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Der gesuchte Begriff oder Autor findet sich in folgenden 18 Einträgen:
| Begriff/ Autor/Ismus |
Autor |
Eintrag |
Literatur |
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| Anzahl | Anzahl: Ergebnis eines Abzählens im Gegensatz zu einer Menge oder einer Zahl, die noch nicht bestimmt ist. Frege gebraucht "Anzahl", um Zahlen zu definieren. Siehe auch Zahlen, natürliche Zahlen, reelle Zahlen, Zahlentheorie, Mengen, Klassen, Definition, Definierbarkeit. |
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| Folge (Sequenz) | Tarski | Berka I 463 Def Folge von Teilklassen: eine Folge, deren sämtliche Glieder Klassen sind, die in einer gegebenen Klasse a enthalten sind. Def k-tes Glied/Tarski: das einzige Glied, das die Formel xRk und eine gegebene natürliche Zahl k erfüllt, nennen wir das k-te Glied "Rk". Berka I 463 Verschiedenheit: "höchstens an k-ter Stelle unterschieden"/Taski: sind zwei Folgen R und S, wenn zwei beliebige entsprechende Glieder dieser Folgen, Ri und Si identisch sind, höchstens mit Ausnahme der k-ten Glieder Rk und Sk. Berka I 511 Def Folge von Individuen/Tarski:(bei semantischer Vereinheitlichung): die zwei-stelligen Relationen zwischen Individuen und natürliche Zahlen. - Diese gehören damit alle zur selben Bedeutungskategorie ohne Rücksicht auf die Zahl der Glieder (der Folge, nicht der Relation!) und auch die Klasse dieser Folgen, im Gegensatz zu mehrstelligen Relationen.(1) >Erfüllung/Tarski, >Erfüllbarkeit/Tarski, >Wahrheit/Tarski, >Wahrheitsdefinition/Tarski. 1. A.Tarski, Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen, Commentarii Societatis philosophicae Polonorum. Vol 1, Lemberg 1935 |
Tarski I A. Tarski Logic, Semantics, Metamathematics: Papers from 1923-38 Indianapolis 1983 Berka I Karel Berka Lothar Kreiser Logik Texte Berlin 1983 |
| Grundbegriffe | Field | I 32 Grundbegriff/Field/(s): Von einem Grundbegriff kann man nicht sagen, ob er z.B. semantisch oder beweistheoretisch ist, Bsp Implikation als Grundbegriff. I 33 Das ist der Fall beim natürlichen Schließen. Implikation: Die Implikation kann im natürlichen Schließen nicht beweis-theoretisch verstanden werden. Dies gilt für Begriffe der Ableitungsprozedur, weil sie selbst darin vorkommt (zirkulär). Dennoch ist natürliches Schließen eher beweistheoretisch als semantisch. Es ist oft durchaus sinnvoll, die Implikation als Grundbegriff zu nehmen. >Implikation. I 34 Grundbegriff/Field: (Bsp Implikation als Grundbegriff) Der Grundbegriff kann zweierlei sein: a) ein primitives Prädikat oder b) ein primitiver Operator. >Prädikate, >Operatoren. I 197 Theorie/Grundbegriff/Prädikat/unendlich/Davidson/Field: (Davidson, 1965(1)): Keine Theorie kann aus unendlich vielen primitiven Prädikaten entwickelt werden. >Methode, >Theorien. I 198 Lösung/Field: Wir können statt dessen unendlich viele Prädikate rekursiv charakterisieren, indem wir endlich viele Axiomschemata gebrauchen. >Rekursion. II 334 Quinescher Platonismus/Field: Für den Quineschen Platonismus benutzen wir als Grundbegriff einen bestimmten Begriff von Menge, aus dem alle anderen mathematischen Objekte konstruiert sind. Also wären natürliche Zahlen und reelle Zahlen eigentlich Mengen. >W.V.O. Quine. 1. Davidson, D. 1965. "Theories of meaning and learnable languages". In: Yehoshua Bar-Hillel (ed.), Proceedings of the 1964 International Congress for Logic, Methodology, and Philosophy of Science. Amsterdam: North-Holland. pp. 383-394 |
Field I H. Field Realism, Mathematics and Modality Oxford New York 1989 Field II H. Field Truth and the Absence of Fact Oxford New York 2001 Field III H. Field Science without numbers Princeton New Jersey 1980 Field IV Hartry Field "Realism and Relativism", The Journal of Philosophy, 76 (1982), pp. 553-67 In Theories of Truth, Paul Horwich Aldershot 1994 |
| Holismus | Esfeld | I 16ff Holismus/Esfeld: Bsp Die Soziale Gemeinschaft ist mehr als die Abhängigkeit des Denkens von anderen. Sozial: Die Gemeinschaft ist nicht rigide abhängig. Mitglieder sterben, neue kommen. Die soziale Rolle als Kaufmann besteht nur als Teil der Gemeinschaft. Generisch: Irgendein anderes, aber nicht ein bestimmtes Ding muss existieren. Nicht holistisch, rein funktional charakterisierte Systeme: Bsp Eine Verkehrsampel funktioniert auch ohne Verkehr und umgekehrt. I 29 Holismus/Eigenschaften/Esfeld: Eigenschaften sind nicht disjunkt (Bsp "rund oder eckig"). Eigenschaften können auch nicht z.B. mit "dieses Individuum" bezeichnet werden. Eigenschaften können intrinsisch oder relational (mehr als