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Der gesuchte Begriff oder Autor findet sich in folgenden 12 Einträgen:
| Begriff/ Autor/Ismus |
Autor |
Eintrag |
Literatur |
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| Allgemeingültigkeit | Gödel | Berka I 314 Allgemeingültigkeit/Gödel: Allgemeingültigkeit führt zur Allquantifkation: bei Formeln mit freien Individuenvariablen A(x,y,...w) bedeutet das die Allgemeingültigkeit von (x)(y)...(w) A(x,y,...w). >Allquantifikation, >Quantifikation, >Existenzquantifikation Def Erfüllbarkeit/Goedel: Erfüllbarkeit führt zur Existenzquantifikation. ((s) "Es gibt ein Modell".) Das ist dann entsprechend die Erfüllbarkeit von (Ex)(Ey)...(Ew) A. Dann kann man sagen: "A ist allgemeingültig" bedeutet: "~A ist nicht erfüllbar". >Erfüllung, >Erfüllbarkeit. Widerlegbarkeit: Widerlegbarkeit ist durch Beweisbarkeit der Negation möglich. >Negation, >Beweise, >Beweisbarkeit. I 310 Beweisbarkeit/Allgemeingültigkeit/Gödel:... wir haben hier die Äquivalenz zwischen "allgemeingültig" und "beweisbar" bewiesen. Äquivalenz. Überabzählbar/Gödel: Pointe: Diese Äquivalenz beinhaltet für das Entscheidungsproblem eine Reduktion des Überabzählbaren auf das Abzählbare, denn "allgemeingültig" bezieht sich auf die überabzählbare Gesamtheit der Funktionen, während "beweisbar" nur die abzählbare Gesamtheit der Beweisfiguren voraussetzt.(1) >Entscheidungsproblem, >Abzählbarkeit, >Überabzählbar. 1. K. Gödel: Die Vollständighkeit der Axiome des logischen Funktionenkalküls, in: Mh, Math. Phys. 37 (1930) S. 349-360. |
Göd II Kurt Gödel Collected Works: Volume II: Publications 1938-1974 Oxford 1990 Berka I Karel Berka Lothar Kreiser Logik Texte Berlin 1983 |
| Kontinuum | Brouwer | Thiel I 347 Kontinuum/Brouwer: Brouwer sieht im Kontinuum im Gegensatz zu Cantor, der es als ein fertiges unendliches Ganzes betrachtete, und auch im Gegensatz zu den französischen Funktionentheoretikern und zu Weyl, die es als abzählbare Menge konstruierbarer Elemente auffassten, als ein "Medium freien Werdens". Intuitiv gegeben, nicht abzählbar. >Abzählbarkeit, >Unendliches, >Reelle Zahlen, vgl. >Kontinuumshypothese, >G. Cantor, >Zahlen, >Zahlentheorie. |
T I Chr. Thiel Philosophie und Mathematik Darmstadt 1995 |
| Kontinuum | Cantor | Thiel I 197 Reelle Zahlen/Cantor/Thiel: Eugen Dühring 1861: Eine jede Anzahl, die als etwas Fertiges gedacht wird, ist eine bestimmte. Reelle Zahlen/CantorVsDühring/Thiel: eine nichtabzählbare Gesamtheit ist etwas Fertiges (ja sogar "Aktuales"), also eine bestimmte Anzahl. >Reelle Zahlen. Cantor: keine abzählbare Liste von Dualfolgen kann alle Dualfolgen enthalten. Vielmehr wird von vornherein die Menge der reellen Zahlen oder die Menge der Dualfolgen als gegeben betrachtet, und die Annahme, diese Menge sei abzählbar, dann als durch die Diagonalkonstruktion widerlegt hingestellt. >Diagonalverfahren, >Abzählbarkeit. Der fraglosen Hinnahme der "Menge" aller reellen Zahlen oder Dualfolgen entspricht völlig die Deutung des geführten Nachweises, der nach klassischer Auffassung mehr als das rein negative Ergebnis der Nichtabzählbarkeit liefert: I 198 Da die schon akzeptierte Menge aller reellen Zahlen eine