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| Begriff/ Autor/Ismus |
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| Strukturen Mathematik | Bigelow Vs Flusser, W. | I 345 Mathematik/Bigelow/Pargetter: unsere Metaphysik erlaubt eine realistische Auffassung der Mathematik (BigelowVsField). I VII Mathematik/BigelowVsField: kann realistisch verstanden werden, wenn sie als Studium der Universalien, Eigenschaften und Relationen, von Mustern und Strukturen angesehen wird von Dingen, die zur selben Zeit and verschiedenen Orten sein können. I 59 Äquivalenzklassen/ÄK/Bigelow/Pargetter: ordnen Gegenstände mit gleichen D-ates in Klassen. So erklären, sie, wie zwei Dinge sich in einer Hinsicht ähnlicher sein können als in einer anderen Hinsicht. Ebene 1: Gegenstände Ebene 2: Eigenschaften von Dingen Ebene 3: Proportionen zwischen solchen Eigenschaften. Proportionen/Bigelow/Pargetter: sind Universalien, die feinere Unterschiede zwischen ÄK von Eigenschaften auf Ebene 2 einführen können. gleich/verschieden/Bigelow/Pargetter: Pointe: das erklärt, wieso zwei Relationen gleichzeitig gleich und verschieden sein können. Bsp Angenommen, eine der beiden Relationen ist eine Masserelation (und steht in Relation zu anderen Masserelationen) die andere ist keine Masserelation (und steht nicht in Relation zu Masserelationen) und dennoch I 60 haben beide etwas Gemeinsames: sie sind „doppelt“ einmal in Bezug auf Masse, einmal in Bezug auf Volumen. Dies wird auf Ebene 3 erklärt. Zahlen/Bigelow/Pargetter: das zeigt die Nützlichkeit von Zahlen bei der Behandlung von Quantitäten. (BigelowVsField). I 383 BigelowVsField: (a propos Science without numbers): dieser geht fälschlich davon aus, daß die Physik zuerst mit reiner Empirie startet, um die Ergebnisse anschließen in völlig abstrakte Mathematik umzuwandeln. Field/Bigelow/Pargetter: will diesen Umweg vermeiden. BigelowVsField: sein Projet ist überflüssig wenn wir einsehen, daß Mathematik nur eine andere Beschreibung der physikalische Proportionen und Relationen ist und kein Umweg. |
Big I J. Bigelow, R. Pargetter Science and Necessity Cambridge 1990 |
| Strukturen Mathematik | Barrow Vs Formalismus | Barrow I 57 VsFormalismus: jeder mathematische Satz ist in irgendeinem mathematischen System auch wahr. Daher ist der Formalismus eine sehr unbefriedigende Theorie der Mathematik. Außerdem muss man die gesamten Strukturen ändern, wenn sich auch nur ein Axiom ändert. |
B I John D. Barrow Warum die Welt mathematisch ist Frankfurt/M. 1996 B II John D. Barrow Die Natur der Natur: Wissen an den Grenzen von Raum und Zeit Heidelberg 1993 B III John D. Barrow Die Entdeckung des Unmöglichen. Forschung an den Grenzen des Wissens Heidelberg 2001 |
| Strukturen Mathematik | Schlick Vs Hempel, C. | I 91 Kontext: Schlick: Das Fundament der Erkenntnis“ (1934) HempelVsSchlick). HempelVsSchlick: dieser sei ein „Metaphysiker und Poet“. Proposition/Realität/HempelVsSchlick: man kann Aussagen nicht mit Tatsachen vergleichen! SchlickVsHempel: das kann man wohl, ohne Metaphysiker zu sein. I 92 Bsp ich vergleiche den Satz in meinem Baedeker „Diese Kathedrale hat zwei Türme“ mit der Realität: und zwar ganz einfach, indem ich mir die Kathedrale angucke. Wenn jemand etwas dagegen hat, kann es nur sein, dass er „Proposition“ in einem anderen Sinn versteht. Kohärenztheorie/HempelVsSchlick/HempelVsKorrespondenztheorie: man kann nur Propositionen miteinander vergleichen. ((s) Nicht Propositionen mit der Realität). Schlick: wir können unterscheiden zwischen Fällen, wo ein geschriebener, gedruckter oder gesprochener Satz mit einem anderen geschriebenen, gedruckten oder gesprochenen Satz verglichen wird. Schlick: und das nennen ich den Vergleich einer Proposition mit einer Tatsache. HempelVsSchlick: Aussagen können nur mit anderen Aussagen verglichen werden. ((s) >Kohärenz, >Kohärenztheorie). SchlickVsHempel: warum? Ich nehme mir die bescheidene Freiheit heraus, alles mit allem vergleichen zu können. Sollten Propositionen und Tatsachen zu weit von einander entfernt sein? Zu verschieden? Sollte es eine mysteriöse Eigenschaft von Propositionen sein, dass sie mit gar nichts verglichen werden können? Tatsache/Aussage/Hempel: die Kluft zwischen ihnen ist nur eine metaphysische. SchlickVsHempel: das kann schon sein, aber wer glaubt denn an eine solche Kluft? I 93 Def Proposition/Schlick: ist eine Zeichenkette zusammen mit den logischen Regeln für ihren Gebrauch. ((s) Also quasi ein Satz, zusammen mit den Bedeutungsregeln). Satzbedeutung/Schlick: diese Regeln kulminieren in „deiktischen“ Definitionen die die Bedeutung des Satzes ausmachen. Verifikation/Übereinstimmung/Korrespondenz/SchlickVsHempel: um den Satz zu verifizieren, muss ich dann herausfinden, ob die (Bedeutungs )Regeln befolgt wurden. Warum sollte das unmöglich sein? Bsp ich betrachte die Kathedrale und dann den Satz und stelle fest, dass das Symbol „zwei“ in dem Satz in Zusammenhang mit dem Symbol „Türme“ gebraucht wird und dass ich zu dem gleichen Symbol gelange, wenn die die Regeln des