Nullklasse, die nicht gut eine Kollektion sein kann, 2. Die Einerklassen, die identisch sein müssten mit ihren einzigen Elementen. GödelVsRussell: das könnte nur beweisen, dass die Nullklassen und die Einerklassen (als unterschieden von ihrem einzigen Element) Fiktionen sind zur Vereinfachung des Kalküls, und nicht beweisen, dass alle Klassen Fiktionen sind! Russell: versucht, soweit wie möglich ohne die Annahme der objektiven Existenz von Klassen auszukommen. Danach sind Klassen nur eine facon de parler. Gödel: aber auch "idealistische" Propositionen, die Universalien enthalten, könnten zu denselben Paradoxien führen. Russell: schafft Regeln der Übersetzungen, nach denen Sätze, die Klassennamen oder den Term "Klasse" enthalten, übersetzt werden in solche, die sie nicht enthalten. Klassennamen/Russell: eliminieren durch Übersetzungsregeln. Klassen/PM/Russell/Gödel: Principia kommen so ohne Klassen aus, aber nur wenn man die Existenz eines Konzepts annimmt, wann immer man eine Klasse konstruieren möchte. Zunächst müssen einige von ihnen, die Grundprädikate und Relationen wie "rot", "kälter" augenscheinlich als reale Objekte angesehen werden. Die höheren Begriffe erscheinen dann als etwas Konstruiertes (d.h. etwas, das nicht zum "Inventar der Welt" gehört). I XIX Ramsey: meinte, dass man Propositionen unendlicher Länge bilden könne und hält den Unterschied endlich /unendlich für nicht so entscheidend. Gödel: Logik und Mathematik sind wie Physik auf einem realen Inhalt aufgebaut und können nicht "wegerklärt" werden. Existenz/Ontologie/Gödel: es verhält sich nicht so, als sei das Universum der Dinge in Ordnungen eingeteilt und wäre es einem verboten, von allen Ordnungen zu sprechen, sondern im Gegenteil: es ist möglich, von allen existierenden Dingen zu sprechen. Klassen und Konzepte sind allerdings nicht darunter. Wenn sie aber als facon de parler eingeführt werden, stellt sich heraus, dass die Erweiterung des Symbolismus die Möglichkeit eröffnet, sie auf umfassendere Weise einzuführen, und so weiter, bis ins Unendliche. Um dieses Schema durchzuhalten, muss man allerdings die Arithmetik (oder etwas gleichwertiges) voraussetzen, was nur beweist, dass nicht einmal diese beschränkte Logik auf nichts aufgebaut werden kann. I XX Konstruktivistische Haltung/Konstruktivismus/Russell/Gödel: wurde in der ersten Auflage aufgegeben, da das Reduzibilitätsaxiom für höhere Typen es notwendig macht, dass Grundprädikate von beliebig hohem Typ existieren. Vom Konstruktivismus bleibt lediglich 1. Klassen als facon de parler 2. Die Definition von ~, v,. usw. als geltend für Propositionen, die Quantoren enthalten, 3. Stufenweise Konstruktion von Funktionen von Ordnungen höher als 1(freilich wegen des R-Axioms überflüssig) 4. Interpretation von Definitionen als bloßen typographischen Abkürzungen (alles unvollständige Symbole, nicht solche, die ein durch die Definition beschriebenes Objekt benennt!). Reduzibilitätsaxiom/GödelVsRussell: dieser letzte Punkt ist eine Illusion, weil wegen des Reduzibilitäts Axioms stets reale Objekte in Form von Grundprädikaten oder Kombinationen von solchen entsprechend jedem definierten Symbol existieren. Konstruktivistische Haltung/Konstruktivismus/PM/Gödel: wird in der zweiten Auflage wieder eingenommen und das Reduzibilitäts-Axiom fallengelassen. Es wird festgestellt, dass alle Grundprädikate zum niedrigsten Typ gehören. Variablen/Russell/Gödel: ihr Zweck ist es, die Behauptungen komplizierterer Wahrheitsfunktionen von