Mächtigkeit haben muss, ist diese zwar unendlich, aber nicht gleich der der Grundzahlen. Also größere Mächtigkeit. >Mengen, >Mengenlehre. Entsprechend der Vorstellung von der Bestimmtheit aller Anzahlen oder Mächtigkeiten erhält sie dann auch einen Namen, z.B. "c". Damit scheinen wir dann auch eine "transfinite" Kardinalzahl zu haben: die Mächtigkeit des Kontinuums, die größer ist als die Mächtigkeit der Menge der Grundzahlen. Cantor hat positiv ein ganzes weiteres Reich des Überabzählbaren zu erweisen versucht. KonstruktivismusVs: Es gibt keine Menge der reellen Zahlen, da eine diese Menge darstellende Aussageform fehlt. >Konstruktivismus. Außerdem mit den Dualfolgen unzulässiger Vorgriff auf Konstruktionsmittel, die noch gar nicht zur Verfügung stehen. Die spezielle Konstruktionsanweisung für Dualfolgen wäre sogar widersprüchlich, da sie fordert, eine Dualfolge zu konstruieren, die von allen Dualfolgen verschieden ist. (Also auch von sich selbst). Vgl. >Kontinuumshypothese. |
T I Chr. Thiel Philosophie und Mathematik Darmstadt 1995 |
| Kontinuumshypothese | Cantor | Berka I 295 Kontinuumshypothese/Cantor: (1884): Wenn eine unendliche Menge von reellen Zahlen nicht abzählbar ist, so ist sie der Menge der reellen Zahlen ℝ selbst gleichmächtig. >Reelle Zahlen, >Abzählbarkeit, >Mengen, >Mengenlehre, >Kontinuum/Cantor. |
Berka I Karel Berka Lothar Kreiser Logik Texte Berlin 1983 |
| Löwenheim, Satz v. | Gödel | Berka I 314 Löwenheim-Skolem/Allgemeingültigkeit/Gödel: Wenn etwas "in jedem Individuenbereich allgemeingültig" ist, dann besagt das dasselbe wie "im abzählbaren Individuenbereich allgemeingültig".(1) >Gültigkeit, >Allgemeingültigkeit/Gödel, >Allgemeingültigkeit, >Bereiche, >Individuenbereiche, >Abzählbarkeit. 1. K. Gödel: Die Vollständigkeit der Axiome des logischen Funktionenkalküls, in: Mh, Math. Phys. 37 (1930) 349-360. |
Göd II Kurt Gödel Collected Works: Volume II: Publications 1938-1974 Oxford 1990 Berka I Karel Berka Lothar Kreiser Logik Texte Berlin 1983 |
| Löwenheim, Satz v. | Hilbert | Berka I 340 Löwenheim/Hilbert/Ackermann: Löwenheim hat gezeigt, dass jeder Ausdruck, der für dem abzählbaren Bereich allgemeingültig ist, dieselbe Eigenschaft für jeden anderen Bereich hat. Bei Löwenheim erscheint der Satz aber in der dualen Fassung: Jede Formel des Funktionenkalküls ist entweder widerspruchsvoll oder schon innerhalb eines abzählbar unendlichen Denkbereichs erfüllbar. >Erfüllung, >Erfüllbarkeit, >Modelle, >Modelltheorie, >Funktionenkalkül, >Abzählbarkeit. Allgemeingültigkeit/Hilbert/Ackermann: Beispiele für Formeln, die in jedem Bereich gültig sind, sind sämtliche Formeln, die aus Axiomen eines Systems bewiesen werden können. >Gültigkeit, >Allgemeingültigkeit. Löwenheim/Hilbert/Ackermann: Von Löwenheim stammt ein weiterer bemerkenswerter Satz: Man kann sich bei der Behandlung der logischen Formeln auf solche beschränken, in denen nur Funktionszeichen mit höchstens zwei Leerstellen vorkommen(2). Dem entspricht: Schröder: Der allgemeine Relativkalkül lässt sich auf den binären zurückführen(1). >Logische Formeln. 1. D. Hilbert & W. Ackermann: Grundzüge der Theoretischen Logik, Berlin, 6. Aufl. Berlin/Göttingen/Heidelberg 1972), § 12. 2. L. Löwenheim: Über Möglichkeiten im Relativkalkül, Math. Annalen 76 (1915), S. 447-470, S. 459. |