Zählens auf die Türme der Kathedrale anwende. Kohärenztheorie/Tatsache/Proposition/Vergleich/Schlick: manchmal heißt es, dass „in einer logischen Hinsicht“ Propositionen nur mit anderen Propositionen verglichen werden können. Das kann schon sein, aber ich weiß nicht, was mit einem „Vergleich in einer logischen Hinsicht“ gemeint ist. Vergleich/HempelVsSchlick: wir können nicht genau sagen, was ein Vergleich von Aussagen und Tatsachen ist, I 94 weil wir die Struktur von Tatsachen nicht feststellen können. Tatsache/Struktur/SchlickVsHempel: dass man die „Struktur einer Tatsache“ nicht feststellen kann“ erinnert mich an die Metaphysik von „Dingen an sich“. Wenn man die Existenz von Tatsachen nicht leugnet, warum soll man dann die Möglichkeit leugnen, ihre Struktur festzustellen? Struktur einer Tatsache: Bsp wenn ich die Türme einer Kathedrale zähle, werden ich mit der Struktur eine bestimmten Tatsache bekannt. Wenn man sagen wollte dass es überhaupt sinnlos sein, von „Strukturen von Tatsachen“ zu reden, wäre das bloß eine terminologische Frage. Ein Satz ist auch nicht einfach per se bedeutungsvoll, sondern nur im Zusammenhang mit den Regeln für seinen Gebrauch. Tatsache/Sätze/Vergleich/VsKorrespondenztheorie/SchlickVsHempel: darum dreht sich der ganze Streit, wenn es unmöglich sein soll Sätze und Tatsachen zu vergleichen, gebraucht Hempel die Wörter einfach in einem anderen Sinn. Die einfachste Weise zu leugnen, dass man sie vergleichen kann wäre zu sagen, dass es einfach keine Tatsachen gibt! (in formaler Redeweise: die Regel für das Wort „Tatsache“ ist so, dass es nicht angewendet werden darf). Oder vielleicht wird der Vergleich einfach niemals angewendet in den Wissenschaften? Ich denke, das trifft auf rein logische Wissenschaften wie Mathematik zu, aber nicht auf Experimentalwissenschaften. I 95 SchlickVsHempel: hier zeigt sich die psychologische Motivation seiner Kritik: es geht um eine Sichtweise, die sich völlig innerhalb der Wissenschaften ansiedelt. Wissenschaft als System von Sätzen (propositions). Diese sollen ein Ersatz für die Realität sein. Dann werden „Protokollsätze“ als Material verwendet, ohne sie einem empirischen Test zu unterwerfen. Wissenschaft/Schlick: aber Wissenschaft ist nicht die Welt! Das Diskursuniversum ist nicht das Universum. Es ist eine Sache zu fragen, wie ihr ganzes System aufgebaut ist und warum es allgemein als wahr angesehen wird, und eine andere, warum ich selbst sie als wahr ansehe. Das ist eine psychologische Frage. Aber keine der „Kulturabhängigkeit“. Mein Vertrauen auf Wissenschaft und Kollegen besteht darin, dass ich sie vertrauensvoll fand, jedesmal wenn ich ihre Behauptungen überprüfte. I 96 Def Konstatierung/Schlick: der letzte Schritt im Vergleich zwischen einer Aussage und einer Tatsache. Dem Begriff sollte man aber nicht zu viel Wichtigkeit beimessen. I 97 Tatsache/Satz/Vergleich/Übereinstimmung/Korrespondenz/HempelVsSchlick: sein Beispiel für den Vergleich ist nicht ganz adäquat. (Bsp „Die Kathedrale hat zwei Türme“). Hempel: ich stimme zu, dass man Propositionen als empirische Objekte betrachten kann, die mit jedem anderen empirischen Objekt verglichen werden können. Aber wenn wir das buchstäblich nehmen führt das zu so etwas wie: I 98 Bsp „Die Proposition enthält mehr Teile, „Wörter“ genannt“ als die Kathedrale Türme hat“. Korrespondenz/SchlickVsHempel: es gibt noch eine andere Art des Vergleichs zwischen Satz und Tatsache: Vergleich der Symbole „zwei“ im Satz und beim Abzählen, indem man die Kathedrale anschaut. HempelVsSchlick: damit vergleicht er eine Proposition im Baedeker mit dem Ergebnis einer Handlung von sich. Kohärenztheorie/Pointe: dieses Ergebnis der Handlung wird in einer zweiten Proposition festgestellt. Und diese beiden werden verglichen! Das ist es, was ich mit „in logischer Hinsicht“ meinte. Überprüfung/Verifikation/Kohärenztheorie/HempelVsSchlick: es geht darum, ob die Sätze sich widersprechen. Das geht sogar, ohne die Bedeutungen der Sätze zu kennen! (>Carnap: „Die logische Syntax der Sprache“, „Philosophie und logische Syntax“). Bsp die zwei obigen Propositionen enthalten beide ein Symbol, das wie „zwei“ geformt ist. |
Schlick I Moritz Schlick "Facts and Propositions" Analysis 2 (1935) pp. 65-70 In Theories of Truth, Paul Horwich 1994 Schlick II M. Schlick General Theory of Knowledge 1985 |