atomistischen Propositionen zu ermöglichen. (d.h. dass die höheren Typen nur eine facon de parler sind.). Die Basis der Theorie soll also aus Wahrheitsfunktionen von atomistischen Propositionen bestehen. Das ist kein Problem, wenn die Zahl der Individuen und Grundprädikate endlich ist. Ramsey: Problem der Unfähigkeit, unendliche Propositionen zu bilden ist "bloße Nebensache" I XXI endlich/unendlich/Gödel: mit dieser Umgehung des Problems durch Missachtung des Unterschieds von endlich und unendlich dann existiert eine einfachere und zugleich weiterreichende Interpretation der Mengenlehre: Dann wird nämlich Russells Apercu, dass Propositionen über Klassen als Propositionen über ihre Elemente interpretiert werden können, buchstäblich wahr, vorausgesetzt, n ist die Zahl der (endlichen) Individuen der Welt und vorausgesetzt, wir vernachlässigen die Nullklasse. (..) + I XXI Theorie der Ganzen Zahlen: die zweite Auflage behauptet, dass sie zu erreichen sei. Problem: dass in der Definition "jene Kardinalzahlen, die zu jeder Klasse gehören, die 0 enthält und x + 1 enthält, wenn sie x enthält" die Wendung "jede Klasse" sich auf eine gegebene Ordnung beziehen muss. I XXII So erhält man ganze Zahlen verschiedener Ordnungen, und vollständige Induktion kann auf ganze Zahlen von Ordnung n nur für Eigenschaften von n angewandt werden! (...) Die Frage der Theorie der ganzen Zahlen auf Basis der verzweigten Typentheorie ist zurzeit noch ungelöst. I XXIII Theorie der Ordnung/Gödel: fruchtbarer, wenn sie von einem mathematischen Standpunkt, nicht einem philosophischen betrachtet wird, also unabhängig von der Frage, ob imprädikative Definitionen zulässig sind. (...) imprädikative Totalitäten werden von einer Funktion der Ordnung α und ω vorausgesetzt. Menge/Klasse/PM/Russell/Typentheorie/Gödel: die Existenz einer wohlgeordneten Menge vom Ordnungstyp ω1 reicht hin für die Theorie der reellen Zahlen. Def Kontinuumshypothese/Gödel: (verallgemeinert): keine Kardinalzahl existiert zwischen der Potenz irgendeiner beliebigen Menge und der Potenz der Menge ihrer Untermengen. Typentheorie/GödelVsRussell: gemischte Typen (Individuen zusammen mit Prädikationen über Individuen usw.) widersprechen dem Zirkelfehlerprinzip offensichtlich gar nicht! I XXIV Russell stützte seine Theorie auf ganz andere Gründe, die denen ähneln, die Frege bereits für die Theorie einfacherer Typen für Funktionen angenommen hatte. Propositionalfunktionen/Aussagenfunktion/AF/Russell/Gödel: haben immer etwas mehrdeutiges, wegen der Variablen. (Frege: etwas ungesättigtes). Propositionalfunktion/AF/Russell/Gödel: sozusagen ein Fragment einer Proposition. Sie zu kombinieren, ist nur möglich, wenn sie "zusammenpassen" d.h. von geeignetem Typ sind. GödelVsRussell: Konzepte (Begriffe) als reale Objekte: dann ist die Theorie der einfachen Typen nicht plausibel, denn wovon man erwarten würde dass es (wie z.B. "Transitivität" oder die Zahl zwei) ein Konzept wäre, schiene dann etwas zu sein, was hinter all seinen unterschiedlichen "Realisationen" auf den verschiedenen Ebenen steht und das demnach zufolge der Typentheorie nicht existiert. I XXV Paradoxien in der intensionalen Form/Gödel: hier bringt die Typentheorie eine neue Idee: nämlich die Paradoxien nicht auf dem Axiom zu tadeln, dass jede Propositionalfunktion ein Konzept oder eine Klasse definiert, sondern auf der Annahme, dass jedes Konzept eine sinnvolle Proposition ergibt, wenn es behauptet wird für ein beliebiges Objekt als Argument. Der Einwand, dass jedes Konzept ausgedehnt werden kann auf alle Argumente, indem ein anderes definiert wird, das eine falsche Proposition ergibt, wann immer das ursprüngliche sinnlos war, kann leicht entkräftet werden durch den Hinweis, dass das Konzept "sinnvoll anwendbar" nicht selbst immer sinnvoll anwendbar sein muss. |
