Lexikon der Argumente

Philosophische Themen und wissenschaftliche Debatten

[englisch]

Finden Sie Gegenargumente, in dem Sie NameVs…. oder….VsName eingeben.

Erweiterte Suche:

Suchbegriff 1: Autor oder Begriff Suchbegriff 2:Autor oder Begriff

Der gesuchte Begriff oder Autor findet sich in folgenden 19 Einträgen:

Begriff/ Autor/Ismus	Autor	Eintrag	Literatur
Analogien	Kauffman	Kau I 424 Analogie/Kauffman: Man könnte die Gesetze der Chemie als formale Grammatik wiedergeben - entsprechend könnte es dann unentscheidbar sein, ob eine bestimmte Chemikalie aus einer Gründermenge synthetisierbar ist. >Gesetze, >Naturgesetze, >Grammatik, >Entscheidbarkeit, >Unentscheidbarkeit, >Möglichkeit.	Kau II Stuart Kauffman At Home in the Universe: The Search for the Laws of Self-Organization and Complexity New York 1995 Kauffman I St. Kauffman Der Öltropfen im Wasser. Chaos, Komplexität, Selbstorganisation in Natur und Gesellschaft München 1998
Bivalenz	Dummett	II 103 Bivalenz, Prinzip der/PdB/Wahrheit/Dummett: Das Prinzip der Bivalenz setzt den Begriff der Wahrheit schon voraus - und das ist transzendental im Fall von unentscheidbaren Sätzen. - Es geht über unsere Fähigkeit hinaus, zu erkennen, was eine Manifestation wäre. >Entscheidbarkeit. II 103f Unentscheidbarkeit/Anti-Realismus/Dummett: (ohne Bivalenz) Die Bedeutungstheorie wird dann nicht mehr rein beschreibend in Bezug auf unsere aktuale Praxis sein. III (a) 17 Sinn/Frege: Erklärung des Sinns durch Wahrheitsbedingungen - Tractatus: dito: "Unter welchen Umständen"... >Wahrheitsbedingungen, >Umstände. DummettVsFrege/DummettVsWittgenstein: Dazu muss man aber bereits wissen, was die Aussage dass P wahr ist, bedeutet - Vs: wenn es dann heißt, P ist wahr bedeute dasselbe, wie P zu behaupten. VsVs: dann muss man bereits wissen, welchen Sinn es hat, P zu behaupten! Das ist aber genau das, was erklärt werden sollte. VsRedundanztheorie: Wir müssen sie entweder ergänzen (nicht bloß Bedeutung durch Behauptung und umgekehrt erklären), oder die Zweiwertigkeit aufgeben. >Redundanztheorie. III (b) 74 Sinn/Bezug/Bivalenz/Dummett: Zweiwertigkeit: Problem: Nicht jeder Satz hat einen solchen Sinn, dass wir ihm im Prinzip, wenn er wahr ist, als wahr erkennen können (Bsp >Einhörner, >Goldbachsche Vermutung). - Aber Freges Argument hängt gar nicht von Zweiwertigkeit ab. III (b) 76 Zweiwertigkeit sollte allerdings doch für Elementarsätze gelten: Wenn hier der semantische Wert die Extension ist, muss aber nicht entschieden werden können, ob das Prädikat zutrifft oder nicht - die Anwendung kann vielleicht nicht effektiv entschieden werden, aber das (undefinierte) Prädikat kann verstanden werden, ohne den Wahrheitswert zuteilen zu können. - Daher Unterscheidung von Sinn und semantischem Wert. >Semantischer Wert, >Mehrwertige Logik.	Dummett I M. Dummett Ursprünge der analytischen Philosophie Frankfurt 1992 Dummett II Michael Dummett "What ist a Theory of Meaning?" (ii) In Truth and Meaning, G. Evans/J. McDowell Oxford 1976 Dummett III M. Dummett Wahrheit Stuttgart 1982 Dummett III (a) Michael Dummett "Truth" in: Proceedings of the Aristotelian Society 59 (1959) pp.141-162 In Wahrheit, Michael Dummett Stuttgart 1982 Dummett III (b) Michael Dummett "Frege’s Distiction between Sense and Reference", in: M. Dummett, Truth and Other Enigmas, London 1978, pp. 116-144 In Wahrheit, Stuttgart 1982 Dummett III (c) Michael Dummett "What is a Theory of Meaning?" in: S. Guttenplan (ed.) Mind and Language, Oxford 1975, pp. 97-138 In Wahrheit, Michael Dummett Stuttgart 1982 Dummett III (d) Michael Dummett "Bringing About the Past" in: Philosophical Review 73 (1964) pp.338-359 In Wahrheit, Michael Dummett Stuttgart 1982 Dummett III (e) Michael Dummett "Can Analytical Philosophy be Systematic, and Ought it to be?" in: Hegel-Studien, Beiheft 17 (1977) S. 305-326 In Wahrheit, Michael Dummett Stuttgart 1982
Disjunktion	Logik-Texte	Re III 79 Disjunktion/Tautologie/Read: In dem einen Sinn folgt »A oder B« aus A allein. - Das ist dann aber nicht äquivalent mit »wenn ~A, dann B«. >Logische Konstanten. Re III 262 Unentscheidbarkeit: Nicht konstruktiv: Bsp der Beweis, dass es zwei irrationale Zahlen a und b gibt, so dass a hoch b rational ist.(die Disjunktion von Alternativen ist hier konstruktiv inakzeptabel. Wir haben keine Konstruktion, durch die wir bestimmen können, ob Wurzel 2 hoch Wurzel 2 rational ist, oder nicht.) Das Ausgeschlossene Dritte ist deshalb intuitionistisch und keine substanzielle Behauptung. >Entscheidbarkeit, >Intuitionismus. Goldbachsche Vermutung: jede gerade Zahl größer zwei soll die Summe zweier Primzahlen sein. Nicht entscheidbar. Wir dürfen aber nicht behaupten dass sie entweder wahr ist oder nicht. Satz vom Ausgeschlossenen Dritten/SaD/Konstruktivismus/Read: Konstruktivisten präsentieren oft sogenannte »schwache Gegenbeispiele« gegen das Ausgeschlossene Dritte. Wenn a eine reelle Zahl ist, ist »a= 0« nicht entscheidbar. Folglich kann der Konstruktivist nicht behaupten, dass alle reellen Zahlen entweder identisch mit Null sind oder nicht. (Das ist aber mehr eine Frage der Darstellung). >Ausgeschlossenes Drittes, >Goldbachs Vermutung.	Texte zur Logik Me I Albert Menne Folgerichtig Denken Darmstadt 1988 HH II Hoyningen-Huene Formale Logik, Stuttgart 1998 Re III Stephen Read Philosophie der Logik Hamburg 1997 Sal IV Wesley C. Salmon Logik Stuttgart 1983 Sai V R.M.Sainsbury Paradoxien Stuttgart 2001