| Strukturen Mathematik | Verschiedene Vs Locke, J. | VsLocke Locke I 26/27 Erkenntnis/Wissen/VsLocke: Problem: die Ideen müssen in Wörtern fixiert werden doch das bedeutet noch nicht Erkennen, denn dazu müssen die Wörter zu Aussagen verarbeitet werden. Locke aber entwickelt seine Ideenanalyse zunächst isoliert. (Dadurch langatmige Wiederholungen). Locke I 42 VsLocke/VsSensualismus: die Kritik an Locke vermisst immer eine Klärung der denknotwendigen Voraussetzungen menschlicher Erkenntnis im Subjekt selber. Das wird durch Lockes Einführung der Vernunft am Ende des Essays aufgefangen. Locke I 66 Ethik/Locke: Die Suspensionskraft ist für Lockes Ethik von größter Wichtigkeit: die "Angel" um die sich die Freiheit vernunftbegabter Wesen drehe. So soll die Möglichkeit einer freien Entscheidung für das moralisch Gute begründet werden. (Trotz des Hedonismus). VsLocke: das ist nicht widersprüchlich, doch wenig plausibel. Es wurde immer wieder kritisiert, dass das Motiv der moralischen Entscheidung nicht der eigenständige Wert des moralisch Guten, sondern der nach Lust/Unlust bestimmte Nutzen ausschlaggebend ist. Locke hat das trotz Drängen seiner Zeitgenossen nie geklärt. Locke I 169 Sensualismus/VsLocke: eine alte Tradition der Lockekritik hält seien Sensualismus für naiv. (LeibnizVsLocke, KantVsLocke). Locke: These: "nichts ist im Verstand, was nicht vorher in den Sinnen war" LeibnizVsLocke: "außer dem Verstand selbst!". Locke I 170 KantVsLocke: es gibt apriorische Formen der Anschauung, die uns überhaupt erst ermöglichen, Erfahrungen zu machen. Sprache/Erkenntnis/VsLocke: (heute): Locke verkennt die irreduziblen sprachlichen Grundlagen empirischen Wahrnehmens. Aber in seinem Denken ist die Korrektur schon angelegt, um auch abstrakte und allgemeine Ideen unter das empirisch Gegebene aufzunehmen, von dem jede Rekonstruktion des Wissens bereits auszugehen habe. (L. Krüger). Ökonomie/EuchnerVsLocke: Widerspruch: Lockes Merkantilismus und sein gleichzeitiges Lob des Welthandels. Locke I 188 Erkenntnis/Realität/KreimendahlVsLocke: beschränkt mögliche Realitätsaussagen auf den Bereich der Ideen und der von ihnen gebildeten "nominalen" Wesenheiten. Damit stellt er sein eigenes empirisches Programm in Frage. Es ist auf der einen Seite schon richtig, dass es keine Erkenntnis ohne Vermittlung von Ideen, die in ihrer komplexen Form menschliche Kunstprodukte sind, geben kann, während er aber auf der anderen Seite behauptet, die Quelle aller Ideen sei die Erfahrung (zirkulär). Erfahrung/Locke: die Kombination von Sinneserfahrung und Reflexion ("innere Erfahrung"). Gravitation/Locke: "Reifen und Bande" (Euchner: das war naiver als es zu der Zeit hätte sein müssen). Locke II 187 komplexe Ideen/Locke: Bsp Freund: aus einfachen Ideen: Mensch. Liebe, Bereitwilligkeit, Handlung, Glück, die ihrerseits auf noch einfachere Ideen zurückführbar sind. LambertVsLocke: dieser habe nicht die notwendigen Verknüpfungen der Begriffe erkannt. ArndtVsLambert: Locke ging es nicht um ein axiomatisches System. Ihm ging es darum, den Bereich des "realen Wissens" (Mathematik) zu trennen vom Empirischen, in dem die komplexe Idee lediglich in dem beobachtbaren faktischen Zusammenbestehen von Qualitäten beruht. In der Empirie ist kein notwendiger Zusammenhang beobachtbar! Locke I 62 Naturrecht/EuchnerVsNaturrechtslehre: Locke behandelt es nicht systematisch, sonst hätte er auf folgende Probleme eingehen müssen: auf die Welt als Schöpfungsordnung, auf die rechtliche Ordnung der politischen Strukturen unter den Aspekten des natürlichen und menschlichen Gesetzes sowie der Rechtsstellung des Individuums, auf die Frage, wie sich das nicht offenbarte und niedergeschriebene natürliche Gesetz mit Hilfe der Vernunft erkannt werden kann, und auf die Begründung, weshalb die Sätze des natürlichen Gesetzes und der Moral als verbindlich anerkannt und befolgt werden. |
Loc III J. Locke An Essay Concerning Human Understanding |
| Strukturen Mathematik | Field Vs Putnam, H. | III 113 reine Mathematik/Putnam: sollte so interpretiert werden, daß sie die mögliche Existenz physikalischer Strukturen behauptet, die die mathematischen Axiome erfüllen. FieldVsPutnam: reine Mathematik sollte überhaupt nicht interpretiert werden. I 211 Eigenschaften/Relationen/Putnam: (1970): sind prädikativ, danach haben wir einige wenige physikalisch grundlegende Eig und Rel, von denen alle anderen abgeleitet werden: 1. Stufe: erlaubt keine Referenz auf eine Totalität von physikalischen Gegenständen, wenn eine neue Eigenschaft konstruiert wird. 2. Stufe: erlaubt Referenz auf die Totalität der Eigenschaften der 1. Stufe . 3. Stufe: erlaubt Referenz auf die Totalität der Eigenschaften 1. und 2. Stufe. - jede physikalische Eigenschaft erscheint auf irgendeiner Stufe der Hierarchie - >Funktionalismus. Funktionale Eigenschaften sind Eig 2. oder höherer Stufe – die Eig, die die Rolle hat, darf von Person zu Person differieren – I 214 FieldVsPutnam: statt Eigenschaften Instantiierungen von Eigenschaften mit Stufen versehen. I 268 Mathematik/Ontologie/Putnam: ("Mathematics without foundations", 1976b, "What is mathematical truth?",1975): Field: Putnam These: der mathematische Realist muß nicht das "mathematische Gegenstands Bild" ("mathematical object picture") akzeptieren. Er können seine Sicht in rein modalen Begriffen formulieren. Und zwar nicht als Alternative, sondern nur als andere Formulierung derselben Sicht. I 269 Unverzichtbarkeits Argument/Putnam: erscheint in dem späteren Text. Field: wenn "Mathematik als Modallogik" wirklich eine äquivalente Beschreibung der Mathematik in Begriffen mathematischer Objekte (mO) wäre, dann sollte es auch möglich sein, das Unverzichtbarkeits Argument so zu reformulieren, daß es ein prima