kausal) sein. Nicht richtig ist: "die Eigenschaft, ein System (holistisches System) zu sein". Arrangement (selbst kausales): Ein Arrangement reicht nicht, Interaktion ist notwendig. Relational: Es muss mindestens ein Ding geben, mit dem es keine gemeinsamen Teile gibt. Auch allein zu sein ist eine relationale Eigenschaft. Holistische Eigenschaften bilden Familien; sie müssen nicht für jeden Teil des Systems die selben sein. Bsp Herz/Niere. Holistische Eigenschaften sind relational (Das Arrangement ist schon vorausgesetzt) und müssen nicht intrinsisch sein (Bsp natürliche Zahlen). I 28 Kausalität: Kausalität reicht nicht, selbst Eigenschaften die ursächlich für Dinge sind, können intrinsisch sein. Sie sind ontologisch und nicht beschreibungsabhängig. Teile: Bsp Knochen sind nicht-holistisch, aber Menschen sind holistisch für soziale Systeme. Knochen machen nichts zum Teil einer Gemeinschaft. Der "holistische Teil" ist somit nicht transitiv. "Teil" ist hier enger als in der Mereologie. >Mereologie, >Teil-von-Relation, >Teile. I 36 Arrangement-Eigenschaft: reicht nicht: Herz zu sein ist eine Arrangement-Eigenschaft. Bsp Herz, das der Fleischer verkauft - sonst ist es kein Herz mehr. Daher ist die funktionale Definition kein holistisches Kriterium. Holistische Eigenschaften können nicht in einer Beschreibung erfasst werden, die die Teile isoliert innehaben können. I 42 Typ A bottom-up: Jede Konstituente muss einige holistische Eigenschaften haben. Jede Überzeugung ist, soweit sie begrifflichen Inhalt hat, von anderen Überzeugungen abhängig (Bsp sozialer Holismus). Typ B: Holistische Eigenschaften kommen in erster Linie dem Systems als Ganzes zu: Ein Beispiel hier ist der begrifflicher Inhalt, die Bestätigung und die Rechtfertigung (Bsp Quanten-Holismus), Semantischer Holismus: A oder B ist möglich. I 50 Bestätigungs-Holismus führt zum Semantischen Holismus. Two Dogmas: Two Dogmas vertritt beide. >Two Dogmas, >Bestätigung. I 366ff Holismus/Esfeld: Können wir den Holismus der Physik und den Holismus der Philosophie des Geistes zusammenschmelzen? Nein, wir können sie nur jeweils in einem Gebiet verfolgen und das andere ausschließen. Überzeugungs-Holismus: Der Überzeugungs-Holismus kann nur den begrifflichen Bereich (quasi alltagssprachlichen) berücksichtigen und nicht den quantenmechanischen. >Überzeugungen. Quantenholismus ist dagegen auf epistemische Selbstgenügsamkeit und Repräsentationalismus festgelegt. >Quantenmchanik. Epistemische Selbstgenügsamkeit: Epistemische Selbstgenügsamkeit gleicht dem Internalismus. Glaubenszustände sind unabhängig von physikalischer Beschaffenheit (intentionale Zustände können in anderer Umgebung gleich sein). I 383 Holismus/Tradition: Zum Holismus zählen z.B. Parmenides, Spinoza und Bradley. >B. Spinoza, >Parmenides, >F.H. Bradley. Esfeld: Esfeld behält einen revidierten Cartesianismus bei. >Cartesianismus, >R. Descartes. |
Es I M. Esfeld Holismus Frankfurt/M 2002 |
| Konstruktivismus | Quine | XIII 33 Konstruktivismus/Mathematik/Quine: (VsUniversalien). These: Konstruktiv zeigbare Theoreme sollten bevorzugt werden. >Universalien. Def Konstruktivismus/Mathematik/Quine: These: jedes abstrakte Objekt ist spezifizierbar. Dagegen: Prädikative Mengenlehre: ist zu schwach um zu beweisen, dass es unspezifizierbare Klasse und unspezifizierbare reelle Zahlen geben muss. Quantifikation/Variablen/Quine: die Quantifikation ist eine andere, wenn sicher ist, dass jedes Objekt in dem Bereich spezifizierbar ist. Bsp die natürlichen Zahlen sind ein solcher Bereich. Und zwar, weil es für jede eine arabische Ziffer gibt. Def Substitutionale Quantifikation/sQ/Quine: (Allquantifikation (x): die Formel, der der Quantor vorangestellt ist, wird wahr unter jeder grammatisch zulässiger Ersetzung für den Buchstaben „x“. Referentielle Quantifikation/refQ//sQ: Bsp natürliche Zahlen: hier läuft beides auf dasselbe hinaus. Dagegen: Wenn nicht alle Objekte in einem Bereich spezifizierbar sind durch singuläre Termini der gebrauchten Sprache, dann divergieren die beiden Arten der Quantifikation. Bsp Wenn der Allquantor von allen spezifizierbaren Objekten erfüllt wird, aber nicht von den nicht-spezifizierbaren, dann ist die sQ wahr und die refQ falsch. Existenzquantifikation/EQu/sQ/refQ/Quine: verhält sich entsprechend. XIII 35 sQ/refQ: divergieren im Fall der EQu, wenn die Formel erfüllt wird durch einige unspezifizierbare, aber nicht durch irgendein spezifizierbares. sQ/Quine: ist unrealistisch für konkrete Gegenstände. Spezifizierbarkeit/Benennen/Benennbarkeit/benennbar/Quine: Frage: ist jedes konkrete