Entscheidbarkeit	Dummett	II 103 Unentscheidbarkeit/Anti-Realismus/Dummett: (ohne Bivalenz) Unsere Bedeutungstheorie wird dann nicht mehr rein beschreibend in Bezug auf unsere aktuale Praxis sein. ((s) Wenn keine Beispiele gezeigt werden können.) >Manifestation.	Dummett I M. Dummett Ursprünge der analytischen Philosophie Frankfurt 1992 Dummett II Michael Dummett "What ist a Theory of Meaning?" (ii) In Truth and Meaning, G. Evans/J. McDowell Oxford 1976 Dummett III M. Dummett Wahrheit Stuttgart 1982 Dummett III (a) Michael Dummett "Truth" in: Proceedings of the Aristotelian Society 59 (1959) pp.141-162 In Wahrheit, Michael Dummett Stuttgart 1982 Dummett III (b) Michael Dummett "Frege’s Distiction between Sense and Reference", in: M. Dummett, Truth and Other Enigmas, London 1978, pp. 116-144 In Wahrheit, Stuttgart 1982 Dummett III (c) Michael Dummett "What is a Theory of Meaning?" in: S. Guttenplan (ed.) Mind and Language, Oxford 1975, pp. 97-138 In Wahrheit, Michael Dummett Stuttgart 1982 Dummett III (d) Michael Dummett "Bringing About the Past" in: Philosophical Review 73 (1964) pp.338-359 In Wahrheit, Michael Dummett Stuttgart 1982 Dummett III (e) Michael Dummett "Can Analytical Philosophy be Systematic, and Ought it to be?" in: Hegel-Studien, Beiheft 17 (1977) S. 305-326 In Wahrheit, Michael Dummett Stuttgart 1982
Entscheidbarkeit	Genz	II 206 Komprimierbarkeit/Entscheidbarkeit/Genz: Es kann kein Computerprogramm geben das entscheidet, ob eine beliebige Datenmenge komprimierbar ist. Stärker: Es kann auch auf keine Weise bewiesen werden, dass sie nicht komprimierbar ist. Komprimierbarkeit kann bewiesen, aber nicht widerlegt werden. II 207 Bsp Zahl pi: π kann durch ein endliches Programm erzeugt werden. Es gibt Zahlen, die prinzipiell nicht berechnet werden können: Omega/Chaitin/Genz: So nennt Chaitin eine gewisse Zahl, von der keine einzige Stelle berechnet werden kann. Sie ist keiner Regel zugänglich, sie steht außerhalb der Mathematik. >Gregory Chaitin. II 218 Entscheidbarkeit/Berechenbarkeit/unentscheidbar/nichtberechenbar/Genz: Unberechenbare Zahlen sind eigentlich dasselbe wie nichtentscheidbare Fragen. Unberechenbarkeit/Physik/Quantenkosmologie/Genz: Die der Wellenfunktion des Universums weist scheinbare Unberechenbarkeit auf. Dabei geht es um die mögliche Geometrie dreidimensionaler Räume. >Wellenfunktion. Vereinfacht: Bsp ein Kreis (eindimensional): zur Berechnung der Wellenfunktion des Universums für den Kreis als Argument: Die Wellenfunktion kann als Summe von Summanden dargestellt werden, wobei es eine Reihe von henkellosen Tassen, eine Reihe von Tassen mit einem Henkel, eine Reihe von Tassen mit zwei Henkeln usw. gibt, wobei die Henkel jeweils unterschiedlich geformt sein können. Diese stellen vierdimensionale Räume dar (mit der Zeit als 4. Dimension). Kreis: Beim Kreis kommt die Zeit als 2. Dimension hinzu. Zusammen ergeben sie die zwei Dimensionen der Oberflächen der Tassen. II 219 3. Dimension: Die dritte Dimension ist nur in die Oberflächen eingebettet, sie dient nur der Veranschaulichung. Sie hat in der Realität keine Entsprechung. Problem: Unentscheidbar ist die Frage, welche Tassen als gleich, und welche als verschieden anzusehen sind. (Tassen mit verschieden geformten Henkeln haben dieselbe Topologie.) Die Frage ist unentscheidbar, ob zwei Tassen gleich viele oder verschieden viele Henkel haben. (Hier geht es natürlich um vier, nicht um zwei Dimensionen). Unentscheidbarkeit/Genz: Unentscheidbarkeit tritt hier nur auf, wenn ein Computer die Berechnung durchführen soll: um eine Tasse zu beschreiben, wird sie mit einer gewissen Anzahl von gleichen Dreiecken überdeckt. Problem: Es kann kein Computerprogramm geben, das für eine beliebige Anzahl von überdeckenden flachen Dreiecken entscheidet, ob zwei (vierdimensionale) Tassen dieselbe Anzahl von Henkeln haben. II 220 Theorem: Das Theorem ist eher zahm. Es schließt nun aus, dass ein Programm für beliebig viele, nicht aber für vorgegeben viele – z.B. eine Million – flache Dreiecke eine Entscheidung trifft. Dabei geht es einfach um wachsende Genauigkeit. Das wäre dann ein Beispiel für eine unberechenbare Zahl. Wellenfunktion des Universums/Genz: Es konnte gezeigt werden, dass es berechenbare Darstellungen von ihr gibt, sodass deren von der Vorschrift der Abbildung suggerierte Unberechenbarkeit (ähnlich wie der von NOPE) tatsächlich nicht besteht. Def NOPE/Genz: „die kleinste Zahl, die nur durch mehr als dreizehn Worte festgelegt werden kann minus die kleinste Zahl, die nur durch mehr als dreizehn Worte festgelegt werden kann". Pointe: Die Vorschrift ist undurchführbar, aber wir wissen dennoch, dass NOPE = 0 ist! II 223 Problem/Genz: Es kann kein Programm geben, das in endliche Zeit entscheidet, ob ein beliebiges Programm jemals anhält. „Halteproblem“/„Nichthalte-Theorem“/Genz: Das „Halteproblem“ ist kein logisches sondern ein physikalisches Problem. Es ist unmöglich, unendlich viele logische Schritte in endlicher Zeit durchzuführen. >Halteproblem. Zeitreisen/Zeitumkehr/Zeit/Entscheidungsproblem/Genz: Wären Zeitreisen möglich, wäre das Halteproblem nur eingeschränkt gültig. >Zeit, >Zeitumkehr, >Zeitpfeil, >Symmetrien. II 224 Halteproblem/Platonismus/Genz: In einer platonischen Welt, in der statt Zeit nur logische Schritte gibt, wäre das Nichthalte-Theorem auch gültig. Hier ginge es um die Zulässigkeit von Beweisen statt um ihre Realisierbarkeit. >Beweise, >Beweisbarkeit.	Gz I H. Genz Gedankenexperimente Weinheim 1999 Gz II Henning Genz Wie die Naturgesetze Wirklichkeit schaffen. Über Physik und Realität München 2002
Entscheidbarkeit	Hilbert	Berka I 331 Unentscheidbarkeit/Prädikatenkalkül 1. Stufe/Gödel⁽¹⁾: Gödel zeigt mit der "Arithmetisierung" ("Gödelisierung") dass der Prädikatenkalkül 1.Stufe unentscheidbar ist. >Unentscheidbarkeit, >Gödelnummern. Das war eine für das Hilbertsche Programm erschütternde Tatsache. Tarski (1939)⁽²⁾: Tarski bewies die Unentscheidbarkeit der Principia Mathematica⁽⁴⁾ und verwandter Systeme. Er zeigte, dass sie grundsätzlich ist, d.h. nicht aufgehoben werden kann. Rosser⁽³⁾: Rosser verallgemeinerte Gödels Beweis, indem er die Bedingung der ω-Widerspruchsfreiheit durch die der einfachen Widerspruchsfreiheit ersetzte. >Widerspruchsfreiheit. 1. K. Gödel: Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I., Mh. Math. Phys. 38, S. 175-198. 2. A. Tarski: On undecidable statements in enlarged systems of logic and the concept of truth, JSL 4, S. 105-112. 3. J. B. Rosser: Extensions of some theorems of Gödel and Church, JSL 1, S. 87-91. 4. Whitehead, A.N. and Russel, B. (1910). Principia Mathematica. Cambridge: Cambridge University Press.	Berka I Karel Berka Lothar Kreiser Logik Texte Berlin 1983