Berka I Karel Berka Lothar Kreiser Logik Texte Berlin 1983 |
| Löwenheim, Satz v. | Quine | X 79 Gültigkeit/Satz/Menge/Schema/Quine: wenn Mengen und Sätze derart auseinander fallen, sollte es einen Unterschied zwischen diesen beiden Definitionen der Gütligkeit (Über Schema (mit Sätzen) bzw. Modelle (mit Mengen) geben. Aber aus dem Satz von Löwenheim folgt, dass die beiden Definitionen der Gültigkeit (über Sätze, bzw. Mengen) nicht auseinanderfallen, solange die Objektsprache nicht allzu ausdrucksschwach (ausdrucksarm) ist. Bedingung: die Objektsprache muss die elementare Zahlentheorie ausdrücken können. (enthalten). OS: In einer solchen Sprache wird ein Schema, das bei allen Einsetzungen von Sätzen wahr bleibt, auch von allen Modellen erfüllt und umgekehrt. Die Forderung der elementaren Zahlentheorie ist ziemlich schwach. Def elementare Zahlentheorie/eZT/Quine: spricht über die positiven ganzen Zahlen mit Hilfe der Addition, Multiplikation, Identität, Wahrheitsfunktionen und Quantifikation. >Zahlentheorie/Quine. Standardgrammatik/Quine: Die Standardgrammatik würde die Funktoren der Addition, Multiplikation, wie die Identität, durch geeignete Prädikate ausdrücken. So erhalten wir die beiden Sätze: (I) Wenn ein Schema bei allen Einsetzungen von Sätzen der elementaren Zahlentheorie wahr bleibt, dann wird es von allen Modellen erfüllt. X 80 (II) Wenn ein Schema von jedem Modell erfüllt wird, dann ist e bei allen Einsetzungen von Sätzen wahr. Quine: Satz (I) geht auf Löwenheim 1915 zurück: Satz von Löwenheim/Quine: jedes Schema, das überhaupt von einem Modell erfüllt wird, wird von einem Modell ‹U,α,β,γ...› erfüllt, wo U nur die positiven ganzen Zahlen umfasst. Löwenheim/Hilbert/Bernays: Verschärfung: die Mengen α, β,γ,...usw. können je durch einen Satz der eZT bestimmt sein: Also: (A) Wird ein Schema überhaupt von einem Modell erfüllt, so ist es wahr bei einer Einsetzung von Sätzen der eZT anstelle seiner einfachen Schemata. Voraussetzung für die Einsetzungen: die quantifizierbaren Variablen müssen in ihrem Wertebereich die positiven ganzen Zahlen haben. Sie dürfen aber auch noch andere Werte haben. (I) folgt aus (A) wie folgt: (A) ist mit seiner Kontraposition äquivalent: ist ein Schema bei allen Einsetzung von Sätzen der elementaren ZT falsch, so wird es von keinem Modell erfüllt. Wenn wir hier anstelle des Schemas über seine Negation sprechen, dann wird aus „falsch2 „wahr“ und „von keinem Modell“ zu „von jedem Modell“. Damit haben wir (I). Dem Satz (II) liegt der Satz von der deduktiven Vollständigkeit der Quantorenlogik zugrunde. II 29 Klassen: man könnte alle Klassen in ihr Komplement umdeuten: "kein Element von.. " - Man würde nie etwas merken! - Unterste Schicht: jeder Relativsatz, jeder allgemeine Term bestimmt eine Klasse. >Klassen/Quine. V 160 Löwenheim/Quine: keine Neudeutung von Zeichen - wohl aber Veränderung von Termini und der Bereiche - konstant bleiben die Bedeutungen der Zeichen für Wahrheitsfunktionen und für die Quantoren. - Der Unterschied ist nicht so groß und lässt sich allein mit Hilfe eines neuen Terminus wiedergeben: Bsp "ε" oder "abzählbar". - Für Quantoren und Wahrheitsfunktionen spielt nur der Unterschied endlich/unendlich eine Rolle. - Überabzählbarkeit ist nicht Auffassungssache. - Lösung: es geht nur darum, welcher Begriff grundlegend ist: abzählbar oder überabzählbar. |