Göd II Kurt Gödel Collected Works: Volume II: Publications 1938-1974 Oxford 1990 |
| Paradoxie intensional | Wittgenstein Vs Russell, B. | Carnap VI 58 intensionale Logik/Russell: ist nicht an bestimmte Aussagenformen gebunden. Ihre Aussagen sind nicht alle in Aussagen über Extensionen übersetzbar. WittgensteinVsRussell. Später Russell, Carnap pro Wittgenstein. (Russell, PM 72ff, Bsp für scheinbar intensionale Aussagen). Bsp (Carnap) "x ist Mensch" und "x sterblich": beides kann in eine extensionale Aussage (Klassenaussage) umgeformt werden. "Die Klasse der Menschen ist in der Klasse der Sterblichen enthalten". Tugendhat I 453 Def Sortal: etwas abgegrenztes, dass keine beliebige Verteilung gestattet. Bsp Katze. Gegensatz: Massenterminus. Bsp Wasser. I 470 Sortal: in gewisser Weise eine Wiederentdeckung des aristotelischen Begriffs des Substanzprädikats. Aristoteles: Hierarchie: niedrige: Materialprädikate: Wasser, höhere: Zählbarkeit. Locke: hatte die aristotelische Einsicht vergessen und führte daher einen Begriff des Substrats ein, dass selbst nicht wahrnehmbar, einem Bündel von wahrnehmbaren Qualitäten zugrunde liegen sollte. Hume: das ermöglichte es Hume, das Ganze zu verwerfen. Russell und andere: Bündel von Eigenschaften. (KripkeVsRussell, WittgensteinVsRussell, führte zur Wiederentdeckung des Sortals). Bsp Sortal: schon Aristoteles: wir nennen etwas einen Stuhl oder eine Katze nicht deshalb, weil es eine bestimmte Gestalt hat, sondern weil es eine bestimmte Funktion erfüllt! Wittgenstein I 80 Bekanntschaft/WittgensteinVsRussell/Hintikka: eliminiert Russells zweite Klasse (logische Formen) insbesondere Russells freischwebenden Formen, die durch völlig allgemeine Sätze ausgedrückt werden. So kann Wittgenstein jetzt sagen, dass wir in der Logik keine Erfahrung brauchen. Das bedeutet, dass die Aufgabe die früher von Russells zweiter Klasse übernommen worden war, jetzt von den regulären Gegenständen der ersten Klasse wahrgenommen werden müssen. Das ist eine Erklärung der fundamentalsten und seltsamsten Thesen des Tractatus: die logischen Formen werden nicht nur anerkannt, sondern ihnen wird beträchtliches Gewicht beigemessen. Ferner sind die Gegenstände nicht nur Substanz der Welt sondern auch konstitutiv für die Form der Welt. I 81 1. die komplexen logischen Sätze werden alle durch die logischen Formen der atomaren Sätze bestimmt, und 2. die Formen der Atomsätze durch die Formen der Gegenstände. Pointe: Wittgenstein weigert sich im Tractatus, die komplexen logischen Formen als unabhängige Gegenstände anzuerkennen. Ihre Aufgabe muss durch etwas anderes erfüllt werden: I 82 Die Formen der einfachen Gegenstände (vom Typ 1): sie bestimmen die Weise, wie die Gegenstände miteinander verbunden werden können. Die Form des Gegenstands ist das, was a priori von ihm gilt!. Der Standpunkt, auf den Wittgenstein sich zubewegt, hat eine feste Basis in Freges berühmten Prinzip der Zusammengesetztheit (dem Prinzip der Funktionalität, von Davidson als Frege Prinzip bezeichnet. ((s) >Kompositionalität). I 86 Logische Form/Russell/Hintikka: meint, wir müssten mit der logischen Form jedes zu verstehenden Satzes bekannt