Objekt individuell spezifizierbar? Bsp jede vergangene oder zukünftige Biene , jedes Atom und jedes Elektron? Ja durch numerische Koordinaten mit rationalen Zahlen. Aber unbeschränkte refQ ist einfach natürlicher hier. Prädikative Mengenlehre: hier ist sQ attraktiver und handhabbarer, weil abstrakte Objekte parasitär in Bezug auf die Sprache sind, in einer Weise, in der konkrete Objekte es nicht sind. Abstrakt/Charles Parsons/Quine: abstrakte Gegenstände sind parasitär in Bezug auf die Sprache, konkrete Gegenstände weniger. sQ/Quine : eliminiert nicht einfach die abstrakten Objekte aus der Ontologie, sondern billigt ihnen eine „dünnere“ Art von Existenz zu. Abstrakt/Quine: Ausdrücke selbst sind abstrakt, aber nicht so wild wie die Bewohner der höheren Mengenlehre. sQ/Quine: ist ein Kompromiss mit dem militanten Nominalismus. abstrakte Objekte/Quine: sind dann Klassen, wie die der prädikativen Mengenlehre (RussellVs). sQ/refQ/Parsons: hat gezeigt, wie beide zusammengehen (Lit). Indem man zwei Arten von variablen gebraucht. Dann kann man sie auch untereinander verknüpfen (intertwine). Problem/Russell: prädikative Mengenlehre ist für die klassische Mathematik der reellen Zahlen inadäquat. XIII 36 Reelle Zahlen/Russell/Quine: ihre Theorie führt zu unspezifizierbaren reellen Zahlen und anderen unspezifizierbaren Klassen. sQ/Quine: dieses Problem führte aber nicht von sich aus auf die sQ. Konstruktive Mathematik/Konstruktivismus/QuineVsBrouwer: erhitzbare Gemüter entwickelten und entwickeln noch heute konstruktive Mathematiken, die für alle Wissenschaften geeignet sein sollen. Problem: das führt zu unattraktiven Abweichungen von der Standardlogik. Standardlogik/Konstruktivismus/Quine: Versuche mit Standardlogik: Weyl, Paul Lorenzen, Erret Bishop. Hao Wang, Sol Feferman. Das sind Lösungen mit prädikativer Mengenlehre zusammen mit kunstvollen Zirkeln. Problem: man weiß gar nicht so genau, wie viel Mathematik die Wissenschaftler brauchen. Nominalismus/Quine: wir brauchen wohl gar keinen Nominalismus durch und durch, sondern eine attraktive Annäherung an ihn. |
Quine I W.V.O. Quine Wort und Gegenstand Stuttgart 1980 Quine II W.V.O. Quine Theorien und Dinge Frankfurt 1985 Quine III W.V.O. Quine Grundzüge der Logik Frankfurt 1978 Quine V W.V.O. Quine Die Wurzeln der Referenz Frankfurt 1989 Quine VI W.V.O. Quine Unterwegs zur Wahrheit Paderborn 1995 Quine VII W.V.O. Quine From a logical point of view Cambridge, Mass. 1953 Quine VII (a) W. V. A. Quine On what there is In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (b) W. V. A. Quine Two dogmas of empiricism In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (c) W. V. A. Quine The problem of meaning in linguistics In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (d) W. V. A. Quine Identity, ostension and hypostasis In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (e) W. V. A. Quine New foundations for mathematical logic In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (f) W. V. A. Quine Logic and the reification of universals In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (g) W. V. A. Quine Notes on the theory of reference In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (h) W. V. A. Quine Reference and modality In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (i) W. V. A. Quine Meaning and existential inference In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VIII W.V.O. Quine Bezeichnung und Referenz In Zur Philosophie der idealen Sprache, J. Sinnreich (Hg) München 1982 Quine IX W.V.O. Quine Mengenlehre und ihre Logik Wiesbaden 1967 Quine X W.V.O. Quine Philosophie der Logik Bamberg 2005 Quine XII W.V.O. Quine Ontologische Relativität Frankfurt 2003 Quine XIII Willard Van Orman Quine Quiddities Cambridge/London 1987 |
| Leere Menge | Quine | IX 218 Leere Menge/Nullklasse/Quine: Λ ungleich 0! (Für Freges 0, nämlich {Λ}. ad IX 226ff Leere Menge/Nullklasse/(s): anders als Definitionslücke (Bsp Stetigkeit, durch Null teilen.) - Echte Lücke: eine wohldefinierte Bedingung wird nicht erfüllt, Bsp Primzahlen zwischen 31 und 37: 5 natürliche Zahlen erfüllen die Bedingung nicht, 0 natürliche Zahlen erfüllen die Bedingung, für unendlich viele rationale Zahlen oder reelle Zahlen ist die Bedingung nicht definiert. ((s) Allklasse/(s): fraglich, ob, wenn es nichts gibt, was die Bedingung nicht erfüllt, überhaupt von einer Menge gesprochen werden kann (weil es keinem Begriff entspricht. > Komprehensionsaxiom). - Andersherum: was sollte die Bedingung für die Allklasse sein?) Weitere Einträge zu Leere Menge/Quine. |
