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Der gesuchte Begriff oder Autor findet sich in folgenden 23 Einträgen:
| Begriff/ Autor/Ismus |
Autor |
Eintrag |
Literatur |
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| Ableitung | Hilbert | Berka I 113 Ableitung/Einsetzen/"Beweisfäden"/Hilbert: Jede Ableitung lässt sich in Beweisfäden auflösen, d.h. man beginnt mit der Endformel durch Anwendung der Schemata (α),(β), (...). I 114 Pointe: So kann man durch die Auflösung einer Ableitung in Beweisfäden die Einsetzungen in die Ausgangsformeln zurückverlegen. >Beweise, >Beweisbarkeit, >Ableitbarkeit. Einsetzen/Einsetzungsregeln/Variablen/Beweisfäden/Hilbert: Durch die Zurückverlegbarkeit der Einsetzungen (durch Beweisfäden) können wir ohne Einsetzungsregeln auskommen. Denn wir können aus der Ableitung von Formeln die keine Formelvariable enthalten, die Formelvariablen gänzlich ausschalten, so dass die formal deduktive Behandlung axiomatischer Theorien ganz ohne Formelvariablen erfolgen kann. >Einsetzen. Hilbert: Dabei wird die Regel, dass identische Formeln des Aussagenkalküls als Ausgangsformeln zugelassen sind, dahin modifiziert, dass jede aus einer identischen Formel des Aussagenkalküls durch Einsetzung der hervorgehenden Formel als Ausgangsformel zugelassen ist. Beweisfäden/(s): Die Einsetzungsregel wird auch dadurch überflüssig, dass man im Verlauf das praktische Einsetzen studieren kann. D.h. jeder Fall ist dokumentiert, also braucht man keine Regel für nicht aktuelle Fälle. Hilbert: An die Stelle der Grundformel: (x)A(x) > (A(a) tritt (x)A(x) > A(t) und an die Stelle von (Ex)A(x) tritt A(t) > (Ex)A(x). t: Term. Formeln: D.h. an die Stelle von Formeln treten Formelschemata. Axiome: An die Stellen von Axiomen treten Axiomenschemata. In den Axiomenschemata sind die vorherigen freien Individuenvariablen durch Bezeichnungen von willkürlichen Termen und in den Formelschemata sind die vorherigen Formelvariablen durch Bezeichnungen willkürlicher Formeln ersetzt.(1) >Schemata, >Axiome, >Axiomensysteme. 1. Hilbert, D. & Bernays, P: Grundlagen der Mathematik, I, II, Berlin 1934-1939 (2. Aufl. 1968-1970). |
Berka I Karel Berka Lothar Kreiser Logik Texte Berlin 1983 |
| Aussagenlogik | Berka | Berka I 237 Aussagenlogik/AL: Die Aussagenlogik hat keine Gegenstandsvariablen, weil sie keine Quantoren enthält. >Variablen, >Individuenvariablen, >Quantoren, >Quantifikation, >Aussagen, >Aussagenkalkül, vgl. >Prädikatenlogik, >Logik. |
Berka I Karel Berka Lothar Kreiser Logik Texte Berlin 1983 |
| Axiome | Cresswell | Hughes I 120 Axiomatisierung/Prädikatenkalkül/Hughes/Cresswell: Axiomatisierung im Prädikatenkalkül geschieht auf andere Weise als beim Aussagenkalkül. Anstelle von Axiomen verwenden wir Axiomenschemata und parallel dazu Theoremschemata, d.h. allgemeine Prinzipien, die bestimmen, dass jede wohlgeformte Formel (wff) einer bestimmten Form ein Theorem ist. >Theorem, >Aussagenkalkül, >Prädikatenkalkül, >Prädikatenlogik, >Aussagenlogik, >Aussagenlogische Formel, >Prädikatenlogische Formel, >Axiomensystem. |
Cr I M. J. Cresswell Semantical Essays (Possible worlds and their rivals) Dordrecht Boston 1988 Cr II M. J. Cresswell Structured Meanings Cambridge Mass. 1984 Hughes I G.E. Hughes Maxwell J. Cresswell Einführung in die Modallogik Berlin New York 1978 |
| Axiome | Lukasiewicz | Berka I 141f Axiome/Lukasiewicz/(s) "p" oder auch "Mp" darf niemals als ein Axiom auftreten - wohl aber als Zeile innerhalb eines Beweises. - ((s) "p" als selbständige Ziele heißt: "alles ist wahr"). -> Das ist das widerspruchsvolle System aller Aussagen. Vgl. >Unmögliche Welt. "Mp" als Axiom: "Eine beliebige Aussage ist möglich".(1) >Möglichkeit, >Notwendigkeit, >Logik. 1. J. Lukasiewicz, Philosophische Bemerkungen zu mehrwertigen Systemen des Aussagenkalküls, CR Varsovie Cl. III, 23, 51-77 |
Berka I Karel Berka Lothar Kreiser Logik Texte Berlin 1983 |