sein. WittgensteinVsRussell: bestreitet das. Um alle logischen Formen zu erfassen ist nichts weiter nötig, als die Gegenstände zu erfassen. Mit diesen allerdings müssen wir dennoch bekannt sein. Diese Erfahrung wird aber dadurch uneigentlich, dass sie sich auf die Existenz der Gegenstände bezieht. I 94 ff dies/logischer Eigenname/Russell: "Dies" ist ein (logischer) Eigenname. WittgensteinVsRussell/PU: Das hinweisende "Dieses" kann nie trägerlos werden, aber das macht es nicht zu einem Namen." (§ 45) I 95 Nach Russells früher Theorie gibt es in unserer Sprache nur zwei logische Eigennamen für partikulare Gegenstände außer dem Ich, und zwar "dies" und "jenes". Man führt sie ein, indem man auf sie zeigt. Hintikka: von diesen konkreten Russellschen Gegenständen gilt im wahren Sinne des Wortes, dass sie nicht ausgesprochen, sondern nur genannt werden können. (>Erwähnung/>Gebrauch). Wittgenstein I 107 Sinnesdaten/Russell: (Mysticism and Logic): Sinnesdaten seien etwas "Physikalisches". Daher sei "die Existenz des Sinnesdatums nicht logisch abhängig von der Existenz des Subjekts." WittgensteinVsRussell: das kann natürlich von Wittgenstein nicht akzeptiert werden. Nicht weil er ernste Zweifel hätte, sondern weil er die Gegenstände zu semantischen Zwecken benötigt, die weit hinausgehen über Russells Bausteine unserer wirklichen Welt. Sie müssen Bausteine aller logischen Formen sowie die Substanz aller möglichen Sachverhalte sein. Daher kann er nicht zufrieden sein mit Russells Konstruktion unserer eigenen und einzigen Außenwelt aus Sinnesdaten. I 108 Aus dem gleichen Grund verweigert er auch die Festlegung auf eine bestimmte Ansicht über den metaphysischen Status seiner Gegenstände. Außerdem: Subjekt/WittgensteinVsRussell: "Das Subjekt gehört nicht zu den Gegenständen der Welt". I 114 Sprache/Sinnesdaten/Wittgenstein/Zeitgenossen/Waismann: "Der Zweck der Sprache Wittgensteins ist - im Gegensatz zu unserer gewöhnlichen Sprache - die logische Struktur der Phänomene wiederzugeben." I 115 Erfahrung/Existenz/Wittgenstein/Ramsey: "Wittgenstein sagt, es sei Unsinn, etwas zu glauben, was nicht der Erfahrung gegeben ist, denn mir anzugehören, in der Erfahrung gegeben zu sein, ist die formale Eigenschaften der echten Entität." Sinnesdaten/WittgensteinVsRussell/Ramsey: sind logische Konstruktionen. Denn nichts von alldem was wir wissen, beinhaltet sie. Sie vereinfachen zwar die allgemeinen Gesetze, sind für diese jedoch genauso wenig nötig wie materielle Gegenstände." Später Wittgenstein: (Zettel § 498) setzt Sinnesdatum mit "privatem Objekt, das vor meiner Seele steht" gleich. I 143 logische Form/Russell/Hintikka: sowohl Formen der Atomsätze als auch komplexer Sätze. Sprachlich dort durch Zeichen (Junktoren, Quantoren usw.) definiert. WittgensteinVsRussell: nur einfache Formen. "Wenn ich den Gegenstand kenne, kenne ich auch sämtliche Möglichkeiten seines Vorkommens in Sachverhalten. Jede solche Möglichkeit muss in der Natur des Gegenstands liegen." I 144 logische Konstanten/Wittgenstein: verschwinden aus der letzten und abschließenden logischen Darstellung jedes sinnvollen Satzes. I 286 Vergleich/WittgensteinVsRussell/Hintikka: das Vergleichen ist es, was in der Russellschen Theorie nicht vorkommt. I 287 Und das Vergleichen besteht nicht darin, bei der Konfrontierung ein Phänomen zu erleben. Hier sieht man: ab einem bestimmten Zeitpunkt sieht Wittgenstein Sätze nicht mehr als fertige Bilder an, sondern als Vorschriften zur Herstellung von Bildern. Wittgenstein