Quine I W.V.O. Quine Wort und Gegenstand Stuttgart 1980 Quine II W.V.O. Quine Theorien und Dinge Frankfurt 1985 Quine III W.V.O. Quine Grundzüge der Logik Frankfurt 1978 Quine V W.V.O. Quine Die Wurzeln der Referenz Frankfurt 1989 Quine VI W.V.O. Quine Unterwegs zur Wahrheit Paderborn 1995 Quine VII W.V.O. Quine From a logical point of view Cambridge, Mass. 1953 Quine VII (a) W. V. A. Quine On what there is In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (b) W. V. A. Quine Two dogmas of empiricism In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (c) W. V. A. Quine The problem of meaning in linguistics In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (d) W. V. A. Quine Identity, ostension and hypostasis In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (e) W. V. A. Quine New foundations for mathematical logic In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (f) W. V. A. Quine Logic and the reification of universals In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (g) W. V. A. Quine Notes on the theory of reference In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (h) W. V. A. Quine Reference and modality In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (i) W. V. A. Quine Meaning and existential inference In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VIII W.V.O. Quine Bezeichnung und Referenz In Zur Philosophie der idealen Sprache, J. Sinnreich (Hg) München 1982 Quine IX W.V.O. Quine Mengenlehre und ihre Logik Wiesbaden 1967 Quine X W.V.O. Quine Philosophie der Logik Bamberg 2005 Quine XII W.V.O. Quine Ontologische Relativität Frankfurt 2003 Quine XIII Willard Van Orman Quine Quiddities Cambridge/London 1987 |
| Modelle | Kauffman | I 415 Modell/Wirtschaft/Kauffman: In Wirtschafts- und anderen Systemen gibt es eine gewaltige Anzahl Nischen. Wodurch entstehen diese? Nach welche Regeln verknüpfen sich Arbeitsplätze, Aufgaben, Funktionen und Produkte zu Netzwerken? >Nischen, >Regeln, >Fortschritt, >Gesellschaft. These: Wir können Waren und Dienstleistungen als Zeichenketten betrachten, die auf andere Zeichenketten einwirken. Hammer wirkt auf Nägel und zwei Bretter ein. >Zeichenketten, >Funktionen/Kauffman. I 416 Modell/Kauffman: Was nützen Modelle, wenn wir die wahren Gesetze der Komplementarität und Substituierbarkeit nicht kennen? >Substituierbarkeit. Ihr Nutzen liegt darin, dass wir die Art von Dingen erkennen können, die wir in der realen Welt erwarten würden, wenn unser Modell in derselben "Universalitätsklasse" liegt. ((s) Vgl. hierzu >Brandom: singuläre Termini, Prädikate, in Bezug auf Allgemeinheitsebene). Def Universalitätsklasse/Physik/Kauffman: Klasse von Modellen, die dieselben robusten Verhaltensmuster zeigen. >Modelle, vgl. >Modelltheorie. Lambda-Kalkül/Church/Kauffman: System zur Ausführung universeller Berechnungen. Ebenso Emil Post. Universelles System und Turing-Maschine, alle