| Einsetzen | Hilbert | Berka I 113 Ableitung/Einsetzen/"Beweisfäden"/Hilbert: Jede Ableitung lässt sich in Beweisfäden auflösen, d.h. man beginnt mit der Endformel durch Anwendung der Schemata (α),(β), (...). >Ableitung, >Ableitbarkeit. I 114 Pointe: So kann man durch die Auflösung einer Ableitung in Beweisfäden die Einsetzungen in die Ausgangsformeln zurückverlegen. Einsetzen/Einsetzungsregeln/Variablen/Beweisfäden/Hilbert: Durch die Zurückverlegbarkeit der Einsetzungen (durch Beweisfäden) können wir ohne Einsetzungsregeln auskommen. Denn wir können aus der Ableitung von Formeln die keine Formelvariable enthalten, die Formelvariablen gänzlich ausschalten, sodass die formal deduktive Behandlung axiomatischer Theorien ganz ohne Formelvariablen erfolgen kann. >Beweise, >Beweisbarkeit. Hilbert: Dabei wird die Regel, dass identische Formeln des Aussagenkalküls als Ausgangsformeln zugelassen sind, dahin modifiziert, dass jede aus einer identischen Formel des Aussagenkalküls durch Einsetzung hervorgehende Formel als Ausgangsformel zugelassen ist. Beweisfäden/(s): Die Einsetzungsregel wird auch dadurch überflüssig, dass man im Verlauf das praktische Einsetzen studieren kann. D.h. jeder Fall ist dokumentiert, also braucht man keine Regel für nicht aktuelle Fälle. Hilbert: An die Stelle der Grundformel: (x)A(x) > (A(a) tritt (x)A(x) > A(t) und an die Stelle von: (Ex)A(x) tritt A(t) > (Ex)A(x) t: Term. Formeln: D.h. an die Stelle von Formeln treten Formelschemata. Axiome: An die Stelle von Axiomen treten Axiomenschemata. In den Axiomenschemata sind die vorherigen freien Individuenvariablen durch Bezeichnungen von willkürlichen Termen und in den Formelschemata sind die vorherigen Formelvariablen durch Bezeichnungen willkürlicher Formeln ersetzt.(1) >Beweise, >Beweisbarkeit, >Axiome, >Axiomensysteme. 1. D. Hilbert und P. Bernays: Grundlagen der Mathematik, I, II Berlin 1934-1939 (2. Aufl. 1968-1970). |
Berka I Karel Berka Lothar Kreiser Logik Texte Berlin 1983 |
| Entscheidbarkeit | Leibniz | Berka I 329 Entscheidungsproblem/Logik/Berka: geschichtlich erstmals bei Leibniz mit der Idee einer rein rechnerischen "ars iudicandi" erschienen. Behmann: (1922)(1): "Das Hauptproblem der modernen Logik". Ackermann: (1954)(2): I. Es ist mit exakt angegebenen Mitteln zu entscheiden, ob eine einschlägige Formel eines (logischen) Kalküls allgemeingültig ist. II. Wenn sie nicht allgemeingültig ist, so ist zu entscheiden, ob sie in keinem Bereich gültig ist oder ob sie doch in einem Bereich gültig ist. Wenn sie in irgendeinem Bereich gültig ist, so ist festzustellen, welche Kardinalzahl dieser Bereich hat. III. Es ist zu entscheiden, ob eine einschlägige Formel in allen Bereichen mit einer endlichen Anzahl von Elementen gültig ist, oder nicht." Berka: das ist eine grundsätzlich semantische Formulierung des E-Problems. E-Problem/syntaktisch: es ist mit Hilfe von exakt festgelegten Verfahren, die gewisse Bedingungen erfüllen müssen, zu entscheiden, ob eine einschlägige Formel eines Kalküls beweisbar oder widerlegbar ist. Aussagenkalkül/Entscheidungs-Problem: von Lukasiewicz (1921)(3) Post (1921)(4), Wittgenstein (1921)(5) positiv gelöst. 1. H. Behmann, Beiträge zur Algebra der Logik, insbesondere zum Entscheidungsproblem, Math. Ann. 86 (1922), 163-229 2. R. Ackermann, Solvable Classes of the Decision Problem, Amsterdam (3. ed.) 1968 3. J. Lukasiewicz, Logica dwuwartosciowa, PF 23 (1921), 189-205 4. E. L. Post, Introduction to a general theory of elemantary propositions, American Journal of Mathematics 43 (1921) , 163-185 5. L. Wittgenstein, Logisch-Philosophische Abhandlung, Ann. Naturphil. 14 (1921), 185-262 |
Lei II G. W. Leibniz Philosophical Texts (Oxford Philosophical Texts) Oxford 1998 Berka I Karel Berka Lothar Kreiser Logik Texte Berlin 1983 |