facie Argument für die eine oder andere Art modalisierter Mathematik und mathematischer Objekte ist. FieldVsPutnam: aber Abschnitt 6 und 7 zeigen, daß wir das U Argument nicht so formulieren können: es braucht mO und modalisierte Mathematik bringt diese nicht hervor. VsVs: aber Vorsicht: ich habe nicht alle Möglichkeiten untersucht. I 269 FieldVsPutnam: sein mathematischer Realismus scheint rätselhaft: Mathematik/Ontologie/Putnam: These: es gibt eine modale Übersetzung reiner Mathematik: er stellt eine Übersetzungsprozedur in vor, die mathematische Aussagen in modale Aussagen verwandelt, eine die akzeptable mathematische Aussagen (z.B. Axiome der Mengenlehre) in wahre modale Behauptungen verwandelt, die keine Quantifikation enthält, außer wenn diese wegmodalisiert ist. (Also keine mathematischen Entitäten (mE) in den modalen Aussagen). I 270 FieldVsPutnam: zwei allgemeine Fragen: 1. welche Art Modalität ist hier involviert? 2. welchen Nutzen soll die Übersetzung haben? ad 1.: Putnam denkt, daß das "Objekt Bild" (die Ausgangposition), und seine modale Übersetzung auf einer tieferen Ebene äquivalent sind. FieldVs: das ist eigentlich uninteressant: "mathematisch möglich" sollte in jeder vernünftigen Auffassung mit "logisch möglich" zusammenfallen, (das besagt die Konservativität). ((s) Widerspruch zu oben). Pointe: wenn A nicht mathematisch möglich ist, dann ist "~A" eine Folge der Mathematik also, wenn A (und dann auch seine Negation) rein nicht mathematisch sind, dann ist "~A" logisch wahr. Wenn Putnam nun sagt, daß seine modale Übersetzung einen "starken und eindeutig mathematischen Sinn von Möglichkeit" involviert, dann muß ein mathematischer Möglichkeits Operator auf Sätze angewendet, die mE enthalten. Ein solcher Satz A könnte aber auch ein gemischter Satz (s.o. mit rein mathematischen und rein physikalischen Komponenten) sein. I 271 FieldVsPutnam: für rein mathematische Sätze fallen mathematische Möglichkeit und Wahrheit aber zusammen! Dann sind aber die "modalen Übersetzungen" genauso ontologisch verpflichtet wie die mathematischen Behauptungen. FieldVs"mathematische Möglichkeit"/FieldVsPutnam: sollten wir besser ignorieren. Vielleicht ging es Putnam um logische Möglichkeit 2. Stufe im Gegensatz zu 1. Stufe? I 271 FieldVsPutnam: welchen Nutzen hat seine modale Übersetzung? Leistet sie einen Wahrheitstransfer (im Gegensatz zur Übertragung bloßer Akzeptierbarkeit)? Und welchen Wert hat es dann zu sagen, da die mathematischen Aussage sowohl wahr als auch akzeptierbar sind? Usw. Mathematik/Realismus/Putnam/Field: Putnam bezeichnet sich selbst als "mathematischen Realisten": Unterschied zu Fields Definition von Realismus: er betrachtet mE nicht als geistunabhängig und sprachunabhängig, sondern (1975): Putnam: man kann Realist sein, ohne auf mathematische Objekte verpflichtet zu sein. I 272 Die Frage ist, wie es Kreisel vor langer Zeit formulierte: die Frage der Objektivität der Mathematik und nicht die Frage der Existenz von mathematischen Objekten. FieldVsPutnam: das ist rätselhaft. I 277 Modelltheorie/intendiertes Modell/Putnam/Field: diese Moral kann verstärkt werden: es gibt gar keinen Grund, "" als fixiert zu betrachten! Das sagt Putnam in "Models and reality": das einzige, was die" intendierte Interpretation" fixieren könnte, wäre das Akzeptieren von Sätzen, die "" enthalten, durch die Person oder die Gemeinschaft. Das dehnt Putnam dann auch auf nicht. mathematische Prädikate aus. ((s) >Löwenheim Skolem). FieldVsPutnam: das ist irreführend: es beruht auf der Verwechslung der Sicht, daß Referenz festgelegt wird, z.B. durch kausale Erwägungen mit der Sichtweise, daß sie durch eine Beschreibungstheorie (description theory, (Kennzeichnungstheorie?)) festgelegt wird, in der Beschreibungen (Kennzeichnungen?) die das Wort "Ursache" enthalten, eine prominente Rolle spielen sollen. (>Glymour, 1982, Devitt, 1983, Lewis 1984). |
Field I H. Field Realism, Mathematics and Modality Oxford New York 1989 Field II H. Field Truth and the Absence of Fact Oxford New York 2001 Field III H. Field Science without numbers Princeton New Jersey 1980 Field IV Hartry Field "Realism and Relativism", The Journal of Philosophy, 76 (1982), pp. 553-67 In Theories of Truth, Paul Horwich Aldershot 1994 |
| Strukturen Mathematik | Gödel Vs Russell, B. | Russell I XIV ZirkelfehlerprinzipPrincipia Mathematica/PM/Russell/Gödel: scheint also nur zu gelten unter konstruktivistischen Annahmen: wenn man unter einem Begriff ein Symbol versteht, zusammen mit einer Regel, um Sätze, die das Symbol enthalten zu übersetzen in Sätze, die es nicht enthalten. Klassen/Begriffe/Gödel: können dagegen auch als reale Objekte aufgefasst werden, nämlich als "Vielheiten von Dingen" und Begriffe als Eigenschaften oder Relationen von Dingen, die unabhängig von unseren Definitionen und Konstruktionen existieren! Das ist genauso legitim wie die Annahme physikalischer Körper. Sie sind auch für Mathematik notwendig, so wie sie es für die Physik sind. Konzept/Terminologie/Gödel: ich werde „Konzept“ von