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Der gesuchte Begriff oder Autor findet sich in folgenden 2 Einträgen:
| Begriff/ Autor/Ismus |
Autor |
Eintrag |
Literatur |
|---|---|---|---|
| Reelle Zahlen | Dedekind | Thiel I 192 Def Dedekindsche Schnitte/Reelle Zahlen/Dedekind(1): Ich finde nun das Wesen der Stetigkeit in der Umkehrung, also im folgenden Prinzip: Zerfallen alle Punkte der Geraden in zwei Klassen derart, dass jeder Punkt der ersten Klasse links von jedem Punkt der zweiten Klasse liegt, so existiert ein und nur ein Punkt, der diese Einteilung aller Punkte in zwei Klassen hervorbringt. KonstruktivismusVsDedekind: Da die in dieser Bestimmung verwendeten mathematischen Mittel nicht explizit genannt werden, bleibt die Forderung der konstruktivistischen Grundlagenkritiker unerfüllt, eine abstrakte Entität erst dann als "gegeben" zu betrachten, wenn ein sie darstellender konkreter Ausdruck angegeben wird, so dass sich alle von dem abstrakte Gegenstände behaupteten Eigenschaften letztlich auf entsprechende Eigenschaften der ihn darstellenden Ausdrücke zurückführen lassen. >Konstruktivismus, >Dedekindsche Schnitte. VsKonstruktivismus: Vertreter des "klassischen" Standpunkts weisen das als "zu eng" zurück, weil die explizite Angabe der zur Definition der Dedekindschen Schnitte verwendeten Ausdrucksmittel den Bereich der definierbaren reellen Zahlen einschränkt. "Neue" reelle Zahlen können erst durch Erweiterung der auf einer bestimmten Stufe zugelassenen und erst zu rechtfertigenden Mittel eingeführt werden. I 192/193 Dies gilt, wenn wir die Vermischung des arithmetischen und des geometrischen Gesichtspunktes in der Rede von der "Zahlengeraden" (auch bei der Erläuterung des Dedekindschen Verfahrens verwendet) zugunsten einer klaren Trennung aufgeben, um von der Gesamtheit "aller" reellen Zahlen und auch von der Gesamtheit "aller" Punkte auf einer Strecke oder Geraden sprechen. Unendlich/Unendlichkeit/konstruktiv: eine unendliche Gesamtheit liegt vor, wenn sie durch einen Erzeugungsprozess aufzählbar ist. Schwächerer Sinn: Die Reihe von Prinzipien muss bekannt sein. Stärkerer Sinn: Die Gesamtheit der reellen Zahlen liegt nicht vor. Sie ist keine definite Menge. Die klassische Analysis über reelle Zahlen setzt die stärkere Auffassung voraus. Schon in jeder Aussage über "alle" reellen Zahlen wird die Gesamtheit als aktual gegeben aufgefasst. Vgl. >Intuitionismus. 1. Dedekind, R. (1872). Stetigkeit und irrationale Zahlen. Nachdruck 1965: Braunschweig: Vieweg. |
T I Chr. Thiel Philosophie und Mathematik Darmstadt 1995 |
| Reelle Zahlen | Thiel | Thiel I 238 Def Reelle transzendente Zahlen: solche reelle Zahlen, die nicht Lösungen irgendwelcher algebraischer Gleichungen anxn+....= 0 sind mit ganzzahligen Koeffizienten ai. Sie könnten nämlich ein einfaches Verfahren angeben, woraus sie wegen der durch Cantor bewiesenen Nichtabzählbarkeit der Gesamtheit der reellen Zahlen folgerten, dass nach Abzug der reellen Zahlen eine nichtleere Gesamtheit übrigbleiben müsse, I 239 eben die der transzendenten reellen Zahlen. Nun ist man allerdings aufgrund dieses typisch "klassischen" Schusses nicht in der Lage, eine solche Zahl tatsächlich vorzuweisen. Trotzdem hatte schon lange vorher Liouville 1844 reelle transzendente Zahlen konstruiert: 1/10 + 1/ 10² Fakultät + 1/10 3 Fakultät... Wollte man logisch beide Fälle (konstruktiv und klassisch) einfach durch "(Ex)Tr(x)" (mit "Tr" für transzendent), so würde man den Unterschied einfach verwischen. Für die Grundlagen der Mathematik ist es wichtig, gerade effektive Existenzbeweise eigens also solche auszuzeichnen. In einigen Fällen wird auch die Existenz gar nicht in Frage gestellt, aber eine konkrete Antwort auf eine mathematische Frage gesucht. I 240 Bsp Größter gemeinsamer Teiler zweier Grundzahlen. Ein "effektives Verfahren" löst das Problem nicht durch Probieren, sondern in endlich vielen Schritten. >Berechenbarkeit, >Unendlichkeit, >Kontinuum. |
T I Chr. Thiel Philosophie und Mathematik Darmstadt 1995 |
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Der gesuchte Begriff oder Autor findet sich in Auseinandersetzungen folgender wissenschaftlicher Lager:
| Begriff/ Autor/Ismus |
Pro/Versus |
Eintrag |
Literatur |
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| Reelle Zahlen konstr. Reelle Zahlen | Pro | Waismann II 133 Lager: reelle Zahlen: Cantor, Waismann: Folgen, nur konstruktiv gegeben, k. Punkt - HankelVs, du Bois-ReymondVs: darf nicht vom Messen und dem Begriff der Größe getrennt werden. |
Waismann I F. Waismann Einführung in das mathematische Denken Darmstadt 1996 Waismann II F. Waismann Logik, Sprache, Philosophie Stuttgart 1976 |
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Der gesuchte Begriff oder Autor findet sich in folgenden Thesen von Autoren des zentralen Fachgebiets.
| Begriff/ Autor/Ismus |
Autor |
Eintrag |
Literatur |
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| Mathe/Interpretat. | Benacerraf, P. | Field I 20 Mathematik/Identifikation/Interpretation/Benacerraf: (1965) These es gibt eine Fülle von Willkür in der Identifizierung mathematischer Objekte mit anderen mO: Bsp Zahlen: können mit Mengen identifiziert werden, aber mit welchen? reelle Zahlen: für sie gibt es aber keine einheitliche mengentheoretische Erklärung. Man kann sie mit Dedekindschen Schnitten, mit Cauchy-Folgen, - I 21 mit geordneten Paaren, mit dem Tensor-Produkt zweier Vektor-Räume oder mit Tangenten-Vektoren an einem Punkt einer Mannigfaltigkeit identifizieren. Tatsache: es scheint hier keine Tatsache zugeben, die darüber entscheidet, welche Identifikation man zu wählen hat! (>Nonfaktualismus). Field: das Problem geht aber noch tiefer: es ist dann willkürlich, was man als grundlegende Objekte wählt, z.B. Mengen? |
Field I H. Field Realism, Mathematics and Modality Oxford New York 1989 Field II H. Field Truth and the Absence of Fact Oxford New York 2001 Field III H. Field Science without numbers Princeton New Jersey 1980 Field IV Hartry Field "Realism and Relativism", The Journal of Philosophy, 76 (1982), pp. 553-67 In Theories of Truth, Paul Horwich Aldershot 1994 |
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