II 35 Anwendung/Gebrauch/WittgensteinVsRussell: er hat übersehen, dass logische Typen nichts über die Anwendung der Sprache aussagen. Bsp Johnson sagt, Rot unterscheide sich in einer Weise von Grün, in der Rot sich nicht von Kreide unterscheidet. Aber woher weiß man das? Johnson: Es wird formal, nicht experimentell verifiziert. WittgensteinVsJohnson: das ist aber Unsinn: es ist so, als würde man nur das Portrait betrachten, um zu beurteilen, ob es dem Original entspricht. Wittgenstein II 74 Implikation/WittgensteinVsRussell: Paradox aus zwei Gründen: 1. wir verwechseln die Implikation mit dem Schlüsseziehen. 2. im Alltag gebrauchen wir nie " wenn... dann " in diesem Sinn. Es sind immer Hypothesen, in denen wir jenen Ausdruck verwenden. Die meisten Dinge, von denen im Alltag die Rede ist, sind in Wirklichkeit stets Hypothesen. Z. B.: "alle Menschen sind sterblich." So wie Russell es verwendet, bleibt es sogar dann wahr, wenn es nichts gibt, was der Beschreibung f(x) entspricht. II 75 Wir meinen aber nicht, dass alle Menschen auch dann sterblich sind, wenn es keine Menschen gibt. II 79 Logik/Notation/WittgensteinVsRussell: seine Schreibweise macht die internen Beziehungen nicht deutlich. Aus seiner Notation geht nicht hervor, dass pvq aus p.q folgt, während der Sheffer-Strich die interne Beziehung klarmacht. II 80 WittgensteinVsRussell: "Behauptungszeichen": es ist irreführend, und deutet auf einer Art geistigen Vorgang hin. Wir meinen aber bloß einen Satz. ((s) Auch WittgensteinVsFrege). > Behauptungsstrich. II 100 Skeptizismus/Russell: Bsp wir könnten erst seit fünf Minuten existieren, einschließlich unserer Erinnerungen. WittgensteinVsRussell: dann benutzt er die Wörter in neuer Bedeutung. II 123 Kalkül/WittgensteinVsRussell: Eifersucht als Beispiel für einen Kalkül mit dreistelligen Relationen fügt der Sache keine zusätzliche Substanz hinzu. Er hat einen Kalkül auf die Eifersucht angewandt. II 137 Implikation/Paradoxie/material/Existenz/WittgensteinVsRussell: II 137 + in Russells Notation gilt sowohl: "Alle S sind P" als auch "Kein S ist P", als wahr, wenn es gar keine S gibt. Weil die Implikationen auch durch ~fx verifiziert sind. In Wirklichkeit ist dieses fx beide Male unabhängig! Alle S sind P: (x) gx >.fx Kein S ist P : (x) gx > ~fx Dieses unabhängige fx ist irrelevant, es ist ein leerlaufendes Rad! Bsp Wenn es Einhörner gibt, dann beißen sie, aber es gibt keine Einhörner = es gibt keine Einhörner. II 152 WittgensteinVsRussell: seine Schreibweise setzt voraus, dass es für jeden allgemeinen Satz Namen gibt, die man zur Beantwortung der Frage "welche?" (Im Gegensatz zu "welche Art?") nennen kann. Bsp "welche Menschen leben auf dieser Insel?" kann man fragen, aber nicht: "welcher Kreis ist im Quadrat?". Wir haben keine Namen "a", "b", usw. für Kreise. WittgensteinVsRussell: in seiner Schreibweise heißt es "es gibt ein Ding, welches ein Kreis im Quadrat ist". Wittgenstein: was ist dieses Ding? Der Fleck, auf den ich zeige? Aber wie sollen wir dann "da sind drei Flecken " schreiben? II 157 Einzelding/ED/Atom/Atome/Wittgenstein: Russell und ich, wir haben beide damit gerechnet, durch die logische Analyse auf die Grundelemente (" individuals") zu stoßen. Russell glaubte, am Schluss würden sich Subjekt Prädikat Sätze und zweistellige Relationen ergeben. WittgensteinVsRussell: das ist eine verfehlte Vorstellung von logischer Analyse: wie eine chemische Analyse. WittgensteinVsAtomismus. Wittgenstein II 306 Logik/WittgensteinVsRussell: Russell notiert: "ich traf einen Mann": es gibt ein x, so dass ich x getroffen habe. x ist ein Mann. Wer sagt denn schon: "Sokrates ist ein Mann"? Ich kritisiere dies nicht deshalb, weil es im praktischen Leben keine Rolle spielt, sondern ich kritisiere, dass die Logiker diese Beispiele nicht lebendig machen. Russell verwendet "Mann" als Prädikat, obwohl wir es praktisch nie als solches gebrauchen. II 307 Wir könnten "Mann" als Prädikat verwenden, wenn es uns um den Unterschied ginge, ob jemand, der als Frau gekleidet ist, ein Mann oder eine Frau ist. Damit haben wir für dieses Wort einer Umgebung erfunden, ein Spiel, indem sein Gebrauch einen Zug darstellt. Wenn "Mann" als Prädikat verwendet wird, ist das Subjekt ein Eigenname, der Eigenname eines Mannes. Eigenschaften/Prädikat/Wittgenstein: wenn der Ausdruck "Mann" als Prädikat verwendet wird, kann er bestimmten Dingen sinnvoll zugesprochen oder abgesprochen werden. Dies ist eine "externe" Eigenschaft, und in dieser Hinsicht verhält sich das Prädikat "rot" genauso. Man beachte jedoch die Unterscheidung zwischen rot und Mann als Eigenschaften. Ein Tisch könnte Träger der Eigenschaft rot sein, doch im Falle von "Mann" liegt die Sache anders. (Ein Mann könnte diese Eigenschaft nicht ablegen). . II 308 WittgensteinVsRussell: Bsp "in diesem Zimmer ist kein Mann". Russells Schreibweise: "~(Ex)x ist ein Mann in diesem Zimmer." Diese Schreibweise suggeriert, dass man die Dinge in diesem Zimmer durchgegangen ist, und festgestellt hat, dass keine Männer darunter waren. Das heißt, die Schreibweise ist nach dem Vorbild konstruiert, indem x ein Wort wie "Schachtel" oder sonst ein Gemeinname ist. Das Wort "Ding" jedoch ist kein Gemeinname. II 309 Was hieße es denn, dass es ein x gibt, welches nicht ein Fleck im Quadrat ist? II 311 Arithmetik/Mathematik/WittgensteinVsRussell: die Arithmetik wird nicht in der Russellschen Weise gelehrt, und dies ist keineswegs eine Ungenauigkeit. Wir machen uns nicht an die Arithmetik, indem wir etwas über Sätze und Funktionen erfahren, noch beginnen wir mit der Definition der Zahl. |
W II L. Wittgenstein Vorlesungen 1930-35 Frankfurt 1989 W III L. Wittgenstein Das Blaue Buch - Eine Philosophische Betrachtung Frankfurt 1984 W IV L. Wittgenstein Tractatus logico-philosophicus Frankfurt/M 1960 Ca I R. Carnap Die alte und die neue Logik In Wahrheitstheorien, G. Skirbekk (Hg) Frankfurt 1996 Ca II R. Carnap Philosophie als logische Syntax In Philosophie im 20.Jahrhundert, Bd II, A. Hügli/P.Lübcke (Hg) Reinbek 1993 Ca IV R. Carnap Mein Weg in die Philosophie Stuttgart 1992 Ca IX Rudolf Carnap Wahrheit und Bewährung. Actes du Congrès International de Philosophie Scientifique fasc. 4, Induction et Probabilité, Paris, 1936 In Wahrheitstheorien, Gunnar Skirbekk Frankfurt/M. 1977 Ca VI R. Carnap Der Logische Aufbau der Welt Hamburg 1998 CA VII = PiS R. Carnap Sinn und Synonymität in natürlichen Sprachen In Zur Philosophie der idealen Sprache, J. Sinnreich (Hg) München 1982 Ca VIII (= PiS) R. Carnap Über einige Begriffe der Pragmatik In Zur Philosophie der idealen Sprache, J. Sinnreich (Hg) München 1982 Tu I E. Tugendhat Vorlesungen zur Einführung in die Sprachanalytische Philosophie Frankfurt 1976 Tu II E. Tugendhat Philosophische Aufsätze Frankfurt 1992 |