jetzt an ausschließlich in diesem objektiven Sinne gebrauchen. Ein formaler Unterschied zwischen diesen zwei Konzeptionen von Begriffen wäre: dass von zwei verschiedenen Definitionen der Form α(x) = φ(x) angenommen werden kann, dass sie zwei verschiedenen Begriffe α im konstruktivistischen Sinn definieren. (Nominalistisch: da zwei solche Definitionen unterschiedliche Übersetzungen geben für Propositionen, die α enthalten.) Für Konzepte (Begriffe) ist das dagegen keineswegs der Fall, da dasselbe Ding in verschiedener Weise beschrieben werden kann. Bsp "Zwei ist der Begriff, unter den alle Paare fallen und nichts sonst." Es gibt gewiss mehr als einen Begriff im konstruktivistischen Sinne, der dieser Bedingung genügt, aber es könnte eine gemeinsame "Form" oder "Natur" aller Paare geben. Alle/Carnap: Vorschlag, "alle" als Notwendigkeit zu verstehen, würde nichts helfen, wenn "Beweisbarkeit" konstruktivistisch eingeführt würde (..+..). Def Intensionalitätsaxiom/Russell/Gödel: zu verschiedenen Definitionen gehören verschiedene Begriffe. Dieses Axiom hält für Begriffe im Zirkelfehlerprinzip: konstruktivistischer Sinn. Konzepte/Russell/Gödel: (ungleich Begriffe!) sollen objektiv existieren. (Also nicht konstruiert). (Realistischer Standpunkt). Ist nur die Rede von Konzepten, bekommt die Frage einen völlig anderen Sinn: dann scheint es keinen Einwand dagegen zu geben, von ihnen allen zu sprechen, noch dagegen, einige von ihnen unter Bezug auf alle zu beschreiben. Eigenschaften/GödelVsRussell: man könnte sicher von der Totalität aller Eigenschaften (oder aller eines bestimmten Typs) sprechen, ohne dass das zu einer "Absurdität" führen würde! ((s) > Bsp „Alle Eigenschaften eines großen Feldherrn“. Gödel: das macht es lediglich unmöglich, ihren Sinn zu konstruieren (d.h. als eine Behauptung über Sinneswahrnehmung oder irgendwelche anderen nichtkonzeptuellen Entitäten zu erklären), was kein Einwand für jemand ist, der den realistischen Standpunkt einnimmt. Teil/Ganzes/Mereologie/GödelVsRussell:: ebenso wenig ist es widersprüchlich, dass ein Teil identisch (nicht bloß gleich) sein soll mit dem Ganzen, wie im Falle von Strukturen im abstrakten Sinne zu sehen ist. Bsp Die Struktur der Reihe der ganzen Zahlen enthält sich selbst als einen besonderen Teil. I XVI/XVII Sogar innerhalb des Bereichs der konstruktivistischen Logik gibt es gewisse Annäherungen an diese Selbstreflektivität (Selbstreflexivität/Heutzutage: Selbstähnlichkeit) imprädikativer Eigenschaften, nämlich Bsp Propositionen, die als Teile ihres Sinns nicht sich selbst enthalten, sondern ihre eigene formale Beweisbarkeit. Es existieren auch Sätze, die sich auf eine Totalität von Sätzen beziehen, zu der sie selbst gehören: Bsp "Jeder Satz einer (gegebenen) Sprache enthält mindestens ein Beziehungswort." Das macht es nötig, nach anderen Lösungen für die Paradoxien zu suchen, denen zufolge der Trugschluss nicht in der Annahme gewisser Selbstreflektivitäten der Grundterme besteht, sondern in anderen Annahmen über dieselben! Die Lösung mag vorläufig in der einfachen Typentheorie gefunden worden sein. Natürlich bezieht sich all das nur auf Konzepte. Klassen: man sollte meinen, dass sie ebenfalls nur durch ihre Definitionen nicht geschaffen, sondern nur beschrieben werden! Dann gilt das Zirkelfehler Prinzip wieder nicht. Zermelo spaltet Klassen in "Ebenen" auf, so dass nur Mengen niedrigerer Ebenen Elementen von Mengen höherer Ebenen sein können. Reduzibilitätsaxiom/Russell/Gödel. (später fallengelassen) wird nun vom Klassenaxiom (Zermelos "Aussonderungsaxiom") eingenommen: dass für jede Ebene für eine beliebige Propositionalfunktion(Aussagenfunktion, AF) φ(x) die Menge jener x von dieser Ebene existiert, für die φ(x) wahr ist. Das scheint impliziert zu sein durch das Konzept von Klassen als Vielheiten. I XVIII Extensionalität/Klassen: Russell: zwei Gründe gegen die extensionale Sicht von Klassen: 1. Die Existenz der Nullklasse, die nicht gut eine Kollektion sein kann, 2. Die Einerklassen, die identisch sein müssten mit ihren einzigen Elementen. GödelVsRussell: das könnte nur beweisen, dass die Nullklassen und die Einerklassen (als unterschieden von ihrem einzigen Element) Fiktionen sind zur Vereinfachung des Kalküls, und nicht beweisen, dass alle Klassen Fiktionen sind! Russell: versucht, soweit wie möglich ohne die Annahme der objektiven Existenz von Klassen auszukommen. Danach sind Klassen nur eine facon de parler. Gödel: aber auch "idealistische" Propositionen, die Universalien enthalten, könnten zu denselben Paradoxien führen. Russell: schafft Regeln der Übersetzungen, nach denen Sätze, die Klassennamen oder den Term "Klasse" enthalten, übersetzt werden in solche, die sie nicht enthalten. Klassennamen/Russell: eliminieren durch Übersetzungsregeln. Klassen/PM/Russell/Gödel: Principia kommen so ohne Klassen aus, aber nur wenn man die Existenz eines Konzepts annimmt, wann immer man eine Klasse konstruieren möchte. Zunächst müssen einige von ihnen, die Grundprädikate und Relationen wie "rot", "kälter" augenscheinlich