Quine I W.V.O. Quine Wort und Gegenstand Stuttgart 1980 Quine II W.V.O. Quine Theorien und Dinge Frankfurt 1985 Quine III W.V.O. Quine Grundzüge der Logik Frankfurt 1978 Quine V W.V.O. Quine Die Wurzeln der Referenz Frankfurt 1989 Quine VI W.V.O. Quine Unterwegs zur Wahrheit Paderborn 1995 Quine VII W.V.O. Quine From a logical point of view Cambridge, Mass. 1953 Quine VII (a) W. V. A. Quine On what there is In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (b) W. V. A. Quine Two dogmas of empiricism In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (c) W. V. A. Quine The problem of meaning in linguistics In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (d) W. V. A. Quine Identity, ostension and hypostasis In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (e) W. V. A. Quine New foundations for mathematical logic In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (f) W. V. A. Quine Logic and the reification of universals In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (g) W. V. A. Quine Notes on the theory of reference In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (h) W. V. A. Quine Reference and modality In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (i) W. V. A. Quine Meaning and existential inference In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VIII W.V.O. Quine Bezeichnung und Referenz In Zur Philosophie der idealen Sprache, J. Sinnreich (Hg) München 1982 Quine IX W.V.O. Quine Mengenlehre und ihre Logik Wiesbaden 1967 Quine X W.V.O. Quine Philosophie der Logik Bamberg 2005 Quine XII W.V.O. Quine Ontologische Relativität Frankfurt 2003 Quine XIII Willard Van Orman Quine Quiddities Cambridge/London 1987 |
| Mengenlehre | Lorenzen | Berka I 269 Induktive Definition/Mengenlehre//LorenzenVsMengenlehre: Bsp Eine induktive Definition einer Menge M durch a(y) > y ε M, x ε M u b(x,y) > y ε M worin a(x) und b(x,y) schon definierte Formeln seien, in denen M nicht vorkommt, wird mengentheoretisch dadurch "erklärt", dass M der Durchschnitt aller der Mengen N sein solle, die diese Implikationen mit N statt M erfüllen. Dialogische Logik/Lorenzen: Wer aber eine Behauptung n ε M (sic) verteidigen will, wird schwerlich alle diese Mengen N bemühen. Als Proponent P wird er vielmehr dem Opponenten O gegenüber entweder direkt a(n) verteidigen oder zunächst ein m angeben, das er b(m,n) und m ε M verteidigen will. https://www.philosophie-wissenschaft-kontroversen.de/gesamtliste.php?thema=Dialogische%20Logik. Schrittzahl/Lorenzen: Damit wir dieses Vorgehen als den dialogischen Sinn der induktiven Definition von M festsetzen können, muss zusätzlich noch von P verlangt werden, dass er zu jeder Behauptung der Form x ε M die Schrittzahl angibt, die er zum vollständigen Beweis benötigt. Bsp Angenommen, er führt n ε M auf die Behauptung m ε M zurück und hat er für n ε M I 270 die Schrittzahl v angegeben, so muss er für m ε M eine Schrittzahl µ < v angeben. Ohne eine solche Angabe könnte P bei der folgenden induktiven Definition der Ordnung "kleiner" < für die ganzen Zahlen Bsp 0 < y für positive Zahlen y x < y _> x +/ 1 < y +/ 1 z.B. 1 < 0 behaupten, und dafür einen "Beweis" mit Hilfe von 0 < 1, 1 < 2, 2 < 3... beginnen. Natürlich könnte der den Beweis nicht zu Ende führen, aber das könnte O ihm nicht nachweisen. Dialogische Logik/Lorenzen: Es ist in diese Dialogen ja nie gestattet, plötzlich in "freier Rede" auf den Gegner einzureden. Muss P dagegen zusätzlich eine Schrittzahl v angeben, so wird er spätestens nach v Schritten seine Behauptung verloren haben. Schrittzahl: Die Schrittzahlen sind hier selbstverständlich natürliche Zahlen. Will man auch unendlichen induktiven Definitionen, d.h. solchen mit unendlich vielen Prämissen einen dialogischen Sinn geben, so muss man transfinite Ordinalzahlen als Schrittzahl zulassen. Induktive Definition/LorenzenVsHerbrand: Bsp Es sei eine Funktionenfolge f1, f2...schon definiert und es werde das Induktionsschema a(y) > y ε M (x)fx(y) ε M > y ε M angeschrieben. Diese Definition ist keineswegs "imprädikativ". >Imprädikativität. Aber sie ist auch nicht eigentlich konstruktiv. Wir haben hier ja unendlich viele Prämissen f1(y) ε M, f2(y) ε M ... die zum Beweis von y ε M erforderlich sind. Unendlich: Im Dialog kann man nicht jede Prämisse verteidigen, man wird daher O erlauben, eine fm(y) ε M auszuwählen. Diese muss P dann behaupten und verteidigen. Zusätzlich muss P eine im allgemeinen transfinite Ordinalzahl als Schrittzahl angeben. Schrittzahl: Die Schrittzahl einer Prämisse muss dabei stets kleiner als die Schrittzahl der Konklusion