| Funktionenkalkül | Berka | Berka I 119 Erweiterter Funktionenkalkül/Hilbert: Erweiterter Funktionenkalkül wird gebraucht, damit man auch die Existenz des Gegenteils einer Aussage ausdrücken kann. Bsp Zu jeder Aussage X gibt es eine Aussage Y, sodass mindestens eine und nur eine richtig ist. Pointe: das spart den Zwang zu inhaltlicher Darstellung. >Formalismus, >Aussagen, >Allgemeingültigkeit, >Erfüllbarkeit. I 120 Pointe: Dann können wir nach einem Kriterium für die Richtigkeit von Formeln mit beliebigen Kombinationen von All- und Existenzquantoren fragen. >Allquantifikation, >Existenzquantifikation, >Quantifikation. Dann gibt es die prinzipielle Möglichkeit der Entscheidbarkeit über die Beweisbarkeit eines mathematischen Satzes. >Entscheidbarkeit, >Beweisbarkeit, >Beweise. Enger Funktionenkalkül: Der enge Funktionenkalkül ist hinreichend für die Formalisierung des logischen Schließens. >Formalisierung. Berka I 337 Funktionenkalkül/Prädikatenkalkül/Hilbert/Ackermann: Hier ist (im Gegensatz zum Aussagenkalkül) das Entscheidungs-Problem noch ungelöst und schwierig - für gewisse einfache Fälle konnte man allerdings ein Verfahren angeben. >Entscheidungsproblem, >Aussagenkalkül. Einfachster Fall: nur Funktionsvariable mit einem Argument. I 337 Funktionenkalkül: hier muss folgender Umstand besonders berücksichtigt werden: die Allgemeingültigkeit bzw. Erfüllbarkeit eines logischen Ausdrucks kann davon abhängen, wie groß die Anzahl der Gegenstände im Individuenbereich ist. >Individuenbereich, >Bereich. |
Berka I Karel Berka Lothar Kreiser Logik Texte Berlin 1983 |
| Implikation, strikte | Lewis | Berka I 154 Def strikte Implikation/Cl. I. Lewis/Berka: (1918)(1): C’pq = NMKpNq - "Es ist nicht der Fall, dass p wahr und q falsch ist" - >Paradoxie der materialen Implikation: die für sie verantwortliche Aussage "p ist wahr und q ist falsch" ist nicht selbst-widerspruchsfrei. Implikation: wenn sie die Bedeutung "q ist aus p ableitbar" haben soll, ist die obige Aussage offensichtlich eine Kontradiktion. I 155 Paradoxien der strikten Implikation: 1. Eine unmögliche Aussage impliziert jede Aussage - 2. Eine notwendige wird von jeder Aussage impliziert. - Daraus folgt ferner, dass alle Unmöglichkeiten und alle Notwendigkeiten strikt äquivalent sind. - Lösung: erweiterter Aussagenkalkül. 1.C.I. Lewis: A Survey of Symbolic Logic. Berkeley 1918, Reprint, New York 1960. |
Lewis I David K. Lewis Die Identität von Körper und Geist Frankfurt 1989 Lewis I (a) David K. Lewis An Argument for the Identity Theory, in: Journal of Philosophy 63 (1966) In Die Identität von Körper und Geist, Frankfurt/M. 1989 Lewis I (b) David K. Lewis Psychophysical and Theoretical Identifications, in: Australasian Journal of Philosophy 50 (1972) In Die Identität von Körper und Geist, Frankfurt/M. 1989 Lewis I (c) David K. Lewis Mad Pain and Martian Pain, Readings in Philosophy of Psychology, Vol. 1, Ned Block (ed.) Harvard University Press, 1980 In Die Identität von Körper und Geist, Frankfurt/M. 1989 Lewis II David K. Lewis "Languages and Language", in: K. Gunderson (Ed.), Minnesota Studies in the Philosophy of Science, Vol. VII, Language, Mind, and Knowledge, Minneapolis 1975, pp. 3-35 In Handlung, Kommunikation, Bedeutung, Georg Meggle Frankfurt/M. 1979 Lewis IV David K. Lewis Philosophical Papers Bd I New York Oxford 1983 Lewis V David K. Lewis Philosophical Papers Bd II New York Oxford 1986 Lewis VI David K. Lewis Konventionen Berlin 1975 LewisCl Clarence Irving Lewis Collected Papers of Clarence Irving Lewis Stanford 1970 LewisCl I Clarence Irving Lewis Mind and the World Order: Outline of a Theory of Knowledge (Dover Books on Western Philosophy) 1991 Berka I Karel Berka Lothar Kreiser Logik Texte Berlin 1983 |
| Kalkül | Mates | I 63 Künstliche Sprache/formale/Gegenstück/Mates: Den Aussageformen der natürlichen Sprache entsprechen Formeln der künstlichen, und zwar als Gegenstücke, nicht als Abkürzungen. >Symbole, >Entsprechung, >Aussageformen, >Aussagenfunktionen, >Formale Sprache, >Natürliche Sprache. Wenn Symbolen kein Sinn zugeordnet ist, dann handelt es sich um einen uninterpretierten Kalkül. >Interpretation/Mates. I 115 Aussagenkalkül/AK: Der Aussagenkalkül hat keine Quantoren. >Aussagenkalkül, >Quantoren, >Quantifikation. |