als reale Objekte angesehen werden. Die höheren Begriffe erscheinen dann als etwas Konstruiertes (d.h. etwas, das nicht zum "Inventar der Welt" gehört). I XIX Ramsey: meinte, dass man Propositionen unendlicher Länge bilden könne und hält den Unterschied endlich /unendlich für nicht so entscheidend. Gödel: Logik und Mathematik sind wie Physik auf einem realen Inhalt aufgebaut und können nicht "wegerklärt" werden. Existenz/Ontologie/Gödel: es verhält sich nicht so, als sei das Universum der Dinge in Ordnungen eingeteilt und wäre es einem verboten, von allen Ordnungen zu sprechen, sondern im Gegenteil: es ist möglich, von allen existierenden Dingen zu sprechen. Klassen und Konzepte sind allerdings nicht darunter. Wenn sie aber als facon de parler eingeführt werden, stellt sich heraus, dass die Erweiterung des Symbolismus die Möglichkeit eröffnet, sie auf umfassendere Weise einzuführen, und so weiter, bis ins Unendliche. Um dieses Schema durchzuhalten, muss man allerdings die Arithmetik (oder etwas gleichwertiges) voraussetzen, was nur beweist, dass nicht einmal diese beschränkte Logik auf nichts aufgebaut werden kann. I XX Konstruktivistische Haltung/Konstruktivismus/Russell/Gödel: wurde in der ersten Auflage aufgegeben, da das Reduzibilitätsaxiom für höhere Typen es notwendig macht, dass Grundprädikate von beliebig hohem Typ existieren. Vom Konstruktivismus bleibt lediglich 1. Klassen als facon de parler 2. Die Definition von ~, v,. usw. als geltend für Propositionen, die Quantoren enthalten, 3. Stufenweise Konstruktion von Funktionen von Ordnungen höher als 1(freilich wegen des R-Axioms überflüssig) 4. Interpretation von Definitionen als bloßen typographischen Abkürzungen (alles unvollständige Symbole, nicht solche, die ein durch die Definition beschriebenes Objekt benennt!). Reduzibilitätsaxiom/GödelVsRussell: dieser letzte Punkt ist eine Illusion, weil wegen des Reduzibilitäts Axioms stets reale Objekte in Form von Grundprädikaten oder Kombinationen von solchen entsprechend jedem definierten Symbol existieren. Konstruktivistische Haltung/Konstruktivismus/PM/Gödel: wird in der zweiten Auflage wieder eingenommen und das Reduzibilitäts-Axiom fallengelassen. Es wird festgestellt, dass alle Grundprädikate zum niedrigsten Typ gehören. Variablen/Russell/Gödel: ihr Zweck ist es, die Behauptungen komplizierterer Wahrheitsfunktionen von atomistischen Propositionen zu ermöglichen. (d.h. dass die höheren Typen nur eine facon de parler sind.). Die Basis der Theorie soll also aus Wahrheitsfunktionen von atomistischen Propositionen bestehen. Das ist kein Problem, wenn die Zahl der Individuen und Grundprädikate endlich ist. Ramsey: Problem der Unfähigkeit, unendliche Propositionen zu bilden ist "bloße Nebensache" I XXI endlich/unendlich/Gödel: mit dieser Umgehung des Problems durch Missachtung des Unterschieds von endlich und unendlich dann existiert eine einfachere und zugleich weiterreichende Interpretation der Mengenlehre: Dann wird nämlich Russells Apercu, dass Propositionen über Klassen als Propositionen über ihre Elemente interpretiert werden können, buchstäblich wahr, vorausgesetzt, n ist die Zahl der (endlichen) Individuen der Welt und vorausgesetzt, wir vernachlässigen die Nullklasse. (..) + I XXI Theorie der Ganzen Zahlen: die zweite Auflage behauptet, dass sie zu erreichen sei. Problem: dass in der Definition "jene Kardinalzahlen, die zu jeder Klasse gehören, die 0 enthält und x + 1 enthält, wenn sie x enthält" die Wendung "jede Klasse" sich auf eine gegebene Ordnung beziehen muss. I XXII So erhält man ganze Zahlen verschiedener Ordnungen, und vollständige Induktion kann auf ganze Zahlen von Ordnung n nur für Eigenschaften von n angewandt werden! (...) Die Frage der Theorie der ganzen Zahlen auf Basis der verzweigten Typentheorie ist zurzeit noch ungelöst. I XXIII Theorie der Ordnung/Gödel: fruchtbarer, wenn sie von einem mathematischen Standpunkt, nicht einem philosophischen betrachtet wird, also unabhängig von der Frage, ob imprädikative Definitionen zulässig sind. (...) imprädikative Totalitäten werden von einer Funktion der Ordnung α und ω vorausgesetzt. Menge/Klasse/PM/Russell/Typentheorie/Gödel: die Existenz einer wohlgeordneten Menge vom Ordnungstyp ω1 reicht hin für die Theorie der reellen Zahlen. Def Kontinuumshypothese/Gödel: (verallgemeinert): keine Kardinalzahl existiert zwischen der Potenz irgendeiner beliebigen Menge und der Potenz der Menge ihrer Untermengen. Typentheorie/GödelVsRussell: gemischte Typen (Individuen zusammen mit Prädikationen über Individuen usw.) widersprechen dem Zirkelfehlerprinzip offensichtlich gar nicht! I XXIV Russell stützte seine Theorie auf ganz andere Gründe, die denen ähneln, die Frege bereits für die Theorie einfacherer Typen für Funktionen angenommen hatte. Propositionalfunktionen/Aussagenfunktion/AF/Russell/Gödel: haben immer etwas mehrdeutiges, wegen der Variablen. (Frege: etwas ungesättigtes). Propositionalfunktion/AF/Russell/Gödel: sozusagen ein Fragment einer Proposition. Sie zu