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Unendlichkeitsaxiom: Ein Axiom der Mengenlehre, das sicherstellt, dass es unendliche Mengen gibt. Formuliert wird es z.B. so, dass eine Bildungsvorschrift für das Zustandekommen von Elementen einer beschriebenen Menge angegeben wird. Wenn {x} der Nachfolger von x ist, so wird durch die Vereinigung x U {x} die Fortsetzung gebildet. Siehe auch Mengenlehre, Nachfolger, Vereinigung, Axiome. _____________Anmerkung: Die obigen Begriffscharakterisierungen verstehen sich weder als Definitionen noch als erschöpfende Problemdarstellungen. Sie sollen lediglich den Zugang zu den unten angefügten Quellen erleichtern. - Lexikon der Argumente. | |||
Autor | Begriff | Zusammenfassung/Zitate | Quellen |
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David Hilbert über Unendlichkeitsaxiom – Lexikon der Argumente
Berka I 122 Def Zahl/Logische Form/Erweiterter Funktionenkalkül/Hilbert: Auch der allgemeine Zahlbegriff lässt sich logisch formulieren: Soll ein Prädikatenprädikat φ(F) eine Zahl darstellen, so muss φ folgenden Bedingungen genügen: 1. Bei zwei gleichzahligen Prädikaten F und G muss φ für beide zutreffen oder für beide nicht zutreffen. 2. Sind zwei Prädikate F und G nicht gleichzahlig, darf φ höchstens für eins der beiden Prädikate F und G zutreffen. Logische Form: (F)(G){(φ(F) & φ(G) > Glz (F,G) & [φ(F) & Glz (F,G) > φ(G)]}. Der ganze Ausdruck stellt eine Eigenschaft von φ dar. Bezeichnen wir diese mit Z(φ), können wir also sagen: Eine Zahl ist ein Prädikatenprädikat φ, das die Eigenschaft Z(φ) besitzt. >Zahlen, >Definitionen, >Definierbarkeit, >Unendlichkeit, >Axiome, >Axiomensysteme, >Prädikate, >Eigenschaften. Problem/Unendlichkeitsaxiom/Hilbert: Ein Problem tritt auf, wenn wir nach den Bedingungen fragen, unter der zwei Prädikatenprädikate φ und ψ mit den Eigenschaften Z(φ) und Z(ψ) dieselbe Zahl definieren. Unendlichkeitsaxiom/Gleichzahligkeit/Hilbert: Die Bedingung für die Gleichzahligkeit bzw. dafür, dass zwei Prädikatenprädikate φ und ψ dieselbe Zahl definieren, besteht darin, dass φ(P) und ψ(P) für dieselben Prädikate P wahr und für dieselben Prädikate falsch sind, dass also die Beziehung besteht: (P)(φ(P) ↔ ψ(P)) I 122 Problem: Wenn der Gegenstandsbereich endlich ist, werden alle Zahlen gleichgesetzt, die größer sind als die Anzahl der Gegenstände im Individuenbereich. >Endlichkeit/Hilbert, >Endlichkeit, >Finitismus. Denn ist die Anzahl z.B. kleiner als 1060 und nehmen wir für φ und ψ die Prädikate, die die Zahlen 1060 und 1060 + 1 definieren, so trifft sowohl φ als auch ψ auf kein Prädikat P zu. Die Relation (P)(φ(P) ↔ ψ(P)) ist also für φ und ψ erfüllt, d.h. φ und ψ würden dieselbe Zahl darstellen. Lösung/Hilbert: Unendlichkeitsaxiom: Man muss den Individuenbereich als unendlich voraussetzen. Auf einen logischen Nachweis für die Existenz einer unendlichen Gesamtheit wird dabei freilich verzichtet.(1) 1. D. Hilbert & W. Ackermann: Grundzüge der Theoretischen Logik, Berlin, 6. Aufl. Berlin/Göttingen/Heidelberg 1972, §§ 1,2._____________ Zeichenerklärung: Römische Ziffern geben die Quelle an, arabische Ziffern die Seitenzahl. Die entsprechenden Titel sind rechts unter Metadaten angegeben. ((s)…): Kommentar des Einsenders. Übersetzungen: Lexikon der ArgumenteDer Hinweis [Begriff/Autor], [Autor1]Vs[Autor2] bzw. [Autor]Vs[Begriff] bzw. "Problem:"/"Lösung", "alt:"/"neu:" und "These:" ist eine Hinzufügung des Lexikons der Argumente. |
Berka I Karel Berka Lothar Kreiser Logik Texte Berlin 1983 |