Entscheidbarkeit	Logik-Texte	II 227 Entscheidbarkeit/Unentscheidbarkeit/Entscheidungsproblem. Aussagenlogik: entscheidbar und vollständig - Prädikatenlogik: ist unentscheidbar. Es gibt kein mechanisches Verfahren, mit dem für jede beliebige prädikatenlogische Formel die Entscheidung herbeigeführt werden kann, ob sie allgemeingültig ist oder nicht. >Gültigkeit, >Beweis, >Aussagen-Logik.	Texte zur Logik Me I Albert Menne Folgerichtig Denken Darmstadt 1988 HH II Hoyningen-Huene Formale Logik, Stuttgart 1998 Re III Stephen Read Philosophie der Logik Hamburg 1997 Sal IV Wesley C. Salmon Logik Stuttgart 1983 Sai V R.M.Sainsbury Paradoxien Stuttgart 2001
Entscheidbarkeit	Quine	II 112 Beweistheoretische Analogie/Quine: Begriff des mechanischen Verfahrens: ist die Rekursivität (z.B. um Gödels Satz oder Churchs Satz der Unentscheidbarkeit zu beweisen oder auch nur zu formulieren.) Doch zum Nachweis der Entscheidbarkeit der Theorie benötigen wir keine Definition des mechanischen Verfahrens, wir legen einfach eine Methode vor, die jeder mechanisch nennen würde. >Methode, >Rekursion. II 191ff, Unentscheidbare Logiken: die allgemeine Theorie für ein einziges symmetrisches zweistelliges Prädikat. II 198 Ebenfalls unentscheidbar: Die allgemeine Theorie zweistelliger Formeln, die außer (Ex)(y)(Ez) zu Anfang keinerlei Quantoren aufweisen. >Quantoren.	Quine I W.V.O. Quine Wort und Gegenstand Stuttgart 1980 Quine II W.V.O. Quine Theorien und Dinge Frankfurt 1985 Quine III W.V.O. Quine Grundzüge der Logik Frankfurt 1978 Quine V W.V.O. Quine Die Wurzeln der Referenz Frankfurt 1989 Quine VI W.V.O. Quine Unterwegs zur Wahrheit Paderborn 1995 Quine VII W.V.O. Quine From a logical point of view Cambridge, Mass. 1953 Quine VII (a) W. V. A. Quine On what there is In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (b) W. V. A. Quine Two dogmas of empiricism In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (c) W. V. A. Quine The problem of meaning in linguistics In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (d) W. V. A. Quine Identity, ostension and hypostasis In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (e) W. V. A. Quine New foundations for mathematical logic In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (f) W. V. A. Quine Logic and the reification of universals In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (g) W. V. A. Quine Notes on the theory of reference In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (h) W. V. A. Quine Reference and modality In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (i) W. V. A. Quine Meaning and existential inference In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VIII W.V.O. Quine Bezeichnung und Referenz In Zur Philosophie der idealen Sprache, J. Sinnreich (Hg) München 1982 Quine IX W.V.O. Quine Mengenlehre und ihre Logik Wiesbaden 1967 Quine X W.V.O. Quine Philosophie der Logik Bamberg 2005 Quine XII W.V.O. Quine Ontologische Relativität Frankfurt 2003 Quine XIII Willard Van Orman Quine Quiddities Cambridge/London 1987
Entscheidbarkeit	Tarski	Berka I 543ff Unentscheidbarkeit/Gödel/Tarski: Eine unentscheidbare Aussage wird in einer bereicherten Metawissenschaft entscheidbar. Vgl. >Metasprache, >Ausdrucksfähigkeit, >Semantische Geschlossenheit. Definierbarkeit/Tarski: Für jede deduktive Wissenschaft, die die Arithmetik enthält, lassen sich solche arithmetischen Begriffe angeben, die in ihr nicht definierbar sind. Vgl. >Ideologie/Quine, >Ontologie/Quine. I 545 Man kann aber mit Methoden, die den hier verwendeten analog sind, zeigen, dass diese Begriffe aufgrund der betrachteten Wissenschaft definiert werden können, wenn man die Wissenschaft durch Variablen höherer Ordnung bereichert.⁽¹⁾ >Definierbarkeit/Tarski. 1. A.Tarski, Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen, Commentarii Societatis philosophicae Polonorum. Vol 1, Lemberg 1935	Tarski I A. Tarski Logic, Semantics, Metamathematics: Papers from 1923-38 Indianapolis 1983 Berka I Karel Berka Lothar Kreiser Logik Texte Berlin 1983
Falsifikation	Popper	I 122 Falsifikation/Popper: kann immer ad hoc außer Kraft gesetzt werden. >Hilfshypothesen, >Quine-Duhem-These. I 123 Empirische wissenschaftliche Methode: besteht gerade im Ausschluss solcher Verfahren - "Humescher Widerspruch": nur Erfahrung ist zulässig, aber eben nicht beweiskräftig. Lösung/Popper: nicht alle Sätze sind "vollentscheidbar". - Es muss besondere empirische Sätze als Obersätze der falsifizierenden Schlüsse geben. >Unentscheidbarkeit. I 127 Das können aber nicht Protokollsätze sein, diese sind nur psychologisch. >Protokollsätze. Stegmüller I 400f Falsifikation/Popper: muss selbst wiederholbar sein. - Man kann Allsätze in "Es-gibt-nicht"-Sätze umformulieren, um sie zu falsifizieren. - Bsp "Es gibt keine nichtweißen Schwäne". >Induktion/Popper Schurz I 15 Falsifikation/Asymmetrie/Popper: Die Asymmetrie gilt bei strikten (ausnahmslosen Allsätzen): sie können durch keine endlichen Menge von Beobachtungen verifiziert aber durch ein einziges Gegen Bsp falsifiziert werden. LakatosVsPopper: Theorien werden nie aufgrund eines einzigen Gegenbeispiels verworfen, sondern angepasst. >Asymmetrie.	Po I Karl Popper Grundprobleme der Erkenntnislogik. Zum Problem der Methodenlehre In Wahrheitstheorien, Gunnar Skirbekk Frankfurt/M. 1977 Schu I G. Schurz Einführung in die Wissenschaftstheorie Darmstadt 2006
Irrtümer	Peirce	Hacking I 105 Irrtum/Unentscheidbarkeit/Peirce: Ein unentscheidbarer Satz kann keinen Irrtum enthalten. >Unentscheidbarkeit, >Realismus, >Anti-Realismus.	Peir I Ch. S. Peirce Philosophical Writings 2011 Hacking I I. Hacking Einführung in die Philosophie der Naturwissenschaften Stuttgart 1996