kombinieren, ist nur möglich, wenn sie "zusammenpassen" d.h. von geeignetem Typ sind. GödelVsRussell: Konzepte (Begriffe) als reale Objekte: dann ist die Theorie der einfachen Typen nicht plausibel, denn wovon man erwarten würde dass es (wie z.B. "Transitivität" oder die Zahl zwei) ein Konzept wäre, schiene dann etwas zu sein, was hinter all seinen unterschiedlichen "Realisationen" auf den verschiedenen Ebenen steht und das demnach zufolge der Typentheorie nicht existiert. I XXV Paradoxien in der intensionalen Form/Gödel: hier bringt die Typentheorie eine neue Idee: nämlich die Paradoxien nicht auf dem Axiom zu tadeln, dass jede Propositionalfunktion ein Konzept oder eine Klasse definiert, sondern auf der Annahme, dass jedes Konzept eine sinnvolle Proposition ergibt, wenn es behauptet wird für ein beliebiges Objekt als Argument. Der Einwand, dass jedes Konzept ausgedehnt werden kann auf alle Argumente, indem ein anderes definiert wird, das eine falsche Proposition ergibt, wann immer das ursprüngliche sinnlos war, kann leicht entkräftet werden durch den Hinweis, dass das Konzept "sinnvoll anwendbar" nicht selbst immer sinnvoll anwendbar sein muss. |
Göd II Kurt Gödel Collected Works: Volume II: Publications 1938-1974 Oxford 1990 |
| Strukturen Mathematik | Field Vs Strukturalismus | II 328 Zahlen/Strukturalismus/Field: das drückt man manchmal so aus, dass 2 einfach eine Stelle in einer Struktur ist. (Resnik 1981, Shapiro 1989). Vagheit/Field: diese Sicht entspricht der Auffassung, dass Vagheit sich in der Welt befindet statt in unserer Sprache! ((s) >epistemische Sicht). FieldVs: nicht nur für Zahlen wie „2“ scheint das gut zu funktionieren, sondern auch für die Ausdrücke die wir gebrauchen, um Strukturen zu beschreiben, in denen es keine Symmetrien gibt. Symmetrie/Field: bringt hier ein Problem ins Spiel. ((s) Der Uneindeutigkeit, Mehrdeutigkeit?) Bsp Brandom: -1/Wurzel –1/komplexe Zahlen/Field: Problem: jede komplexe Zahl ungleich 0 (Bsp –1) hat zwei Wurzeln. (eigentlich BrandomVsFrege, BrandomVsLogizismus). „Zahl i“: dieser Term ist standardmäßig eingeführt für eine von beiden, (dann ist –i natürlich die andere). Problem. selbst wenn wir annehmen, dass wir irgendwie festgelegt haben, welche Objekte die komplexen Zahlen sind, welche Teilmenge von ihnen die reellen Zahlen sind und welche Funktionen von ihnen Addition und Multiplikation sind, dann läßt unser Gebrauch dieser Ausdrücke immer noch unbestimmt, auf welche der beiden Wurzeln von –1 unser Ausdruck „i“ referiert. ((s) Wegen der Symmetrie, es läßt sich kein Unterschied ausmachen). komplexe Zahlen/innen/außen/Theorie/Field: innerhalb der Theorie der komplexen Zahlen gibt es keine Möglichkeit, i und –i zu unterscheiden. Es gibt kein Prädikat A(x) das nicht selbst „i“ enthält und das wahr vom einen ist, aber nicht vom anderen. komplexe Zahlen/Field: natürlich helfen auch die praktischen Anwendungen nicht, sie zu unterscheiden! Problem: selbst wenn man nun sagt, dass „i“ einfach eine Stelle im System der komplexen Zahlen ist, besteht die Unbestimmtheit, denn die komplexe Zahlenebene enthält zwei strukturell identische Positionen für Wurzeln von –1, ohne unterscheidende Merkmale. 4. Unvollständigkeit“/Mathematik/Zahlen/Field: Zahlen sind gewissermaßen unvollständige Objekte: Bsp 2 hat Eigenschaften wie Vorgänger von 3 zu sein und Primzahl zu sein, aber keine Eigenschaft die darüber entscheidet, ob es eine Menge ist! FieldVsStrukturalismus: in dieser 4. Sichtweise ist er jedenfalls nicht die beste Weise, die „strukturalistische Einsicht“ zu erfassen. II 332 Platonismus/Mathematik/VsStrukturalismus/Field: isomorphe mathematische Bereiche müssen nicht ununterscheidbar sein. |
Field I H. Field Realism, Mathematics and Modality Oxford New York 1989 Field II H. Field Truth and the Absence of Fact Oxford New York 2001 Field III H. Field Science without numbers Princeton New Jersey 1980 Field IV Hartry Field "Realism and Relativism", The Journal of Philosophy, 76 (1982), pp. 553-67 In Theories of Truth, Paul Horwich Aldershot 1994 |
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Der gesuchte Begriff oder Autor findet sich in Auseinandersetzungen folgender wissenschaftlicher Lager:
| Begriff/ Autor/Ismus |
Pro/Versus |
Eintrag |
Literatur |
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| Formalismus | Versus | Barrow III 58 Bourbaki: pro Formalismus: Mathematik ist, was Mathematiker produzieren - keine Entdeckungen sondern Verfeinerungen - Vs: Auffinden mathematischer Strukturen in der Natur - III 63 BarrowVsBourbaki: math. Strukturen werden entdeckt und nicht erfunden. |
B I John D. Barrow Warum die Welt mathematisch ist Frankfurt/M. 1996 B II John D. Barrow Die Natur der Natur: Wissen an den Grenzen von Raum und Zeit Heidelberg 1993 B III John D. Barrow Die Entdeckung des Unmöglichen. Forschung an den Grenzen des Wissens Heidelberg 2001 |
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Der gesuchte Begriff oder Autor findet sich in folgenden 2 Thesen von Autoren des zentralen Fachgebiets.