Mate I B. Mates Elementare Logik Göttingen 1969 Mate II B. Mates Skeptical Essays Chicago 1981 |
| Konditional | Lukasiewicz | Berka I 145 Implikation/entailment/Lukasiewicz: Der allgemeine Begriff der Implikation schließt den spezielleren Fall der Folgerung ein.(1) >Implikation, >Schlussfolgerung, >Entailment, >Inferenz, >Folgebeziehung. 1. J. Lukasiewicz, Philosophische Bemerkungen zu mehrwertigen Systemen des Aussagenkalküls, CR Varsovie Cl. III, 23, 51-77 |
Berka I Karel Berka Lothar Kreiser Logik Texte Berlin 1983 |
| Konstanten | Tarski | Berka I 496 Namen/Variablen/Konstanten/Tarski: Variablen repräsentieren Namen Konstanten sind Namen. >Repräsentation, >Stellvertreter, >Variablen. Für jede Konstante und jede Variable der Objektsprache (mit Ausnahme der logischen Konstanten des Aussagenkalküls) lässt sich eine fundamentale Funktion bilden, die dieses Zeichen enthält (die Aussagevariablen kommen in den fundamentalen Funktionen weder als Funktoren noch als Argumente vor). Aussagevariable: jede ((s) einzelne) von ihnen wird als selbständige fundamentale Funktion betrachtet.(1) >Objektsprache, >Metasprache. 1. A.Tarski, Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen, Commentarii Societatis philosophicae Polonorum. Vol 1, Lemberg 1935 |
Tarski I A. Tarski Logic, Semantics, Metamathematics: Papers from 1923-38 Indianapolis 1983 Berka I Karel Berka Lothar Kreiser Logik Texte Berlin 1983 |
| Möglichkeit | Tarski | Berka I 144 Def Möglichkeit/Tarski: Mp = CNpp - "Es ist möglich dass p" bedeutet sowie wie "wenn nicht-p, so p". I 145 Lukasiewicz: "CNpp" ist nach der dreiwertigen Matrix nur dann wahr, wenn M0 = 0, M1/2 = 1, M1 = 1.(1) > 1. J. Lukasiewicz, Philosophische Bemerkungen zu mehrwertigen Systemen des Aussagenkalküls, CR Varsovie Cl. III, 23, 51-77 |
Tarski I A. Tarski Logic, Semantics, Metamathematics: Papers from 1923-38 Indianapolis 1983 Berka I Karel Berka Lothar Kreiser Logik Texte Berlin 1983 |
| Namen | Tarski | Berka I 451 Def Anführungsname/Tarski: Jeder Name einer Aussage (oder sogar sinnlosen Ausdrucks) der aus Anführungszeichen und dem Ausdruck besteht, und der eben das durch den betrachteten Namen Bezeichnete ist. Bsp der Name ""es schneit"". ((s) Anführungszeichen doppelt). Pointe: Gleichgestaltete Ausdrücke dürfen nicht identifiziert werden! - Daher sind Anführungsnahmen allgemeine, nicht individuelle Namen (Klassen von Zeichenreihen). >Beschreibungsebenen, >Anführungszeichen, vgl. >Namen von Sätzen. I 453 Syntaktisch einfacher Ausdruck - wie z.B. ein Buchstabe - hat dann keine selbständige Bedeutung. ((s) s.u. I 454 Hier sind es zusammengesetzte Ausdrücke, die eine Bedeutung haben.) I 451 Def strukturell-deskriptiver Name/Tarski: (andere Kategorie als die Anführungsnamen): beschreiben, aus welchen Worten der durch den Namen bezeichnete Ausdruck und aus welchen Zeichen jedes einzelne Wort besteht und in welcher Ordnung diese aufeinander folgen - das geht ohne Anführungszeichen. Methode: für alle Buchstaben und anderen Zeichen Einzelnamen (keine Anführungsnamen) einführen. Bsp für die Buchstaben: "f", "j", "P" usw.die Bezeichnungen: Ef, Jott, Pe, iks (ohne Anführungszeichen) - Bsp dem Anführungsnamen ""Schnee"" (Anführungszeichen doppelt) entspricht der strukturell-deskriptiver Name: "Wort, das aus den sechs aufeinanderfolgenden Buchstaben Es, Ce, Ha, En, E und E besteht" - (Buchstabennamen ohne Anführungszeichen). I 451 Semantisch mehrdeutig/Russell/Tarski: Bsp "Name", "Bezeichnen": a) in Bezug auf Gegenstände - b) auf Klassen, Relationen, usw. I 464 Name/Übersetzung/Metasprache/Objektsprache/MS/OS/Tarski: Unterschied: Ein Ausdruck der Objektsprache kann in der Metasprache a) einen Namen erhalten, oder b) eine Übersetzung. >Objektsprache, >Metasprache. I 496 Namen/Variablen/Konstanten/Tarski: Variablen repräsentieren Namen Konstanten sind Namen. >Repräsentation, >Stellvertreter. Für jede Konstante und jede Variable der Objektsprache (mit Ausnahme der logischen Konstanten des Aussagenkalküls) lässt sich eine fundamentale Funktion bilden, die dieses Zeichen enthält (die Aussagenvariablen kommen in den fundamentalen Funktionen weder als Funktoren noch als Argumente vor). Aussagenvariable: jede ((s) einzelne) von ihnen wird als selbständige fundamentale Funktion betrachtet.(1) >Konstanten/Tarski, >Funktion/Tarski. 1. A.Tarski, Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen, Commentarii Societatis philosophicae Polonorum. Vol 1, Lemberg 1935 |