Komplex/Komplexität	Chaitin	Barrow I 78 Komplexität/Entscheidbarkeit/Paradox/Chaitin/Barrow: Anweisung: Drucke eine Folge aus, von deren Komplexität sich beweisen lässt, dass sie größer ist als die Länge dieses Programms!". Darauf kann der Computer nicht reagieren. Jede Folge die er erzeugt, muss von geringerer Komplexität sein, als die Länge der Folge selbst (und auch als sein Programm). (>Neumann: eine Maschine kann nur eine andere Maschine bauen, wenn diese um einen Grad weniger komplex ist, als diese selbst. (Kursbuch 8, 139 ff)⁽¹⁾ >J.v. Neumann. Im obigen Fall kann der Computer also nicht entscheiden, ob die Zahl R zufällig ist oder nicht. Damit ist das Gödelsche Theorem bewiesen! >Entscheidungen, >Entscheidbarkeit, >K. Gödel. In den späten 80er Jahren fand man noch einfachere Beweise für das Gödelsche Theorem, mit denen es in Aussagen über Informationen und Zufälligkeit transformiert wurde. Informationsgehalt/Barrow: man kann einem System von Axiomen und Regeln ein bestimmtes Maß an Information zuordnen, indem man ihren Informationsgehalt definiert als die Größe des Computerprogramms, das alle möglichen Schlussketten durchprüft. I 78/79 Wenn man versucht, die Grenze der Beweisbarkeit durch neue Axiome zu erweitern, gibt es immer noch größere Zahlen, bzw. Ziffernfolgen, deren Zufälligkeit unbeweisbar bleibt. Chaitin: hat mit der Diophantischen Gleichung bewiesen: x + y² = q wenn wir für x und y nur Lösungen mit positiven ganzen Zahlen suchen, fragte Chaitin, I 80 ob eine solche Gleichung typischerweise endlich oder unendlich viele ganzzahlige Lösungen hat, wenn wir q alle möglichen Werte q = 1,2,3,4...durchlaufen lassen. Auf den ersten Blick kaum abweichend von der ursprünglichen Frage, ob die Gleichung für q = 1,2,3.. eine ganzzahlige Lösung hat. Chaitins Frage ist jedoch unendlich viel schwerer zu beantworten. Die Antwort ist in dem Sinne zufällig, dass sie mehr Information benötigt als in der Problemstellung gegeben ist. Es gibt gar keinen Weg zu einer Lösung. Man schreibe für q 0 wenn die Gleichung nur endlich viele Lösungen hat, und 1, falls es unendlich viele gibt. >Kronecker Symbol. Das Ergebnis ist eine Reihe von Einsen und Nullen die eine reelle Zahl darstellt. Ihr Wert kann von keinem Computer berechnet werden. Die einzelnen Stellen ergeben sich logisch völlig unabhängig voneinander. omega = 0010010101001011010... dann verwandelte Chaitin diese Zahl in eine Dezimalzahl I 81 omega = 0,0010010101001011010... und hatte so das Maß der Wahrscheinlichkeit dass ein zufällig gewähltes Computerprogramm irgendwann nach einer endlichen Schrittzahl aufhört. Die Wahrscheinlichkeit ist immer ungleich 0 und 1. Noch eine weitere wichtige Konsequenz: wählen wir irgendeine sehr große Zahl für q so gibt es keinen Weg, zu entscheiden, ob die q te Binärstelle der Zahl omega eine Null oder eine Eins ist. Das menschliche Denken hat keinen Zugang zu einer Antwort zu dieser Frage. Die unausweichliche Unentscheidbarkeit mancher Aussagen folgt aus der zu geringen Komplexität des Computerprogramms, das allerdings auf der Arithmetik basiert. >Entscheidungsproblem, >Software. 1. Kursbuch 8: Mathematik. H. M. Enzensberger (Hg.), Frankfurt/M. 1967.	B I John D. Barrow Warum die Welt mathematisch ist Frankfurt/M. 1996 B II John D. Barrow Die Natur der Natur: Wissen an den Grenzen von Raum und Zeit Heidelberg 1993 B III John D. Barrow Die Entdeckung des Unmöglichen. Forschung an den Grenzen des Wissens Heidelberg 2001
Komplex/Komplexität	Norvig	Norvig I 712 Komplexität/KI-Forschung/Norvig/Russell: [Eine Möglichkeit, die Komplexität zu reduzieren, ist] die Modellauswahl mit Kreuzvalidierung der Modellgröße. Ein alternativer Ansatz ist die Suche nach einer Hypothese, die direkt die gewichtete Summe Norvig I 713 des empirische Verlusts und die Komplexität der Hypothese, die wir die Gesamtkosten nennen werden, minimiert: Kosten (h) = EmpVerlust(h) + λ Komplexität (h) ˆh ∗ = argmin Kosten (h)/h∈H. Hier ist λ ein Parameter, eine positive Zahl, die als Umrechnungsrate zwischen Verlust und Komplexität der Hypothese (die ja nicht auf der gleichen Skala gemessen werden) dient. Dieser Ansatz kombiniert Verlust und Komplexität in einer Metrik und ermöglicht es uns, sofort die beste Hypothese zu finden. Regularisierung: Dieser Prozess des expliziten Ahndens komplexer Hypothesen wird Regularisierung genannt (weil er nach einer Funktion sucht, die regelmäßiger bzw. weniger komplex ist). Beachten Sie, dass die Kostenfunktion zwei Entscheidungen erfordert: die Verlustfunktion und das Komplexitätsmaß, das als Regularisierungsfunktion bezeichnet wird. Die Wahl der Regularisierungsfunktion hängt vom Raum der Hypothese ab. Eine weitere Möglichkeit zur Vereinfachung der Modelle besteht darin, die Dimensionen, mit denen die Modelle arbeiten, zu reduzieren. Ein Prozess der Merkmalsauswahl kann durchgeführt werden, um Attribute zu verwerfen, die irrelevant erscheinen. Χ2-Pruning ist eine Art von Merkmalsauswahl. MDL: Die Hypothese der Mindestbeschreibungslänge (minimum description length bzw MDL) minimiert die erforderliche Gesamtzahl der Bits. VsMDL: Dies funktioniert gut im Grenzbereich, aber bei kleineren Problemen besteht die Schwierigkeit darin, dass die Wahl der Enkodierung für das Programm - zum Beispiel, wie ein Entscheidungsbaum am besten als Bitfolge kodiert wird - das Ergebnis beeinflusst. >Lernen/KI-Forschung. Norvig I 759 Geschichte: Während sich der Ansatz der "identification in the limit" auf die letztendliche Konvergenz konzentriert, versucht die Untersuchung der Kolmogorov-Komplexität oder algorithmischen Komplexität, die von Solomonoff (1964⁽¹⁾, 2009⁽²⁾) und Kolmogorov (1965)⁽³⁾ unabhängig voneinander entwickelt wurde, eine formale Definition für den Begriff der Einfachheit zu liefern, der in Ockhams Rasiermesser verwendet wird. Um dem Problem zu entgehen, dass die Einfachheit von der Art der Informationsdarstellung abhängt, wird vorgeschlagen, die