diese Systeme sind äquivalent. >Lambda-Kalkül, >Turing-Maschine. I 417 Modell/Post/Kauffman: Bsp Ein System, wo die linke Liste von Zeichenketten die "Grammatik" darstellt, jedes Paar von Zeichenketten spezifiziert eine Substitution. I 419 Die Zeichenketten können dann aufeinander einwirken, wie Enzyme auf Substrate. Aus willkürlichen Regeln können nichtwillkürliche entstehen! >Willkür, >Kontingenz, >Notwendigkeit. Die Anzahl der möglichen Grammatiken ist überabzählbar unendlich. >Grammatik, >Unendlichkeit, >Abzählbarkeit, >Überabzählbar. Komplexität: Wenn die rechten Glieder der Zeichenketten kürzer sind als die linken, wird die "Suppe" reaktionsträge, weil alle Ketten kürzer werden, und nicht mehr auf eine "enzymatische Stelle" passen. Die verschiedenen Regionen bilden Universalitätsklassen. |
Kau II Stuart Kauffman At Home in the Universe: The Search for the Laws of Self-Organization and Complexity New York 1995 Kauffman I St. Kauffman Der Öltropfen im Wasser. Chaos, Komplexität, Selbstorganisation in Natur und Gesellschaft München 1998 |
| Ordinalzahlen | Russell | Bertrand Russell Die Mathematik und die Metaphysiker 1901 in: Kursbuch 8 Mathematik 1967 18 Ordinalzahlen: ergeben sich durch Abzählen. Gegenstände lassen sich nur dann abzählen, wenn einige zuerst, und andere danach kommen. >Wohlordnung, >Zahlen, >Abzählbarkeit, >Unendlichkeit, >Überabzählbarkeit. Kardinalzahlen: Sie sind die Grundzahlen der unendlichen Zahlen (nicht die Ordinalzahlen). Man erhält sie nicht durch Ordnen und Abzählen, sondern durch eine andere Methode, die gegebenenfalls erkennen lässt, ob eine Menge größer ist. Diese Methode sagt nicht in derselben Weise wie das Zählen, wie viele Elemente eine Menge hat! Jedes Element wird paarweise an eine Zahl gekoppelt. So werden unendliche Mengen zahlenmäßig definiert. >Mengen, >Mengenlehre, >Funktionen. |
Russell I B. Russell/A.N. Whitehead Principia Mathematica Frankfurt 1986 Russell II B. Russell Das ABC der Relativitätstheorie Frankfurt 1989 Russell IV B. Russell Probleme der Philosophie Frankfurt 1967 Russell VI B. Russell Die Philosophie des logischen Atomismus In Eigennamen, U. Wolf (Hg) Frankfurt 1993 Russell VII B. Russell On the Nature of Truth and Falsehood, in: B. Russell, The Problems of Philosophy, Oxford 1912 - Dt. "Wahrheit und Falschheit" In Wahrheitstheorien, G. Skirbekk (Hg) Frankfurt 1996 |
| Reelle Zahlen | Thiel | Thiel I 238 Def Reelle transzendente Zahlen: solche reelle Zahlen, die nicht Lösungen irgendwelcher algebraischer Gleichungen anxn+....= 0 sind mit ganzzahligen Koeffizienten ai. Sie könnten nämlich ein einfaches Verfahren angeben, woraus sie wegen der durch Cantor bewiesenen Nichtabzählbarkeit der Gesamtheit der reellen Zahlen folgerten, dass nach Abzug der reellen Zahlen eine nichtleere Gesamtheit übrigbleiben müsse, I 239 eben die der transzendenten reellen Zahlen. Nun ist man allerdings aufgrund dieses typisch "klassischen" Schusses nicht in der Lage, eine solche Zahl tatsächlich vorzuweisen. Trotzdem hatte schon lange vorher Liouville 1844 reelle transzendente Zahlen konstruiert: 1/10 + 1/ 10² Fakultät + 1/10 3 Fakultät... Wollte man logisch beide Fälle (konstruktiv