Tarski I A. Tarski Logic, Semantics, Metamathematics: Papers from 1923-38 Indianapolis 1983 Berka I Karel Berka Lothar Kreiser Logik Texte Berlin 1983 |
| Notwendigkeit | Lukasiewicz | Berka I 145 Def Notwendigkeit/notwendig/Tarski/Lukasiewicz: NMNp = NCpNp - "Es ist notwendig dass p" bedeutet: "Es ist nicht wahr, dass wenn p, so nicht-p". D.h. wir können von einer Aussage "a" dann und nur dann behaupten, dass sie notwendig ist, wenn ihre eigene Negation in ihr nicht enthalten ist.(1) >Negation, >Behauptung, >Behauptbarkeit, >Aussage, >Wahrheit, >Mehrwertige Logik, >Möglichkeit. 1. 1. J. Lukasiewicz, Philosophische Bemerkungen zu mehrwertigen Systemen des Aussagenkalküls, CR Varsovie Cl. III, 23, 51-77 |
Berka I Karel Berka Lothar Kreiser Logik Texte Berlin 1983 |
| Notwendigkeit | Tarski | Berka I 145 Def Notwendigkeit/notwendig/Tarski/Lukasiewicz: NMNp = NCpNp "Es ist notwendig dass p" bedeutet: "Es ist nicht wahr, dass wenn p, so nicht-p". D.h. wir können von einer Aussage "a" dann und nur dann behaupten, dass sie notwendig ist, wenn ihre eigene Negation in ihr nicht enthalten ist.(1) >Negation, vgl. >Möglichkeit. 1. 1. J. Lukasiewicz, Philosophische Bemerkungen zu mehrwertigen Systemen des Aussagenkalküls, CR Varsovie Cl. III, 23, 51-77 |
Tarski I A. Tarski Logic, Semantics, Metamathematics: Papers from 1923-38 Indianapolis 1983 Berka I Karel Berka Lothar Kreiser Logik Texte Berlin 1983 |
| Tautologien | Mates | I 116 Tautologien/Mates: Tautologien sind vom Sinn von "und", "nicht", "wenn....dann" usw. abhängig, aber nicht vom Sinn von "alle", "einige"," Menschen"," sterblich" usw. - ((s) Also nur von den logischen Konstanten, nicht von den Quantoren). >Logische Konstanten, >Quantoren, >Quantifikation. Andererseits: Die Analytizität eines Syllogismus hängt vom Sinn von "alle" , "einige" ab. >Analytizität/Synthetizität, >Synthetisches, >Syllogismen. I 117 Tautologie/Mates: Eine Tautologie kann keine atomare Aussage sein - weil diese auch nicht gültig sein kann. >Gültigkeit. I 119 Es gibt gültige Aussagen, die nicht tautologisch sind. Bsp "(x)Fx > Fa". Es gibt Folgerungen, die nicht tautologisch sind - in Ableitungen werden aber nur tautologische Folgerungen gebraucht. >Ableitung, >Ableitbarkeit. Def Tautologie: gültige Aussage, deren Gültigkeit nicht von den Quantoren abhängt. I 119 Tautologie/Aussagenkalkül/Mates: Da alle Aussagen des Aussagenkalküls quantorenfrei sind, sind sie tautologisch, wenn sie gültig sind. >Aussagenkalkül. Das überträgt sich auf ihre Einsetzungsergebnisse. - Das ist noch kein Entscheidungsverfahren, ob eine Tautologie vorliegt. I 127 Eine Tautologie ist dasselbe wie eine tautologische Folgerung aus einer beliebigen Aussagenmenge. >Folgebeziehung. |
Mate I B. Mates Elementare Logik Göttingen 1969 Mate II B. Mates Skeptical Essays Chicago 1981 |