Einfachheit an der Länge des kürzesten Programms für eine universelle Turingmaschine zu messen, die die beobachteten Daten korrekt reproduziert. Obwohl es viele mögliche universelle Turingmaschinen und es somit viele mögliche "kürzeste" Programme gibt, unterscheiden sich diese Programme in ihrer Länge höchstens um eine Konstante, die unabhängig von der Datenmenge ist. Diese schöne Einsicht, die im Wesentlichen zeigt, dass jeder anfängliche representation bias letztendlich durch die Daten selbst überwunden wird, wird nur durch die Unentscheidbarkeit der Berechnung der Länge des kürzesten Programms getrübt. Näherungswerte wie die Mindestbeschreibungslänge oder MDL (Rissanen, 1984⁽⁴⁾, 2007⁽⁵⁾) können stattdessen verwendet werden und haben in der Praxis hervorragende Ergebnisse erbracht. Der Text von Li und Vitanyi (1993)⁽⁶⁾ ist die beste Quelle für die Kolmogorov-Komplexität. Norwig I 762 Die Komplexität des Lernens mit neuronalen Netzen wurde von Forschern in der Theorie des computergestützten Lernens untersucht. Frühe Berechnungsergebnisse wurden von Judd (1990)⁽⁷⁾ erzielt, der zeigte, dass das allgemeine Problem, einen Satz von Gewichten zu finden, der mit einer Reihe von Beispielen konsistent ist, selbst unter sehr restriktiven Annahmen NP-vollständig ist. Einige der ersten Ergebnisse der Stichprobenkomplexität wurden von Baum und Haussler (1989)⁽⁸⁾ erzielt, die zeigten, dass die Anzahl der für effektives Lernen erforderlichen Beispiele etwa um W log_W wächst, wobei W die Anzahl der Gewichte ist. Seitdem wurde eine viel ausgefeiltere Theorie entwickelt (Anthony und Bartlett, 1999)(9), einschließlich des wichtigen Ergebnisses, dass die Repräsentationsfähigkeit eines Netzwerks sowohl von der Größe als auch von der Anzahl der Gewichte abhängt, ein Ergebnis, das angesichts unserer Diskussion über die Regulierung nicht überraschend sein dürfte. 1. Solomonoff, R. J. (1964). A formal theory of inductive inference. Information and Control, 7, 1–22, 224-254. 2. Solomonoff, R. J. (2009). Algorithmic probability-theory and applications. In Emmert-Streib, F. and Dehmer, M. (Eds.), Information Theory and Statistical Learning. Springer. 3. Kolmogorov, A. N. (1965). Three approaches to the quantitative definition of information. Problems in Information Transmission, 1(1), 1–7. 4. Rissanen, J. (1984). Universal coding, information, prediction, and estimation. IEEE Transactions on Information Theory, IT-30(4), 629-636. 5. Rissanen, J. (2007). Information and Complexity in Statistical Modeling. Springer. 6. Li, M. and Vitanyi, P. M. B. (1993). An Introduction to Kolmogorov Complexity and Its Applications. Springer-Verlag. 7. Judd, J. S. (1990). Neural Network Design and the Complexity of Learning. MIT Press. 8. Baum, E. and Haussler, D. (1989). What size net gives valid generalization? Neural Computation, 1(1), 151160. 9. Anthony, M. and Bartlett, P. (1999). Neural Network Learning: Theoretical Foundations. Cambridge University Press.	Norvig I Peter Norvig Stuart J. Russell Artificial Intelligence: A Modern Approach Upper Saddle River, NJ 2010
Komplex/Komplexität	Russell	Norvig I 712 Komplexität/KI-Forschung/Norvig/Russell: [Eine Möglichkeit, die Komplexität zu reduzieren, ist] die Modellauswahl mit Kreuzvalidierung der Modellgröße. Ein alternativer Ansatz ist die Suche nach einer Hypothese, die direkt die gewichtete Summe Norvig I 713 des empirische Verlusts und die Komplexität der Hypothese, die wir die Gesamtkosten nennen werden, minimiert: Kosten (h) = EmpVerlust(h) + λ Komplexität (h) ˆh ∗ = argmin Kosten (h)/h∈H. Hier ist λ ein Parameter, eine positive Zahl, die als Umrechnungsrate zwischen Verlust und Komplexität der Hypothese (die ja nicht auf der gleichen Skala gemessen werden) dient. Dieser Ansatz kombiniert Verlust und Komplexität in einer Metrik und ermöglicht es uns, sofort die beste Hypothese zu finden. Regularisierung: Dieser Prozess des expliziten Ahndens komplexer Hypothesen wird Regularisierung genannt (weil er nach einer Funktion sucht, die regelmäßiger bzw. weniger komplex ist). Beachten Sie, dass die Kostenfunktion zwei Entscheidungen erfordert: die Verlustfunktion und das Komplexitätsmaß, das als Regularisierungsfunktion bezeichnet wird. Die Wahl der Regularisierungsfunktion hängt vom Raum der Hypothese ab. Eine weitere Möglichkeit zur Vereinfachung der Modelle besteht darin, die Dimensionen, mit denen die Modelle arbeiten, zu reduzieren. Ein Prozess der Merkmalsauswahl kann durchgeführt werden, um Attribute zu verwerfen, die irrelevant erscheinen. Χ2-Pruning ist eine Art von Merkmalsauswahl. MDL: Die Hypothese der Mindestbeschreibungslänge (minimum description length bzw MDL) minimiert die erforderliche Gesamtzahl der Bits. VsMDL: Dies funktioniert gut im Grenzbereich, aber bei kleineren Problemen besteht die Schwierigkeit darin, dass die Wahl der Enkodierung für das Programm - zum Beispiel, wie ein Entscheidungsbaum am besten als Bitfolge kodiert wird - das Ergebnis beeinflusst. >Lernen/KI-Forschung. Norvig I 759 Geschichte: Während sich der Ansatz der "identification in the limit" auf die letztendliche Konvergenz konzentriert, versucht die Untersuchung der Kolmogorov-Komplexität oder algorithmischen Komplexität, die von Solomonoff (1964⁽¹⁾, 2009⁽²⁾) und Kolmogorov (1965)⁽³⁾ unabhängig voneinander entwickelt wurde, eine formale Definition für den Begriff der Einfachheit zu liefern, der in Ockhams Rasiermesser verwendet wird. Um dem Problem zu entgehen, dass die Einfachheit von der Art der Informationsdarstellung abhängt, wird vorgeschlagen, die Einfachheit an der Länge des kürzesten Programms für eine universelle Turingmaschine zu messen, die die beobachteten Daten korrekt reproduziert. Obwohl es viele mögliche universelle Turingmaschinen und es somit viele mögliche "kürzeste" Programme gibt, unterscheiden sich diese Programme in ihrer Länge höchstens um eine Konstante, die unabhängig von der Datenmenge ist. Diese schöne