und klassisch) einfach durch "(Ex)Tr(x)" (mit "Tr" für transzendent), so würde man den Unterschied einfach verwischen. Für die Grundlagen der Mathematik ist es wichtig, gerade effektive Existenzbeweise eigens also solche auszuzeichnen. In einigen Fällen wird auch die Existenz gar nicht in Frage gestellt, aber eine konkrete Antwort auf eine mathematische Frage gesucht. I 240 Bsp Größter gemeinsamer Teiler zweier Grundzahlen. Ein "effektives Verfahren" löst das Problem nicht durch Probieren, sondern in endlich vielen Schritten. >Berechenbarkeit, >Unendlichkeit, >Kontinuum. |
T I Chr. Thiel Philosophie und Mathematik Darmstadt 1995 |
| Richtigkeit | Tarski | Berka I 489 Richtigkeit/Bereich/Tarski: gemäß den Sätzen 14-16 (bzw. Lemma I) gibt es für jede natürliche Zahl k eine solche Aussage, die in jedem Bereich mit k Elementen und in keinem Bereich von anderer Mächtigkeit richtig ist. - Dagegen ist jede in einem unendlichen Bereich richtige Aussage auch in jedem anderen unendlichen Bereich (ohne Rücksicht auf die Mächtigkeit) richtig. Eigenschaften/ Klassen: daraus schließen wir, dass die Objektsprache uns gestattet, eine derartigen Eigenschaft von Klassen von Individuen auszurücken, wie z.B. das Bestehen aus genau k Elementen. Dagegen gibt es kein Mittel, irgendeine spezielle Art von Unendlichkeit (z.B. Abzählbarkeit) auszuzeichnen oder mit Hilfe einer einzigen oder einer endlichen Anzahl von Aussagen... I 490 ...zwei solche Eigenschaften von Klassen wie Endlichkeit, Unendlichkeit voneinander zu unterscheiden. >Unendlichkeit. I 491 Wahrheit (im Bereich): hängt im endlichen Fall vom Umfang ab, im unendlichen nicht. Berka I 491 Richtigkeit im Bereich/Beweisbarkeit/Tarski: Wenn wir die Aussage a (jede nichtleere Klasse enthält eine einelementige Klasse als Teil) zum Axiomensystem hinzufügen, werden Richtigkeit/Beweisbarkeit umfangsgleiche Begriffe. >Beweisbarkeit. Pointe: Das geht nicht in der Logischen Algebra, weil hier a nicht in allen Interpretationen erfüllt. Berka I 516 "In jedem Bereich richtig"/Tarski: Dieser Begriff steht dem Umfang nach in der Mitte zwischen dem des beweisbaren Satzes und dem der wahren Aussage, ist aber in der Regel enger als die Klasse aller wahren Aussagen. Er enthält keine Aussagen, deren Gültigkeit davon abhängt, wie groß die Anzahl aller Individuen ist.(1) 1. A.Tarski, Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen, Commentarii Societatis philosophicae Polonorum. Vol 1, Lemberg 1935 |
Tarski I A. Tarski Logic, Semantics, Metamathematics: Papers from 1923-38 Indianapolis 1983 Berka I Karel Berka Lothar Kreiser Logik Texte Berlin 1983 |
| Unendlichkeitsaxiom | Gödel | Berka I 367 Unendlichkeitsaxiom/Gödel: Das Unendlichkeitsaxiom kann man wie folgt formulieren: "Es gibt genau abzählbar viele Individuen."(1) >Unendlichkeit, >Individuen, >Abzählbarkeit, >Quantifikation, >Allgemeingültigkeit/Gödel. 1. K. Gödel: Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, Mh. Math. Phys. 38 (1931) 175-198. |
Göd II Kurt Gödel Collected Works: Volume II: Publications 1938-1974 Oxford 1990 Berka I Karel Berka Lothar Kreiser Logik Texte Berlin 1983 |
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