VII (e) 91
Abkürzungen/Quine: definierende Abkürzungen stehen immer außerhalb eines formalen Systems - deswegen müssen wir einen Ausdruck in einfache Notation bringen, bevor wir ihn auf Hierarchie prüfen.
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ad IX 190
System/Quine: ein neues System wird nicht durch neue Definitionen eingeführt, sondern durch neue Unterscheidungen.
((s) Bsp (s): wenn ich immer "n + 1" anmerken muss, um den Unterschied zwischen reellen und rationalen Zahlen zu markieren, habe ich eben nicht die reellen Zahlen eliminiert, sondern den alten Unterschied beibehalten. Ich habe nur die Notation verändert, nicht die Ontologie.)
IX 232
Theorie/Vergrößerung/Erweiterung/System/Quine: eine Vergrößerung ist keine Erweiterung!
Erweiterung: Hinzunahme von Axiomen, kann Widersprüche erzeugen .
Vergrößerung/Quine: soll bedeuten, ein hinzugefügtes Schema auf schon vorhandene Axiome eines Systems zu relativieren, z.B. auf "Uϑ", ((s) wenn etwas in "Uϑ" existiert, muss es eine Menge sein.)
Eine solche Vergrößerung erzeugt niemals einen Widerspruch.
IX 237
Theorie/stärker/schwächer/Quine: wenn ein deduktives System in dem Sinne eine Erweiterung eines anderen ist, dass seine Theoreme sämtliche des anderen und noch weitere umfassen, so ist in einer bestimmten Weise das eine stärker als das andere. Aber diese Vergleichsgrundlage ist schwach:
1. Versagt sie, wenn jedes der beiden Systeme Theoreme hat, die nicht in dem anderen zu finden sind. (Vergleichbarkeit).
2. Sie hängt an Zufälligkeiten der Interpretation und nicht einfach an Struktureigenschaften.
Bsp Angenommen, wir hätten genau "=" und "R" als primitive zweistellige Prädikate mit gewöhnlichem Identitätsaxiom und Transitivität. Nun erweitern wir das System, durch Hinzufügen der Reflexivität "∀x(xRx)".
Das erweiterte System ist nur dann stärker, wenn wir sein "R" mit dem ursprünglichen "R" gleichsetzen. Wenn wir aber sein "xRy" mit Hilfe des ursprünglichen "R" als "x = y v x R y" neu interpretieren, dann sind alle seine Theoreme in dem nicht erweiterten System beweisbar. (>
Löwenheim,
>
Beweisbarkeit).
Bsp (weniger trivial): Russells Methode ((1) bis (4), Kap 35), Extensionalität für Klassen zu gewährleisten, ohne sie für Attribute annehmen zu müssen. Gegeben sei eine Mengenlehre ohne Extensionalität. Wir könnten sie durch Hinzufügen dieses Axioms erweitern, und doch könnten wir zeigen, dass alle Theorem des erweiterten Systems mit Russells Methode als Theoreme neu zu interpretieren wären, die bereits in dem nicht erweiterten System beweisbar sind.
Stärker/schwächer/Quine: besserer Standard für den Vergleich von Stärke: "Vergleich durch Neuinterpretation": wenn wir die primitiven logischen Zeichen (also bei der Mengenlehre nur "ε") so neu interpretieren können, dass wir damit alle Theoreme dieses Systems zu Übersetzungen der Theoreme des anderen Systems werden lassen, dann ist das letztgenannte System mindestens so stark wie das erste.
IX 238
Wenn das nicht in der anderen Richtung geht, ist das eine System stärker als das andere.
Def "ordinale Stärke"/Quine: ein anderer bedeutungsvoller Sinn von Stärke eines Systems: folgendes überraschend zahlenmäßiges Maß: die kleinste transfinite OZ, deren Existenz man im System nicht mehr beweisen kann.
Jede normale Mengenlehre kann natürlich die Existenz unendlich vieler transfiniter Zahlen beweisen, aber das bedeutet nicht, dass man sie alle erhält.
transfinit/Quine: was daran so charakteristisch ist, ist, dass wir dann weiter die Iteration iterieren und das Iterieren von Iterationen iterieren, bis unser Apparat irgendwie blockiert. Die kleinste transfinite Zahl nach dem Blockieren des Apparats gibt dann an, wie stark der Apparat war.
Ein Axiom, das zu einem System mit dem sichtbaren Ziel vergrößerter Ordinalstärke hinzugefügt werden kann, ist das Axiom, dass es jenseits von w (Omega) eine unerreichbare Zahl gibt. (Ende Kap 30).
Eine endlose Serie weiterer Axiome dieser Art ist möglich.
Stärke von Systemen/OZ/Quine: andere Möglichkeit OZ für die Stärke einzusetzen: wir können die Theorie der kumulativen Typen auf transfinite Typen erweitern, indem wir zum x-ten Typ für jede OZ x, alle Klasse akkreditieren, deren Elemente alle einen Typ unter x haben.
So ist das Universum der Theorie der kumulativen Typen in Kap 38, der transfinite Typen fehlen, selbst der w te Typ.
Def "natürliches Modell/"Montague/Vaught/Quine: so nennen die beiden diesen Typ, wenn die Axiome einer Mengenlehre erfüllt werden, falls man ihr Universum als solch einen Typ nimmt.
So hat Zermelos Mengenlehre ohne UA den w ten Typ als natürliches Modell. (Das haben wir in Kap 38 gesehen). Also ist die ordinale Stärke dieses Systems höchstens w, offensichtlich auch nicht kleiner.
Mit UA: w + w.
Stärke des Systems von von Neumann-Bernays: eins mehr als die erste unerreichbare Zahl nach w.
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XII 33
Gegenstand/Existenz/System/Quine: systematische Überlegungen können uns dazu bringen, bestimmte Gegenstände zu verwerfen
XII 34
oder bestimmte Terme als nicht referierend zu erklären.
Vorkommnis: auch einzelnen Vorkommnisse von Termen. Das ist Freges Standpunkt: ein Vorkommnis kann bei einer Gelegenheit etwas bezeichnen, bei einer anderen nicht. (>
bezeichnende Position).
Bsp „Thomas glaubt, dass Tullius die Ars Magna geschrieben hat“. In Wirklichkeit verwechselt er Tullius mit Lullus.