Einsicht, die im Wesentlichen zeigt, dass jeder anfängliche representation bias letztendlich durch die Daten selbst überwunden wird, wird nur durch die Unentscheidbarkeit der Berechnung der Länge des kürzesten Programms getrübt. Näherungswerte wie die Mindestbeschreibungslänge oder MDL (Rissanen, 1984⁽⁴⁾, 2007⁽⁵⁾) können stattdessen verwendet werden und haben in der Praxis hervorragende Ergebnisse erbracht. Der Text von Li und Vitanyi (1993)⁽⁶⁾ ist die beste Quelle für die Kolmogorov-Komplexität. Norwig I 762 Die Komplexität des Lernens mit neuronalen Netzen wurde von Forschern in der Theorie des computergestützten Lernens untersucht. Frühe Berechnungsergebnisse wurden von Judd (1990)⁽⁷⁾ erzielt, der zeigte, dass das allgemeine Problem, einen Satz von Gewichten zu finden, der mit einer Reihe von Beispielen konsistent ist, selbst unter sehr restriktiven Annahmen NP-vollständig ist. Einige der ersten Ergebnisse der Stichprobenkomplexität wurden von Baum und Haussler (1989)⁽⁸⁾ erzielt, die zeigten, dass die Anzahl der für effektives Lernen erforderlichen Beispiele etwa um W log_W wächst, wobei W die Anzahl der Gewichte ist. Seitdem wurde eine viel ausgefeiltere Theorie entwickelt (Anthony und Bartlett, 1999)(9), einschließlich des wichtigen Ergebnisses, dass die Repräsentationsfähigkeit eines Netzwerks sowohl von der Größe als auch von der Anzahl der Gewichte abhängt, ein Ergebnis, das angesichts unserer Diskussion über die Regulierung nicht überraschend sein dürfte. 1. Solomonoff, R. J. (1964). A formal theory of inductive inference. Information and Control, 7, 1–22, 224-254. 2. Solomonoff, R. J. (2009). Algorithmic probability-theory and applications. In Emmert-Streib, F. and Dehmer, M. (Eds.), Information Theory and Statistical Learning. Springer. 3. Kolmogorov, A. N. (1965). Three approaches to the quantitative definition of information. Problems in Information Transmission, 1(1), 1–7. 4. Rissanen, J. (1984). Universal coding, information, prediction, and estimation. IEEE Transactions on Information Theory, IT-30(4), 629-636. 5. Rissanen, J. (2007). Information and Complexity in Statistical Modeling. Springer. 6. Li, M. and Vitanyi, P. M. B. (1993). An Introduction to Kolmogorov Complexity and Its Applications. Springer-Verlag. 7. Judd, J. S. (1990). Neural Network Design and the Complexity of Learning. MIT Press. 8. Baum, E. and Haussler, D. (1989). What size net gives valid generalization? Neural Computation, 1(1), 151160. 9. Anthony, M. and Bartlett, P. (1999). Neural Network Learning: Theoretical Foundations. Cambridge University Press.	Russell I B. Russell/A.N. Whitehead Principia Mathematica Frankfurt 1986 Russell II B. Russell Das ABC der Relativitätstheorie Frankfurt 1989 Russell IV B. Russell Probleme der Philosophie Frankfurt 1967 Russell VI B. Russell Die Philosophie des logischen Atomismus In Eigennamen, U. Wolf (Hg) Frankfurt 1993 Russell VII B. Russell On the Nature of Truth and Falsehood, in: B. Russell, The Problems of Philosophy, Oxford 1912 - Dt. "Wahrheit und Falschheit" In Wahrheitstheorien, G. Skirbekk (Hg) Frankfurt 1996 Norvig I Peter Norvig Stuart J. Russell Artificial Intelligence: A Modern Approach Upper Saddle River, NJ 2010
Methode	Tarski	Berka I 401 Widerspruchsfreiheit/WSF/Beweis/Widerspruchsfreiheitsbeweis/Gödel: Widerspruchsfreiheitsbeweis lässt sich nicht durchführen, wenn die Metasprache keine Variablen höheren Typs enthält. >Metasprache, >Ausdrucksfähigkeit, >vgl. >Typentheorie. Unentscheidbarkeit: wird beseitigt, wenn man die untersuchte Theorie (Objektsprache) mit Variablen höheren Typs bereichert.⁽¹⁾ >Entscheidbarkeit. 1. A.Tarski, „Grundlegung der wissenschaftlichen Semantik“, in: Actes du Congrès International de Philosophie Scientifique, Paris 1935, Bd. III, ASI 390, Paris 1936, S. 1-8 I 462 Metasprache/Tarski: Die Metasprache ist unser eigentliches Untersuchungsobjekt. - ((s) Wegen der Anwendungsbedingung des Wahrheitsbegriffs.) I 464 Metasprache/Tarski: 2. Kategorie von Ausdrücken: spezifische Termini von strukturell-deskriptivem Charakter. >Strukturell-deskriptiver Name. Namen von konkreten Zeichen und Ausdrücken des Klassenkalküls Namen von Klassen von Folgen solcher Ausdrücke und von zwischen ihnen bestehenden strukturellen Relationen. Jedem Ausdruck der betrachteten Sprache (Objektsprache) kann man - einerseits einen individuellen Namen dieses Ausdrucks, und - andererseits einen Ausdruck, der die Übersetzung dieses Ausdrucks in die Metasprache ist, zuordnen - das ist entscheidend für die Konstruktion der Wahrheitsdefinition. >Wahrheitsdefinition/Tarski. I 464 Name/Übersetzung/Metasprache/Objektsprache/Tarski: Unterschied: Ein Ausdruck der Objektsprache kann in der Metasprache a) einen Namen erhalten, oder b) eine Übersetzung. Berka I 525 Morphologie/Tarski: Unsere Metasprache enthält hier die gesamte Objektsprache - d.h. für uns aber nur logische Ausdrücke der allgemeinen Klassentheorie - d.h. nur strukturell-deskriptive Termini. >Homophonie. Damit haben wir die Morphologie der Sprache, d.h. sogar den Begriff der Folgerung zurückgeführt. I 526 Damit haben wie die Logik dieser untersuchten Wissenschaft als einen Teil der Morphologie begründet.⁽²⁾ >Beschreibungsebenen, >Semantische Geschlossenheit. 2. A.Tarski, Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen, Commentarii Societatis philosophicae Polonorum. Vol 1, Lemberg 1935	Tarski I A. Tarski Logic, Semantics, Metamathematics: Papers from 1923-38 Indianapolis 1983 Berka I Karel Berka Lothar Kreiser Logik Texte Berlin 1983