angegeben werden. Gewinnstrategie von P: P muss für alle Wahlen des Opponenten die Schrittzahlen liefern. II. Zahlenklasse/Zweite Zahlenklasse/Lorenzen: Mengentheoretisch beweist man leicht die Existenz geeigneter Ordinalzahlen der II. Zahlenklasse. Man kann ja durch transfinite Rekursion definieren: y ε M0 <> a(y) y ε Mλ <> (x)fx(y) ε Ux x < λ Mx. dann ist M = Ul l> µ Ml für ein geeignetes µ und wenn M eine Menge natürlicher Zahlen sein soll, kann µ der II. Zahlenklasse entnommen werden, Konstruktiv: soll die induktive Definition aber konstruktiv sein, so müssen auch die benutzten Ordinalzahlen "konstruktiv" sein. Hier liegt es nahe, sich auf die rekursiven Ordinalzahlen von Church und Kleene zu beschränken.(1) >Konstruktivismus, >Intuitionismus, >Rekursion, >Rekursivität. 1. P. Lorenzen, Ein dialogisches Konstruktivitätskriterium, in: Infinitistic Methods, (1961), 193-200 |
Lorn I P. Lorenzen Constructive Philosophy Cambridge 1987 Berka I Karel Berka Lothar Kreiser Logik Texte Berlin 1983 |
| Ordnung | Quine | IX 101 Ordnung/Quine: kleiner-Relation/natürliche Zahlen: { Kleiner/Klassen/Ordnung: entsprechend ist die Kleiner-Relation über Klassen keine Ordnung: { Transitivität: ist immer eingeschränkt: sie funktioniert nicht rückwärts. Quine: nur willkürlich auf späteres bezogen, genauso gut kann ein Element auf sich selbst und auf ein späteres bezogen sein. - Eine Ordnung hat höchstens einen Anfang. Länge: zweier Ordnungen vergleicht man durch Paarung der Elemente, auch bei unendlichen O - Längengleichheit zweier O hat mit Isomorphismus (trotz unendlicher Länge) zwischen ihnen zu tun. Isomorphismus: nicht möglich: zwischen der arithmetischen Ordnung der natürlichen und der arithmetischen Ordnung der rationalen Zahlen - natürliche Zahlen { IX 102 Def Wohlordnung/WO/wohlgeordnet/Quine: wenn eine fundierte Relation eine Ordnung ist, so nennt man sie eine Wohlordnung - die Konversen von Wohlordnungen brauchen keine Wohlordnung zu sein, die Konversen von Ordnungen sind aber Ordnungen. IX 105 Def Halbordnung: Bsp { |
Quine I W.V.O. Quine Wort und Gegenstand Stuttgart 1980 Quine II W.V.O. Quine Theorien und Dinge Frankfurt 1985 Quine III W.V.O. Quine Grundzüge der Logik Frankfurt 1978 Quine V W.V.O. Quine Die Wurzeln der Referenz Frankfurt 1989 Quine VI W.V.O. Quine Unterwegs zur Wahrheit Paderborn 1995 Quine VII W.V.O. Quine From a logical point of view Cambridge, Mass. 1953 Quine VII (a) W. V. A. Quine On what there is In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (b) W. V. A. Quine Two dogmas of empiricism In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (c) W. V. A. Quine The problem of meaning in linguistics In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (d) W. V. A. Quine Identity, ostension and hypostasis In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (e) W. V. A. Quine New foundations for mathematical logic In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (f) W. V. A. Quine Logic and the reification of universals In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (g) W. V. A. Quine Notes on the theory of reference In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (h) W. V. A. Quine Reference and modality In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (i) W. V. A. Quine Meaning and existential inference In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VIII W.V.O. Quine Bezeichnung und Referenz In Zur Philosophie der idealen Sprache, J. Sinnreich (Hg) München 1982 Quine IX W.V.O. Quine Mengenlehre und ihre Logik Wiesbaden 1967 Quine X W.V.O. Quine Philosophie der Logik Bamberg 2005 Quine XII W.V.O. Quine Ontologische Relativität Frankfurt 2003 Quine XIII Willard Van Orman Quine Quiddities Cambridge/London 1987 |
| Platonismus | Field | I 8 Platonismus/Field: Des Platonismus' einziges Argument ist die Anwendbarkeit der Mathematik. >Mathematik/Field, >Mathematische Entitäten. I 14 FieldVsPlatonismus: Der Platonismus muss dem Fiktionalisten in dessen Sprache antworten - er kann sich nicht auf seine "Anfangsplausibilität" berufen. I 152 Def Prioritätsthese/PT/Wright: These: Die Prioritätsthese bezeichnet die Priorität der syntaktischen über die ontologischen Kategorien. Platonismus/Wright: Das ermöglicht es Frege, Platonist zu sein. >Zahlen/Frege, >Gottlob Frege. Def Gödelscher Platonismus/Wright: zusätzlich: die These, dass mathematisches Wissen durch eine Quasi-Wahrnehmungs-Relation erklärt werden muss - FregeVsGödel. WrightVsGödel: Das brauchen wir nicht. I 153 Def schwache Prioritätsthese/PT: Die schwache Prioritätsthese bedeutet, dass