| Paradoxie intensional | Gödel Vs Typentheorie | Russell I XXV Typentheorie/Gödel: in der realistischen (intensionalen) Interpretation: zusätzliche Annahme: "Wann immer ein Objekt x ein anderes Objekt y in einer sinnvollen Proposition ersetzen kann, kann es dies in jeder sinnvollen Proposition". Das hat zur Konsequenz, dass die Objekte in einander ausschließende Bedeutungsbereiche eingeteilt werden. GödelVsRussell: suspekt, dass seine Annahme selbst seine Formulierung als sinnvolles Prinzip unmöglich macht: weil x und y dann auf definite Bedeutungsbereiche eingegrenzt werden müssen, die entweder dieselben sind, oder verschieden und in beiden Fällen drückt die Feststellung nicht das Prinzip oder auch nur einen Teil von ihm aus. Andere Konsequenz: die Tatsache, dass ein Objekt x von einem gegebenen Typ ist (oder nicht ) kann ebenfalls nicht durch eine sinnvolle Proposition ausgedrückt werden. I XXVI Eine Lösung ist nicht unmöglich. Es könnte sich herausstellen, dass jedes Konzept überall bedeutsam ist, außer für gewisse "singuläre Punkte" oder "Grenzpunkte" so dass die Paradoxien als etwas wie die "Teilung durch Null" erschienen. I XXVI Axiome/Russell/Gödel: Frage: sind sie analytisch (wie von Russell hier behauptet?). Analytizität/Gödel: kann zweierlei heißen: 1. rein formal, eliminierbar. In diesem Sinne ist sogar die Theorie der ganzen Zahlen nichtanalytisch, vorausgesetzt, man verlangt, die Eliminierung in einer endlichen Zahl von Schritten auszuführen. ((s) Sonst z.B. für jede Zahl einzeln). Aber das Ganze der Mathematik als angewandt auf Sätze von unendlicher Länge muss vorausgesetzt werden, um diese Analytizität zu beweisen, z.B. kann von dem Auswahlaxiom nur bewiesen werden, dass es analytisch ist, wenn angenommen wird, dass es wahr ist!. I XXXIV Analytizität im 2. Sinne: "Aufgrund des Sinnes der in ihr vorkommenden Begriffe". Dabei ist dieser "Sinn" vielleicht undefinierbar (d.h. irreduzibel auf etwas Grundlegenderes). Bsp Wenn man "Klasse" und "" definierte als "die Konzepte (Begriffe) welche den Axiomen genügen" wäre man nicht imstande, ihre Existenz zu beweisen. "Konzept " könnte man vielleicht in Termini von "Proposition" definieren, aber dann werden gewisse Axiome über Propositionen nötig, die sich nur unter Bezug auf den undefinierten Sinn dieses Terms rechtfertigen lassen. Diese Sicht von Analytizität macht es wiederum möglich, dass vielleicht jede mathematische Proposition auf einen Spezialfall von a = a reduziert werden könnte. I XXVII Russell: ging den Weg, sowohl Klassen als auch Konzepte (mit Ausnahme der logisch uninteressanten Grundprädikate) als nichtexistent anzusehen und sie durch unsere eigenen Konstruktionen zu ersetzen. Russell/Gödel/(s): konstruktivistisch. Reduzibilitätsaxiom: ist im Fall von unendlich vielen Individuen beweisbar falsch, außer man nimmt die Existenz von Klassen oder unendlich vielen "qualitates occultae" an. Die tatsächliche Entwicklung der mathematischen Logik ist den Weg der Existenz von Klassen und Begriffen gegangen, und Russell war später selbst genötigt, diesen Weg zu gehen. |
Göd II Kurt Gödel Collected Works: Volume II: Publications 1938-1974 Oxford 1990 |
| Paradoxie intensional | Wessel Vs Verschiedene | I 17 Toleranzprinzip/Carnap: ("Die logische Syntax der Sprache", 1934): "Wir wollen nicht Verbote aufstellen, sondern Festsetzungen treffen. Verbote können durch eine definitorische Unterscheidung ersetzt werden. In der Logik gibt es keine Moral. Jeder mag seine Logik, d.h. seine Sprachform aufbauen wie er will, nur muss er wenn er mit uns diskutieren will, syntaktische Bestimmungen angeben, anstatt philosophischer Erörterungen." (Das Toleranzprinzip wurde zuerst von Karl Menger