Modallogik	Kripke	Berka I 161 Modallogik/Unentscheidbarkeit: Kripke (1962)⁽¹⁾ bewies die Unentscheidbarkeit des einstelligen modalen Prädikatenkalküls (Funktionen mit einem Argument). Vgl. >Entscheidbarkeit, >Vollständigkeit. 1.S.A. Kripke, The Undecidability of Monadic Modal Quantification Theory in Zeitschrift für mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik, Vol. 8, pp. 113-116, 1962.	Kripke I S.A. Kripke Name und Notwendigkeit Frankfurt 1981 Kripke II Saul A. Kripke "Speaker’s Reference and Semantic Reference", in: Midwest Studies in Philosophy 2 (1977) 255-276 In Eigennamen, Ursula Wolf Frankfurt/M. 1993 Kripke III Saul A. Kripke Is there a problem with substitutional quantification? In Truth and Meaning, G. Evans/J McDowell Oxford 1976 Kripke IV S. A. Kripke Outline of a Theory of Truth (1975) In Recent Essays on Truth and the Liar Paradox, R. L. Martin (Hg) Oxford/NY 1984 Berka I Karel Berka Lothar Kreiser Logik Texte Berlin 1983
Unvollständigkeit	Gödel	Thiel I 227 ff Unvollständigkeitssatz/Gödel/Thiel: ... dieser metamathematischen Aussage [dem Unvollständigkeitssatz] entspricht in F eine einstellige Aussageform G(x) die dann in der abzählenden Folge irgendwo vorkommen muss. Nimmt G(x) die h'te Stelle ein, so ist sie also identisch mit der dort als Ah(x) bezeichneten Aussageform. Gödels Resultat wird sein, dass in F weder die aus G(x) durch die Einsetzung von h entstehende Aussage G(h) noch deren Negat ~G(h) ableitbar ist. "In F unentscheidbar". Angenommen, G(h) sei in F ableitbar, dann wäre nur die Ableitung wahrer Aussagen zu gestatten, also G(h) wäre auch wahr. Es würde also, da G(x) als Bild von $Ax(x) in F eingeführt wurde, $Ah(h) gelten. Das hieße aber, da ja Ah(x) mit G(x) identisch ist, $G(h). G(h) wäre also in F unableitbar. Das ist ein Widerspruch. >Ableitung, >Ableitbarkeit. Diese Ableitung beweist zunächst nur die Geltung der "Wenn-Dann-Aussage" S G(h)>$ G(h). Das muss jetzt noch eingesetzt werden: (S G(h)>$ G(h))> $ G(h). Das geht aus dem allgemeinen Schema (A>~A)>~A hervor. Nehmen wir dann andererseits an, dass das Negat ~G(h) ableitbar sei, dann wäre auch ~G(h) wahr. Das wäre gleichbedeutend mit der Geltung von ~$ Ah(h) also mit S Ah(h). Thiel I 228 Das wiederum stimmt mit S G(h) überein, so dass beide, Behauptung und Negat ableitbar wären, und wir einen formalen Widerspruch hätten. Wenn F überhaupt widerspruchsfrei ist, kann auch unsere zweite Annahme S ~G(h) nicht gelten. Dies ist eine unentscheidbare Aussage. Vgl. >Entscheidbarkeit, >Unentscheidbarkeit. Thiel I 228 Diese Beweisskizze stellt ein Programm auf. Wichtige Rolle bei der Ausführung dieses Programms spielen die "Gödelisierung" und die sogenannte "negative Vertretbarkeit" bestimmter Relationen in F. Def Gödelisierung: Die "Gödelisierung" ist zunächst einmal nur eine umkehrbar eindeutige Zuordnung von Grundzahlen zu Zeichenreihen. Wir wollen die Ausdrücke von F in klammerfreie Form bringen. >Gödelzahlen. Dazu schreiben wir die logischen Verknüpfungszeichen nicht mehr zwischen, sondern vor die Ausdrücke. Wir schreiben die Verknüpfungszeichen als "Indizes" an den Ordnungsfunktor G. Terminologie: Ordnungsfunktor G. Quantoren: Quantoren behandeln wir wie zweistellige Funktoren, deren erstes Argument der Index, das zweite die quantifizierte Aussageform ist. >Quantoren, >Quantifikation. Thiel I 229 Dann erhält die Aussage (x)(y)(z) ((x=y)>(zx = zy) die Gestalt (x)(y)(z)G > G = xyG = G mal zxG mal zy. Wir können die Glieder der unendlichen Variablenfolgen jeweils durch einen die Sorte signalisierenden Standardbuchstaben und z.B. vorangestellte Punkte wiedergeben: also etwa x,y,z,...durch x,°x,°°x,... Als Zählzeichen nehmen wir statt \|,\|\|,\|\|\|,... Nullen mit entsprechend vielen vorangestellten Strichen 0,'0,''0,... >Folgen. Mit dieser Konvention ist jedes Zeichen in F entweder eine 0 oder einer der einstelligen Funktoren G1 (der erste Anordnungsfunktor!) , ', ~. Zweistellige: G2, dreistellige G4 usw. Thiel I 229 Bsp Gödelisierung, Gödelzahl, Gödelnummer: Es werden jeweils Primzahlen zugeordnet. >Primzahlen. Thiel I 230 Auf diese Weise kann jeder Zeichenreihe von F eindeutig eine Gödelnummer zugeordnet werden und gesagt werden, wie sie berechnet werden kann. Da jede Grundzahl eine eindeutige Darstellung als Produkt von Primzahlen besitzt, lässt sich von jeder gegebenen Zahl feststellen, ob sie überhaupt Gödelnummer einer Zeichenreihe von F ist. Metamathematische und arithmetische Relationen entsprechen einander: Bsp Thiel I 230 Wir ersetzen in ~G = x'x das x durch 0 und erhalten ~G = 0'0. Die Gödelnummer der ersten Reihe ist. 2²³ x 3¹³ x 5³⁷ x 7²⁹ x 11³⁷, die der zweiten Zeichenreihe: 2²³ x 3¹³ x 5³¹ x 7²⁹ x 11³¹. Der Übergang von der Gödelnummer der ersten zu der der zweiten Reihe erfolgt mittels Division durch 5⁶ x 11⁶ und diese Beziehung (von Produkt und Faktor) ist die der metamathematischen Beziehung der Zeichenreihen entsprechende arithmetische Beziehung zwischen ihren Gödelnummern. Thiel I 231 Diese Beziehungen sind sogar effektiv, da man die Gödelnummer jedes Gliedes der Beziehung aus denen ihrer übrigen Glieder effektiv (Gödel sagt "rekursiv") berechnen kann. >Rekursion. Den wichtigsten Fall bildet natürlich die Beziehung Bxy zwischen der Gödelnummer x, einer Beweisfigur Gz1...zk und der Gödelnummer y ihrer Endfolge... . Thiel I 233 "Negationstreue Vertretbarkeit": Gödel zeigt, dass es zu jeder rekursiven k-stelligen Relation R eine k-stellige Aussageform A in F von der Art gibt, dass A ableitbar ist, falls R gilt, und ~A falls R nicht gilt. Wir sagen, dass die Aussageform A die Relation R in F negationstreu vertritt. Thiel I 234 Nach alldem folgt, dass, wenn F ω-widerspruchsfrei ist, weder G noch ~G in F ableitbar ist. G ist eine "in F unentscheidbare Aussage". Das Auftreten von unentscheidbaren Aussagen in diesem Sinne ist nicht dasselbe wie die Unentscheidbarkeit von F in dem Sinne, dass es kein gewissermaßen mechanisches Verfahren gibt. >Entscheidbarkeit. Thiel I 236 Zwar gibt es für F kein solches Entscheidungsverfahren, aber das ist nicht dasselbe wie die gezeigte "Unvollständigkeit", was man daraus sehen kann, dass Gödel 1930 zwar die klassische Quantorenlogik als vollständig erwiesen hat, es aber auch hier kein Entscheidungsverfahren gibt. Def Unvollständig/Thiel: Unvollständig wäre eine Theorie nur, wenn sich ein wahrer