| Terminologien | Simons | I 14 Produkt/Mereologie/Simons: Der Durchschnitt ist gleich der größten unteren Schranke. Summe: Die Summe ist "das Individuum, das etwas überlappt, wenn es wenigstens eins von x oder y überlappt. Dies ist nicht immer die kleinste obere Schranke (koS). Gittertheorie: Die Gittertheorie meint das "kleinste Individuum, das beide enthält". Def Differenz: Die Differenz ist das größte Individuum, das in x enthalten ist, das keinen Teil mit y gemein hat. Es existiert nur, wenn x nicht Teil von y ist. Def Fusion/allgemeine Summe: Die Fusion ist die Summe aller Objekte, die ein bestimmtes Prädikat Fx erfüllen, denotiert durch den Variablen-bindenden Operator s: s x[Fx]. Es kann mehrere Fusionen geben. Die Summe ist die größte Fusion. I 226 Fusion: Die Fusion beinhaltet ein Ersetzen des früheren. Bsp Ein früheres F wird durch zwei Fs ersetzt. Def Nukleus/allgemeines Produkt: Der Nukleus ist das Produkt der Objekte, die ein Prädikat erfüllen px[Fx]. Universum U: Das Universum ist die Summe aller Objekte. Das entspricht dem Einheitselement der Booleschen Algebra. Atom: Ein Atom ist ein Individuum, das keine Teile hat. Individuum allgemein: Ein Individuum im Allgemeinen kann einen Teil haben! Ein Universum mit 3 Atomen kann 7 Individuen haben. Wenn es c Atome gibt, gibt es 2 hoch c 1 Kombinationen. Daraus folgt, dass es keine geraden Anzahlen geben kann. Kombinationen von Individuen sind selbst wieder Individuen. I 32 Def Obere Schranke/Mereologie/Simons: Die Individuen, die ein Prädikat fx erfüllen sind oben gebunden, wenn es ein Individuum gibt, von dem sie alle ein Teil sind. Summe: Die Summe ist "das Individuum, das etwas überlappt, wenn es wenigstens eins von x oder y überlappt". ((s) Hasse-Diagramm: Der obere Punkt ist Teil des unteren.) Universum: Im Universum gibt es eine obere Schranke für alles. Die Existenz einer oberen Schranke impliziert nicht die Existenz von Summen oder die kleinste obere Schranke, Bsp die Menge der Teilmengen der natürlichen Zahlen die entweder nicht-leer oder endlich oder unendlich sind und ein endliches Komplement haben. Jede Kollektion ist nach oben beschränkt durch die gesamte Menge der natürlichen Zahlen ohne eine kleinste obere Schranke, Bsp die Kollektion aller endlichen Mengen von geraden Zahlen. Bsp offene Intervalle auf dem reellen Zahlenstrang: Hier haben je zwei offene Intervalle wenigstens eine obere Schranke, nämlich das Intervall dessen Endpunkte... I 33 ...ihre äußeren Extrempunkte sind. Aber getrennte Intervalle mit einer Lücke zwischen sich haben keine Summe. Wenn eine Summe existiert, dann auch eine kleinste obere Schranke aber nicht umgekehrt. Teile eines umfassenderen Ganzen sein heißt, eine obere Schranke zu haben. I 60 Def Protothetik/Lesniewski/Simons: ("erste Prinzipien"): Protoethik ist Lesniewskis Gegenstück zum Aussagenkalkül, den sie als Fragment enthält. Zusätzlich enthält sie Variablen für jeden Aussagentyp sowie Quantoren - äquivalent mit Systemen von Propositionstypen (Aussagentypen) von Church oder Henkin. I 112 Def obere Schranke/Mereologie/Simons: Die Individuen, die ein Prädikat fx erfüllen sind oben gebunden, wenn es ein Individuum gibt, von dem sie alle ein Teil sind. Summe: Die Summe ist "das Individuum, das etwas überlappt, wenn es wenigstens eins von x oder y überlappt". I 211 Koinzidenz/Simons: Die Gleichheit der Elemente ist nicht hinreichend für die Gleichheit der Teile. ((s) Bsp mitgliedergleiche Gremien können verschiedene Vorsitzende haben.) Koinzidenz: Koinzidenz ist zeitweise Ununterscheidbarkeit. Die Klasse {Tib+Tail]} hat nur drei Teile. Tibbles kann viel mehr haben! I 225 Permanente Koinzidenz von F1 und F2 ist nicht in der wirklichen Welt unterscheidbar. Sie ist höchstens durch modale Eigenschaften unterscheidbar. I 228 Koinzidenz-Prinzip/Simons: Koinzidenz (alle Teile gemeinsam haben) ist notwendig für Superposition (zwei Dinge zur selben Zeit am selben Ort). I 228 Komposition/Zusammensetzung/Mereologie/Simons: Bsp Das Schiff, aber nicht das Holz ist aus Planken zusammengesetzt. Ein Mensch hat Teile, die nicht von der Kollektion der Atome geteilt werden. I 334 Topologie/Mereologie/Simons: Topologische Begriffe, die über die Mereologie hinausgehen, sind "Angrenzen" und "Verbindbarkeit". Diese werden zur Definition von "Ganzes" gebraucht. |
Simons I P. Simons Parts. A Study in Ontology Oxford New York 1987 |