jeder syntaktische singuläre Term automatisch auch semantisch als singulärer Term funktioniert. I 159 Ãquivalenz/Platonismus/Nominalismus/Field: Frage: In welchem Sinn sind platonistische (Bsp "Richtung1 = Richtung2") und nominalistische Aussagen (c1 ist parallel zu c2) äquivalent? Problem: Wenn es keine Richtungen gibt, kann das zweite keine Folge des ersten sein. >Nominalismus. I 186 Def moderater Platonismus/mP/Field: Moderater Platonismus ist die These, dass es abstrakte Objekte wie Zahlen gibt. Dann gibt es vermutlich auch Relationen zwischen Zahlen und Gegenständen. Moderater Platonismus: Diese Relationen sind Konventionen, abgeleitet von physikalischen Relationen. Def Hochleistungs-Platonismus/HLP/Field: Der Hochleistungs-Platonismus nimmt Relationen zwischen Gegenständen und Zahlen als nackte Tatsachen an. I 189 Starke Moderatheitsbedingung/(Field (pro): Es ist möglich, physikalische Gesetze ohne Relation zwischen Gegenständen und Zahlen zu formulieren. I 192 Hochleistungs-Platonismus/Field: Der Hochleistungs-Platonismus nimmt Größenrelationen zwischen Gegenständen und Zahlen an. FieldVs: stattdessen nur zwischen Gegenständen. II 332 Platonismus/Mathematik/VsStrukturalismus/Field: Isomorphe mathematische Bereiche müssen nicht ununterscheidbar sein. >Feldtheorie. II 334 Quinescher Platonismus/Field: Der Quinesche Platonismus nimmt als Grundbegriff einen bestimmten Begriff von Menge an, aus dem alle anderen mathematischen Objekte konstruiert sind. Also wären natürliche Zahlen und reelle Zahlen eigentlich Mengen. III 31 Zahl/Punkte/Field: Kein Platonist wird reelle Zahlen mit Punkten auf einer physischen Linie identifizieren - das wäre zu willkürlich ("Welche Linie?") - Was soll der Nullpunkt sein - Was soll 1 sein? III 90 Platonistisch/Field: Begriffe wie Bsp "Gradient", "Laplace-Gleichung" usw. sind platonistisch. III 96 Platonismus 1. Stufe/Field: Der Platonismus 1. Stufe akzeptiert abstrakte Entitäten, aber keine Logik 2. Stufe. Problem: Er braucht diese aber (wegen Mächtigkeits-Quantoren). |
Field I H. Field Realism, Mathematics and Modality Oxford New York 1989 Field II H. Field Truth and the Absence of Fact Oxford New York 2001 Field III H. Field Science without numbers Princeton New Jersey 1980 Field IV Hartry Field "Realism and Relativism", The Journal of Philosophy, 76 (1982), pp. 553-67 In Theories of Truth, Paul Horwich Aldershot 1994 |
| Typentheorie | Quine | VII (e) 91ff QuineVsTypentheorie: 1. Allklasse: weil die Typentheorie nur uniforme Typen als Elemente einer Klasse zulässt, führt die Allklasse ϑ zu einer unendlichen Serie von Quasi-Allklassen, jede für einen Typ - 2. Negation: ~x hört auf, alle Nichtelemente von x zu umfassen, und umfasst nur noch diejenigen Nichtelemente, die der nächst niedrigeren Stufe angehören 3. Nullklasse: sogar sie führt entsprechend zu unendlich vielen Nullklassen 4. Boolesche Klassenalgebra: ist nicht länger auf Klassen im allgemeinen anwendbar, sondern ist auf jeder Stufe reproduziert 5. Relationenkalkül: entsprechend. auf jeder Stufe neu zu etablieren 6. Arithmetik: die Zahlen hören auf, einheitlich zu sein! auf jeder Stufe (Typ) erscheint eine neue 0, neue 1 ,neue 2, usw. IX 186 Def verzweigte Typentheorie/Russell/Quine: Unterscheidung von Ordnungen für Aussagenfunktionen, deren Argumente von einer einzige Ordnung sind. Damit zwei Attribute mit gleicher Extension sich hinsichtlich ihrer Ordnungen unterscheiden können, müssen Attribute mit gleicher Extension ausgezeichnet werden und Attribute und nicht Klassen genannt werden. Neu: Das wird hinfällig, wenn wir die Verzweigung fallen lassen. Lösung: Kontextdefinition/Russell: wir definieren Klassenabstraktion durch Kontext, damit bleibt "ε" als einziger einfacher Grundbegriff neben Quantoren, Variablen und aussagenlogischen Verknüpfungen. Kontextdefinition für Klassenabstraktion: "yn ε {xn: Fxn}" steht für "Ez n + 1["xn(xn ε z n+1 <> Fxn) ∧ yn ε z n + 1]" IX 191f Kumulative Typen/Mengenlehre/Quine: Typ 0: allein Λ sei vom Typ 0 - Typ 1: Λ und {Λ} und sonst nichts - Typ n: soll allgemein die und nur die 2 hoch n Mengen umfassen, die zum Typ n-1 gehören. - So interpretiert jede Quantifizierung nur endlich viele Fälle. Jede geschlossene Aussage kann mechanisch auf Wahrsein geprüft werden - das funktioniert nicht mehr, wenn das Unendlichkeitsaxiom hinzugefügt wird. IX 198 Kumulative Typen/Quine: Vorteile: wenn wir die Nullklassen aller Klassentypen gleichsetzen, ist (~T0x ∧ ~T0y ∧ ∀w(w ε x ↔ w e y) ∧ x ε z) > y ε z jetzt ein einziges Axiom, nicht mehr Axiomenschema. Darin wird mit " "~T0x u ~T0y" verhindert, dass die Individuen mit Λ oder miteinander identifiziert werden. - Wir brauchen Individuen, aber wir identifizieren sie mit ihren Einerklassen (s.o.) - aber eine Ausnahme: wenn x ein Individuum ist, soll "x ε x" als wahr zählen. (Oben wurde "x ε y" ,wenn beide nicht Objekte von aufeinanderfolgendem Typ waren, falsch.) IX 201 Kumulative Typentheorie/Quine: Individuen: mit ihren Einerklassen identifiziert - nicht mehr elementlos, haben sich selbst als Elemente. Daher Def Identität: a = b wenn a < b < a. - Nullklassen aller Typen können jetzt identifiziert werden (früher: "keine Individuen", "keine Klassen" usw. >Klassen, >Mengen, >Mengenlehre, >Paradoxien. IX 204f Natürliche Zahlen/QuineVsRussell: Russels Typentheorie hat sogar mit Freges Zahlen Probleme: vielleicht liefert die Nachfolgerrelation nicht jedes Mal etwas neues: Bsp 5 ist dann die Klasse aller Klassen aus fünf Individuen, Angenommen, dass es in dem Universum nur fünf Individuen gibt. also ist 5 im Typ 2 gleich {J1} dann ist 6, oder S"5, im Typ 5 gleich {z1: Ey0(y0 e z1 ∧ z1 ∩ _{y0} = J1)}: das ist gleich L², weil "y ε z ∧ z ∩ _{y} = ϑ" widerspruchsvoll ist. - Dann ist aber 7, oder S"6, gleich S"Λ², was sich auch auf L² reduziert - also S"x = x, wenn x gleich 6 vom Typ 2, vorausgesetzt, dass es nicht mehr als fünf Individuen gibt. Dann bricht die Zahlentheorie zusammen. >Zahlen/Frege, >Zahlen/Quine, >Zahlentheorie. |
Quine I W.V.O. Quine Wort und Gegenstand Stuttgart 1980 Quine II W.V.O. Quine Theorien und Dinge Frankfurt 1985 Quine III W.V.O. Quine Grundzüge der Logik Frankfurt 1978 Quine V W.V.O. Quine Die Wurzeln der Referenz Frankfurt 1989 Quine VI W.V.O. Quine Unterwegs zur Wahrheit Paderborn 1995 Quine VII W.V.O. Quine From a logical point of view Cambridge, Mass. 1953 Quine VII (a) W. V. A. Quine On what there is In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (b) W. V. A. Quine Two dogmas of empiricism In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (c) W. V. A. Quine The problem of meaning in linguistics In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (d) W. V. A. Quine Identity, ostension and hypostasis In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (e) W. V. A. Quine New foundations for mathematical logic In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (f) W. V. A. Quine Logic and the reification of universals In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (g) W. V. A. Quine Notes on the theory of reference In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (h) W. V. A. Quine Reference and modality In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (i) W. V. A. Quine Meaning and existential inference In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VIII W.V.O. Quine Bezeichnung und Referenz In Zur Philosophie der idealen Sprache, J. Sinnreich (Hg) München 1982 Quine IX W.V.O. Quine Mengenlehre und ihre Logik Wiesbaden 1967 Quine X W.V.O. Quine Philosophie der Logik Bamberg 2005 Quine XII W.V.O. Quine Ontologische Relativität Frankfurt 2003 Quine XIII Willard Van Orman Quine Quiddities Cambridge/London 1987 |
| Unbestimmtheit | Field | II IX Unbestimmtheit/Korrespondenz/Lewis/Kit Fine/Field: Unbestimmtheit ist kein großes Problem für die Korrespondenztheorie. >Korrespondenztheorie. Lösung: Supervaluation für vage Sprachen. >Supervaluation. Dagegen: Unbestimmtheit ist ein Problem für den Deflationismus (innerhalb der eigenen Sprache)(Quine). >Deflationismus. Einige Autoren VsQuine: Die Behauptung einer Unbestimmtheit innerhalb der eigenen Sprache ist inkohärent. Unbestimmtheit/Mathematik/Field: Unbestimmtheit gibt es in der Mengenlehre, aber nicht in der Zahlentheorie. >Zahlentheorie, >Quantitäten. >Quantitäten (Physik). II 180 Unbestimmtheit/Referenz/Begriffswandel/Theoriewechsel/Field: These: "Masse" war unbestimmt und ist es noch heute. Zwei Lehrbücher der speziellen Relativitätstheorie können differieren, indem sie unter Masse einmal "Eigenmasse" und einmal "relativistische Masse" verstehen. Dann ist diese entweder in allen Bezugssystemen gleich oder verschieden. >Relativitätstheorie, >Theoretische Begriffe, >Theoriewechsel, >Bedeutungswechsel, >Referenz. II 192 Unbestimmtheit/Theorie/Quine: Wissenschaftliche Begriffe sind bedeutungslos außerhalb ihrer Theorie. >Immanenz der Wahrheit. Wahrheit steht immer nur in Bezug auf ein Begriffsschema. >Begriffsschema. Ein objektiver (nicht-relativer) Wahrheits-Begriff könnte nur in Begriffen der Denotation und Signifikation versucht werden, aber das geht nicht, wenn diese Begriffe relativ auf ein Bezugssystem