Satz über Gegenstände der Theorie angeben ließe, der nachweislich nicht aus dem der Theorie zugrunde liegenden Axiomensystem ableitbar wäre. ((s) Dann wäre das System nicht maximalkonsistent.) Ob dies im Fall der Arithmetik durch die Konstruktion der Gödelschen Aussage G geschehen sei, war lange Zeit mit Nein beantwortet worden, mit der Begründung, G sei keine "richtige" arithmetische Aussage. Das hat sich vor etwa 20 Jahren dadurch erledigt, dass kombinatorische Sätze gefunden wurden, die im Vollformalismus ebenfalls nicht ableitbar sind. Gödel/Thiel: So kann an der Unvollständigkeit nicht mehr gezweifelt werden. Dies ist kein Aufweis der Grenzen menschlicher Erkenntnis, nur Aufweis einer sachimmanenten Grenze der axiomatischen Methode. Thiel I 238 ff Eine der Pointen des Beweises für den Gödelschen Unableitbarkeitssatz war, dass die der selbstverständlichen Effektivität aller Beweise im Vollformalismus F entsprechende Effektivität der metamathematischen Ableitbarkeitsbeziehung ihr genaues Gegenstück in der Rekursivität der arithmetischen Beziehungen zwischen den Gödelnummern der Beweisfiguren und Endformeln hat, und dass diese Parallelität für überhaupt alle effektiv entscheidbaren metamathematischen Beziehungen und ihrer arithmetischen Gegenstücke gesichert werden kann. >Ableitung, >Ableitbarkeit.	Göd II Kurt Gödel Collected Works: Volume II: Publications 1938-1974 Oxford 1990 T I Chr. Thiel Philosophie und Mathematik Darmstadt 1995
Ursachen	Dummett	III (d) 156 Ursache/Dummett: Der Begriff der Ursache hängt mit unserem Begriff der Absicht zusammen. Es gibt einen Zusammenhang zwischen der Ursächlichkeit einer Sache und der Möglichkeit, sie zur Herbeiführung einer Wirkung zu verwenden, in der grundlegenden Erklärung unserer Akzeptierung von Kausalgesetzen. >Kausalgesetze. III (d) 157 Handlungsfreiheit: die Vorstellung von Handlungsfreiheit ist notwendig für unsere Überzeugungen von Kausalität. Dennoch könnten wir auch einen Begriff von Kausalität haben, wenn wir selbst gar nicht Handelnde wären, sondern nur Beobachter, etwa intelligente Bäume. Auch so würden wir die Asymmetrie wahrnehmen. >Kausalität. II 459 Unentscheidbarkeit/Dummett: Ein Satz wie "Jedes Geschehen hat eine Ursache" ist unentscheidbar. >Entscheidbarkeit/Dummett.	Dummett I M. Dummett Ursprünge der analytischen Philosophie Frankfurt 1992 Dummett II Michael Dummett "What ist a Theory of Meaning?" (ii) In Truth and Meaning, G. Evans/J. McDowell Oxford 1976 Dummett III M. Dummett Wahrheit Stuttgart 1982 Dummett III (a) Michael Dummett "Truth" in: Proceedings of the Aristotelian Society 59 (1959) pp.141-162 In Wahrheit, Michael Dummett Stuttgart 1982 Dummett III (b) Michael Dummett "Frege’s Distiction between Sense and Reference", in: M. Dummett, Truth and Other Enigmas, London 1978, pp. 116-144 In Wahrheit, Stuttgart 1982 Dummett III (c) Michael Dummett "What is a Theory of Meaning?" in: S. Guttenplan (ed.) Mind and Language, Oxford 1975, pp. 97-138 In Wahrheit, Michael Dummett Stuttgart 1982 Dummett III (d) Michael Dummett "Bringing About the Past" in: Philosophical Review 73 (1964) pp.338-359 In Wahrheit, Michael Dummett Stuttgart 1982 Dummett III (e) Michael Dummett "Can Analytical Philosophy be Systematic, and Ought it to be?" in: Hegel-Studien, Beiheft 17 (1977) S. 305-326 In Wahrheit, Michael Dummett Stuttgart 1982
Widerspruchsfreiheit	Tarski	Berka I 401 Widerspruchsfreiheit/WSF-Beweis/Gödel: Der Widerspruchsfreiheitsbeweis lässt sich nicht durchführen, wenn die Metasprache keine Variablen höheren Typs enthält. >Metasprache, >Stufen, >Beweisbarkeit, vgl. >Typentheorie. Unentscheidbarkeit: wird beseitigt, wenn man die untersuchte Theorie (Objektsprache) mit Variablen höheren Typs bereichert.⁽¹⁾ >Objektsprache. Berka I 474f Widerspruchsfreiheit/WSF/logische Form/Tarski: Widerspruchsfreiheit liegt vor, wenn für jede beliebige Aussage x entweder x ~ε FL(X) oder ~x ~ε FL(x). ((s) Wenn entweder x keine Folgerung aus dem System ist oder seine Negation keine Folgerung aus dem System ist). Aber: Vollständigkeit/vollständig: entsprechend: Wenn für jede beliebige Aussage x entweder x ε FL(X) oder ~x ε FL(X). ((s) Wenn entweder eine beliebige Aussage oder ihre Negation eine Folgerung aus dem System ist). I 529 f Satz vom Widerspruch/Tarski: "x ~ε Wr oder ~x ~ε Wr". Pointe: Aus der Klasse dieser Aussagenfunktionen können wir keine Generalisation ziehen! Die Generalisation dieser Aussagenfunktion wäre selbst eine (allgemeine) Aussage, nämlich der Satz vom Widerspruch. Problem: unendliches logisches Produkt, das nicht mit normalen Schlussweisen ableitbar ist. I 531 Lösung: "Regel der unendlichen Induktion" - (unterscheidet sich von allen anderen Schlussregeln durch infinitistischen Charakter).⁽²⁾ 1. A.Tarski, „Grundlegung der wissenschaftlichen Semantik“, in: Actes du Congrès International de Philosophie Scientifique, Paris 1935, Bd. III, ASI 390, Paris 1936, S. 1-8 2. A.Tarski, Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen, Commentarii Societatis philosophicae Polonorum. Vol 1, Lemberg 1935	Tarski I A. Tarski Logic, Semantics, Metamathematics: Papers from 1923-38 Indianapolis 1983 Berka I Karel Berka Lothar Kreiser Logik Texte Berlin 1983

Der gesuchte Begriff oder Autor findet sich in folgenden Thesen von Autoren des zentralen Fachgebiets.

Begriff/ Autor/Ismus	Autor	Eintrag	Literatur
Entscheidbarkeit	Field, Hartry	II X Field: These es widerstrebt mir sehr zu sagen, unentscheidbare Fragen der Zahlentheorie hätten keinen bestimmten WW. II 349 Gödel-Satz/Unentscheidbarkeit/WW/Field: These wir haben gesehen, daß der Gödel-Satz keinen Grund gibt, zu denken, daß einige unentscheidbare Sätze bestimmte WW haben .((s) Das wäre eine objektivistische Sicht, >Objektivismus). II 351 Unbestimmtheit/Unentscheidbarkeit/Mengenlehre/Zahlentheorie/Field: These nicht nur in der ML auch in der ZT haben viele unentscheidbare Sätze keinen bestimmten WW.	Link zu Abkürzungen/Autoren