| Begriff/ Autor/Ismus |
Autor |
Eintrag |
Literatur |
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| Platonismus | Field, Hartry | I 44 Um VsPlatonismus Erfolg zu haben, müssen wir auch zeigen, dass Mathematik verzichtbar ist in Wissenschaft und Metalogik. Dann haben wir Grund, nicht buchstäblich an Mathematik glauben zu müssen. >Unverzichtbarkeitsargument. I 45 Wenn das gelingt, können wir hinter den Agnostizismus gelangen. I 186 Def moderater Platonismus/mP/Field: die These, daß es abstrakte Objekte wie Zahlen gibt. Dann glaubt man vermutlich auch, daß es Relationen physikalischer Größe zwischen Gegenständen und Zahlen gibt. (Aber nur abgeleitet): Bsp "Masse in Kilogramm" ist dann Relation zwischen einem gegebenen physikalischen Objekt und der reellen Zahl 15,2. Bsp "Abstand in Metern" ist eine Relation zwischen zwei Objekten ((s) auf der einen Seite) und der reellen Zahl 7,4. Der Unterschied zum Hochleistungsplatonismus (HLP) liegt in der Haltung zu diesen Relationen: mP: These das sind konventionelle Relationen, die von grundlegenderen Relationen, die zwischen physikalischen Gegenständen allein bestehen, abgeleitet sind. Def Hochleistungs-Platonismus/Heavy-Duty-Platonism/Field: leugnet das und nimmt die Relationen zwischen Gegenständen und Zahlen als nackte Tatsache, die nicht in anderen Begriffen erklärbar ist. Aufgebläht könnte man das als "platonistische Teilhabe" erklären. II 332 Standard-Platonismus: These mathematische Theorien wie Mengenlehre oder Theorie der reellen Zahlen sind über verschiedene mathematische Bereiche, oder zumindest über bestimmte Strukturen, denn es gibt keine Notwendigkeit anzunehmen, daß isomorphe Bereiche (d.h. Bereiche mit derselben Struktur) mathematisch ununterscheidbar wären. Damit sollen "Bereiche" nicht als Mengen angenommen werden. II 333 Def "Platonismus der Vollkommenheit": (plenitude): postuliert eine Menge mathematischer Objekte. These wann immer wir eine konsistente rein-mathematische Theorie haben, dann gibt es mathematische Objekte, die die Theorie erfüllen unter einer Standard-Erfüllungsrelation. Platonismus der Vollkommenheit/PdV: legt aber auch nahe, These daß wir alle Quantoren über mathematische Entitäten so betrachten können, I 334 daß sie implizit beschränkt sind durch ein Prädikat, dem alle anderen Prädikaten von mathematischen Entitäten untergeordnet sind: "überwölbendes" Prädikat: ist dann zwischen den verschiedenen mathematischen Theorien verschieden. Diese Theorien konfligieren dann nicht mehr. II 335 Universum/Standard-Platonismus/Field: (These "Es existiert nur 1 Universum"). Problem/PutnamVsPlatonismus: wie schaffen wir es überhaupt, das "volle" (umfassende) Universum herauszugreifen und einem Teiluniversum gegenüberzustellen, und entsprechend die Standard-Elementbeziehung im Gegensatz zu einer Nicht-.Standard-Elementbeziehung? (Putnam 1980). (Hier aus der Perspektive von "1 Universum" gestellt). Putnam: These: das können wir eben nicht. |
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| Strukturalismus | Lewis, D. | Schw I 86 Eliminativer Strukturalismus/eS/ML/Lewis: Strategie zur Reduktion mathematischer Theorien. These die Peano-Axiome 2. Stufe (Annahmen über die Nachfolgerrelation) enthalten alles, was wir über die Nachfolgerrelation wissen. Eliminativer Strukturalismus: These: jede dieser Identifikationen ist so gut wie eine andere. Es gibt also nicht "die" Nachfolgerrelation. D.h.: Nachfolgerrelation/Lewis/Schwarz: handelt nicht von dem Verhältnis zweier bestimmter Relata ((s) Gegenstände) sondern dem, was allen passenden Relationen gemeinsam ist. Def nicht-eliminativer Strukuralismus/Mathematik/Schwarz: These: mathematische Theorien handeln von "abstrakten Strukturen", Bsp die Arithmetik von einer Struktur, die alle mengentheoretischen Nachfolgerbeziehungen "realisieren" (Parsons 1990), Shapiro 1997). Def Deduktivismus/Mathematik/Schwarz: (darf nicht mit elem. S) verwechselt werden): These: eine mathematische Aussage ist wahr gdw. aus den Axiomen ableitbar ist, egal ob die Axiome erfüllt sind oder nicht. Anders als der Deduktivismus hat der eS kein Problem mit Gödels Unvollständigkeitssätzen. |
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