| Unabhängigkeit | Cresswell | II 176 Unabhängigkeit/Logik/ Cresswell: Missverständnis: Unabhängigkeit eines Axioms heißt nicht, dass man es nach Belieben verwerfen kann. >Axiome, >Axiomensysteme. Bsp ein Unabhängigkeitsbeweis innerhalb des axiomatischen Aussagenkalküls, z.B. der Unabhängigkeit von (p v q) > (q v p). Ein solcher Beweis zeigt, dass man eine semantische Definition eines Operators geben kann, der alle anderen Axiome für Disjunktion erfüllt, der aber nicht kommutativ ist. Das zeigt aber überhaupt nicht, dass Disjunktion selbst nicht kommutativ ist, und zeigt auch nicht, dass (p v q) > (q v p) keine logische Wahrheit über klassische Disjunktion ist. >Disjunktion, >Logische Wahrheit, >Operatoren. |
Cr I M. J. Cresswell Semantical Essays (Possible worlds and their rivals) Dordrecht Boston 1988 Cr II M. J. Cresswell Structured Meanings Cambridge Mass. 1984 |
| Variablen | Tarski | Berka I 496 Namen/Variablen/Konstanten/Tarski: Variablen repräsentieren Namen - Konstanten sind Namen. >Repräsentation, >Stellvertreter, >Variable). Für jede Konstante und jede Variable der Objektsprache (mit Ausnahme der logischen Konstanten des Aussagenkalküls) lässt sich eine fundamentale Funktion bilden, die dieses Zeichen enthält (die Aussagevariablen kommen in den fundamentalen Funktionen weder als Funktoren noch als Argumente vor). Aussagevariable: jede ((s) einzelne) von ihnen wird als selbständige fundamentale Funktion betrachtet.(1) >Objektsprache, >Metasprache. 1. A.Tarski, Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen, Commentarii Societatis philosophicae Polonorum. Vol 1, Lemberg 1935 |
Tarski I A. Tarski Logic, Semantics, Metamathematics: Papers from 1923-38 Indianapolis 1983 Berka I Karel Berka Lothar Kreiser Logik Texte Berlin 1983 |
| Wahrheitsdefinition | Tarski | Berka I 403 Wahrheitsdefinition/W-Def/Tarski: Eine Wahrheitsdefinition bei künstlichen Sprachen: ist nicht lösbar, wenn sie Variablen einer beliebig hohen Stufe enthalten. >Stufen, >Variablen, vgl. >Typentheorie. Lösung: Wahrheitsbegriff als undefinierter Grundbegriff - dieser kann in einer "deduktiven Disziplin" eingesetzt werden.(1) Berka I 477 Wahrheit/W-Def/Sprache/Tarski: Wäre die Sprache endlich, brauchte man nur eine Liste, um das Schema auszufüllen. (2) 1. A.Tarski, „Der Wahrheitsbegriff in den Sprachen der deduktiven Disziplinen“, in: Anzeiger der Akademie der Wissenschaften in Wien, mathematisch-naturwissenschaftliche Klasse 69 (1932) S. 23-25 2. A.Tarski, Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen, Commentarii Societatis philosophicae Polonorum. Vol 1, Lemberg 1935 Horwich I 119 W-Def/Tarski: Tarskis Wahrheitsdefinition hat noch weitere interessante Konsequenzen: wir können damit den semantischen Satz vom Widerspruch und den semantischen Satz vom ausgeschlossenen Dritten beweisen - nicht aber die entsprechenden logischen Sätze, weil diese den Term "wahr" enthalten. (Sie gehören zum Aussagenkalkül). >Semantik, >Logik, >Ausgeschlossenes Drittes, >Wahrheitsprädikat, >Semantische Geschlossenheit, >Metasprache, >Beweisbarkeit, >Aussagenlogik, >Aussagenkalkül. Außerdem wird gezeigt, dass Wahrheit niemals mit Beweisbarkeit zusammenfällt - denn es gibt wahre Sätze, die nicht beweisbar sind.(3) 3. A. Tarski, The semantic Conceptions of Truth, Philosophy and Phenomenological Research 4, pp. 341-75 Skirbekk I 156 Wahrheit/Tarski: Die Wahrheits-Definition erhalten wir einfach aufgrund der Definition von Erfüllung: Def Erfüllung/Tarski: Erfüllung ist eine Beziehung zwischen einem beliebigen Gegenstand und einer Aussagenfunktionen - ein Gegenstand erfüllt eine Funktion wenn die Funktion eine wahre Aussage wird, wenn die freien Variablen durch den Namen der Gegenstände ersetzen - Schnee erfüllt die Aussagenfunktion "x ist weiß". >Erfüllung, >Erfüllbarkeit/Tarski, >Erfüllung/Tarski. Vs: das ist zirkulär, weil "wahr" in der Definition von Erfüllung vorkommt - Lösung: Erfüllung muss selbst rekursiv definiert werden - wenn wir die E haben, bezieht sie sich von selbst auch auf die Aussagen selbst. - Eine Aussage wird entweder von allen Gegenständen erfüllt, oder von keinem. Skirbekk