formuliert). I 20 WesselVsToleranzprinzip: im ganzen lehnen wir es ab, aber wir stimmen Menger darin zu, dass der Konstruktivitätsbegriff unklar ist. VsMenger: der weiteste Konstruktivitätsbegriff ist nicht die Forderung nach bloßer Widerspruchsfreiheit! (Wessel wie Chr. Thiel). Begründung/Logik/Wessel: alle Begründungsversuche sind hier letztlich zirkulär! Pro Carnap: natürlich hat jeder Logiker und jeder Mathematiker das Recht, beliebige Kalküle erst aufzubauen, wobei er die Regeln korrekt anzugeben hat. VsCarnap: das bedeutet jedoch nicht, dass die möglichen oder vorhandenen Kalküle gleichberechtigt sind! Das wäre ein "Gleichgütligkeitsprinzip" . I 136 Def analytische Implikation/Parry/Wessel: (1933): Wenn eine Formel A eine Formel B analytisch impliziert, so kommen in B nur solche Aussagenvariablen vor, die auch in A vorkommen. I 137 Axiome: (Auswahl) + A 12. (A ‹-› B) u F(A) -> F[A/B] A 13. F(A) -> (A -> A) analytische Implikation/WesselVsParry: keine Lösung des Problems, da > wieder ein Operator ist und in Axiomen und Theoremen mehr als einmal vorkommen kann. Pro: hier wird zum erstenmal der Gedanke ausgesprochen, dass in der Folgerung nur solche Variablen vorkommen dürfen, die auch in der Voraussetzung enthalten sind. Paradoxien/Implikation/nichtklassische Richtung/Wessel: Fragen: 1. gibt es irgendwelche Garantien, dass paradoxe Formeln nicht beweisbar sind? 2. gibt es Garantien dafür, dass nicht nichtparadoxe Formeln irrtümlich ausgeschlossen werden? 3. gibt es Kriterien um zu entscheiden, ob eine beliebige Formel paradox ist oder nicht? 4. Kann man ein System aufbauen, in dem alle paradoxen Formeln nicht beweisbar, alle nichtparadoxen Formeln aber beweisbar sind? I 219 Identität/M.Stirner: "ineinander den Menschen sehen und gegeneinander als Menschen handeln...sehe ich in dir den Menschen wie ich in mir den Menschen und nichts als den Menschen sehe, so sorge ich für dich wie ich für mich sorgen würde...wir stellen ja beide nichts als den mathematischen Satz vor: A = C und B = C folglich A = B, d.h. ich nichts als Mensch und du nichts als Mensch : ich und du dasselbe". WesselVsStirner, Max: das ist die gleiche Logik wie bei "J.Kaspar (Pseudonym von Stirner) ist ein Lebewesen, ein Esel ist ein Lebewesen, also ist J. Kaspar ein Esel". Das ist die Verwechslung verschiedener logischer Formen. ((s) Prädikation ist keine Identitätsaussage: "ich bin ein Mensch" heißt nicht "Ich = Mensch".) I 314 Eulersche Diagramme/Borkowski/Lejewski/"ontologische Tafel"/Wessel: Erweiterung der Eulerschen Diagramme: Bedeutungseinschluss und ausschluss, Existenz usw. WesselVsLejewski: seine Theorie ist mit gravierenden Mängeln belastet. I 315 Terminitheorie/Wessel: es sind unbegrenzt viele sing Term möglich, aber jede Theorie kommt mit einer begrenzten Anzahl aus. WesselVsLejewski: Bsp bei ihm macht der Term "Kosmonaut" eine mysteriöse Wandlung durch. zunächst leerer Term, dann sing Term, dann allg Term! WesselVs: er ist von Anfang an ein allg Term: die Referenz hat überhaupt nichts damit zu tun. Bei der Unterscheidung von leer/nichtleer handelt es sich um eine ganz andere Klassifikation von Termini. Das ist keine rein logische Aufgabe. I 352 Intension/WesselVsStegmüller: die Bezeichnung als "inhaltliches" Problem zeigt nur, dass es auf der logischen Ebene noch nicht gelöst ist. StegmüllerVsModallogik: da modale Kontexte intensionalen Charakter hätten. |
Wessel I H. Wessel Logik Berlin 1999 |
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