I 162 Wahrheitsdefinition/Tarski: nicht zirkulär, weil die Bedingungen, unter denen Aussagen der Form "wenn...dann" wahr sind, außerlogisch sind. Skirbekk I 163 W-Schema/Tarski: richtig: (T) X ist wahr genau dann, wenn p. Falsch: (T") X ist wahr genau dann, wenn p wahr ist. ((s) Vs: hier kommt zweimal »wahr« vor). Tarski: Verwechslung von Name und Gegenstand) Aussagen und ihren Namen). ((s) p ist die Aussage selbst, nicht die Behauptung ihrer Wahrheit.) >Redundanztheorie, >Namen, >Beschreibungsebenen, >Stufen. Skirbekk I 169 Wahrheitsdefinition/Tarski: Der Ausdruck "tatsächlich" kommt nicht vor, weil er nicht den Inhalt betrifft. - Auch keine Behauptbarkeitsbedingungen, weil die Definition nicht erkenntnistheoretisch ist - erkenntnistheoretisch wäre "Schnee ist weiß" nicht wahr.(4) >Behauptbarkeit, >Behauptbarkeitsbedingungen. 4. A.Tarski, „Die semantische Konzeption der Wahrheit und die Grundlagen der Semantik“ (1944) in. G: Skirbekk (Hg.) Wahrheitstheorien, Frankfurt 1996 |
Tarski I A. Tarski Logic, Semantics, Metamathematics: Papers from 1923-38 Indianapolis 1983 Berka I Karel Berka Lothar Kreiser Logik Texte Berlin 1983 Horwich I P. Horwich (Ed.) Theories of Truth Aldershot 1994 Skirbekk I G. Skirbekk (Hg) Wahrheitstheorien In Wahrheitstheorien, Gunnar Skirbekk Frankfurt 1977 |
| Wahrheitsfunktionen | Cresswell | Hughes I 24 Wahrheitsfunktion/WaFu/Hughes/Cresswell: Es gibt nur vier verschiedene Wahrheitsfunktionen (Wa-Fu) von p: 1. Negation 2. p selber 3. wahr, egal ob ob p selbst wahr oder falsch ist 4. falsch, egal ob p selbst wahr oder falsch ist. Hughes I 44 Wahrheitsfunktion/WaFu/Hughes/Cresswell: Jede wohlgeformte Formel (wff) des Aussagenkalküls (AK) ist eine Wahrheitsfunktion ihrer Variablen ((s) in Wahrheitstabelle auffindbar). - Modalfunktion: jede wohlgeformte Formel (wff), die einen Modaloperator enthält, ist eine Modalfunktion ihrer Variablen. >Wahrheitswerttabelle, >Aussagenkalkül. |
Cr I M. J. Cresswell Semantical Essays (Possible worlds and their rivals) Dordrecht Boston 1988 Cr II M. J. Cresswell Structured Meanings Cambridge Mass. 1984 Hughes I G.E. Hughes Maxwell J. Cresswell Einführung in die Modallogik Berlin New York 1978 |
| Wahrheitsfunktionen | Lukasiewicz | Berka I 142 Wahrheitsfunktionen/Aussagenkalkül/Bivalenz/Funktor/Lukasiewicz: In einem zweiwertigen System können nur vier verschiedene Funktionen mit einem Argument gebildet werden - und zwar, wenn φ einen Funktor mit einem Argument bildet, dann können folgende Fälle vorkommen: (1) φ0 = 0 und φ1 = 0 ( "Fp" (falsum, falsch) (2) φ0 = 0 und φ1 = 1 (φp ist mit p äquivalent) (3) φ0 = 1 und φ1 0 = : (Negation) (4) φ0 = 1 und φ1 = 1: "Vp" (verum, wahr). >Funktoren, >Funktionen, >Wahrheitswerte. Möglichkeit/Pointe: Das "Mp" muss mit einem dieser vier Fälle identisch sein. - Problem: Eine jede der Thesen (1),(2), und (18) schließt nun gewisse Fälle aus.(1) (1) CNMpNp (2) CNpNMp. (18) N∏pNKMpMNp >Möglichkeit, >Notwendigkeit. 1. J. Lukasiewicz, Philosophische Bemerkungen zu mehrwertigen Systemen des Aussagenkalküls, CR Varsovie Cl. III, 23, 51-77 |
Berka I Karel Berka Lothar Kreiser Logik Texte Berlin 1983 |
| Zahlentheorie | Tarski | Berka I 532 Elementare Zahlentheorie/Tarski: Die Wissenschaft, in der alle Variablen Namen von natürlichen Zahlen repräsentieren und als Konstanten (neben den Zeichen des Aussagenkalküls und des Funktionskalküls) die Zeichen der Null, der Einheit, der Gleichheit, der Summe, des Produkts auftreten.(1) >Zahlen, >Einheit, >Gleichheit, >Gleichheitszeichen, >Variablen, >Zahlenname, >Natürliche Zahlen, >Reelle Zahlen, >Rationale Zahlen, >Eins, >Null. 1. A.Tarski, Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen, Commentarii Societatis philosophicae Polonorum. Vol 1, Lemberg 1935 |
Tarski I A. Tarski Logic, Semantics, Metamathematics: Papers from 1923-38 Indianapolis 1983 Berka I Karel Berka Lothar Kreiser Logik Texte Berlin 1983 |
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