sind. FieldVsQuine: Denotation ist eine perfekt objektive Relation, die zwischen Ausdrücken und außersprachlichen Gegenständen besteht. >Denotation. Referentielle Unbestimmtheit/Field: Referentielle Unbestimmtheit zeigt nur, dass Denotation in bestimmten Situationen nicht wohl-definiert ist. II 271ff Übersetzungsunbestimmtheit/Brandom/Field: Bsp Wurzel - 1 nicht "i" und "-i". >Referenz/Brandom. II 355 Unbestimmt/Sprache/McGee/Field: "Unbestimmt" bedeutet nicht-Standard-Modelle habend. Lösung: Erweiterung durch das Prädikat: Bsp "Standard-natürliche Zahl". FieldVs: Das ist Mogelei. >Erweiterung/Field. Neue Axiome mit neuem Vokabular sind nicht besser als neue Axiome im alten Vokabular. >Vokabular, >Konservativität. Mogelei: wäre es anzunehmen, dass die neuen Prädikate bestimmte Extensionen haben. (Dennoch FieldVsIndeterminismus) II 359 Unbestimmtheit/Übersetzung/System/Field: Bsp angenommen, zwei Sprecher haben verschiedene Annahmen über natürliche Zahlen. Dann muss der eine letztlich annehmen, dass der andere einen weiteren Begriff hat als er selbst. Problem: Asymmetrie: Ein als weiter angenommener fremder Begriff kann dann nicht in die eigene Sprache zurückübersetzt werden. ((s) Es könnte sich eine unintendierte Interpretation einschleichen.) Field: Dabei haben wir außerdem auf jeder Seite Unerforschlichkeit der Referenz. >Unerforschlichkeit. |
Field I H. Field Realism, Mathematics and Modality Oxford New York 1989 Field II H. Field Truth and the Absence of Fact Oxford New York 2001 Field III H. Field Science without numbers Princeton New Jersey 1980 Field IV Hartry Field "Realism and Relativism", The Journal of Philosophy, 76 (1982), pp. 553-67 In Theories of Truth, Paul Horwich Aldershot 1994 |
| Unendlichkeit | Quine | V 165 Unendlich/materiell/Quine: wenn man unendlich viele Zeichen braucht (Bsp für natürliche Zahlen) kann man nicht sagen, ein Zeichen sei ein physikalischer Gegenstand, denn dann hören sie bald auf. - Auch nicht Formen als Klassen von Inskriptionen - Diese sind wieder physikalische Verwirklichungen von Formen. IX 64 Unendlich/Quine: wird erst bei Induktion notwendig - x = {y}, y = {z}, z = {w}....ad infinitum - das ist der Fall, wenn {,,,x} < i' ϑ und dennoch ~(x < x) - Komprehension: {,,,x} ∩ a ε ϑ ist zufriedenstellend. >Induktion. XIII 96 Unendliche Zahlen/Quine: Bsp Angenommen, wir ordnen Gegenstände willkürlich irgendwelchen Klassen zu, die einzige Einschränkung ist, dass kein Objekt zu mehr als einer Klasse gehören darf. Problem: dann wir es nicht genug Gegenstände für alle Klassen geben! Eine Klasse, für die es kein Korrelat gibt wird Bsp die Klasse aller Objekte, die nicht zu ihren korrelierten Klassen gehören. Denn ihr Korrelat müsste zu ihr gehören, gdw. es nicht zu ihr gehört. Cantor: bewies 1890, dass die Klassen von Gegenstände jeder Art die Zahl der Gegenstände übersteigen. XIII 97 Der Grund dafür hat mit den Paradoxien zu tun, wenn die Relation, von der dort die Rede ist, richtig spezifiziert ist. Es zeigt sich, dass es unendlich viele verschiedene Unendlichkeiten gibt. Bsp Es gibt mehr Klassen ganzer Zahlen als es ganze Zahlen gibt. Da es aber unendlich viele ganze Zahlen gibt, muss die Unendlichkeit der unendlich viele Klassen ganzer Zahlen von einer höheren Art sein. Bsp es gibt auch mehr Klassen von Klassen von ganzen Zahlen als es Klassen von ganzen Zahlen gibt. Das ist eine noch höhere Unendlichkeit. Das kann unendlich fortgesetzt werden. Das Argument hing hier von der Klasse der Nichtelemente mit sich selbst korrelierter Klassen (nonmembers of own correlated classes) ab. Russellsche Antinomie/Quine: hing ab von der Klasse von Nichtelementen ihrer selbst (nonelements of selves). >Russels Paradoxie. Cantorsche Paradoxie/Quine: wenn man die Korrelation als Selbstkorrelation nimmt, läuft Cantors Paradox auf Russells Paradox hinaus. So kam Russell auch darauf. Cantor/Theorem/Quine: sein Theorem ist selbst aber keine Paradoxie. Russells Antinomie/Lösung/Quine: wird so verhindert, wie man einen Spezialfall von Cantors Theorem ausschließt, der zu ihr führt. (siehe Paradoxien.) Cantor Theorem/Korollar/unspezifizierbare Klassen/Quine: die Existenz unspezifizierbarer Klassen folgt als Korollar aus Cantors Theorem. D.h. Klassen, für die wir die Enthaltenseinsbedingung nicht angeben können. Auch keinen anderen identifizierenden Zug. Bsp Die unendliche Gesamtheit grammatisch konstruierbarer Ausdrücke in einer Sprache. Nach Cantors Theorem übersteigt schon die Klasse solcher Ausdrücke die Ausdrücke selbst. Klassen/größer/kleiner/Kriterium/Quine: unser Kriterium für größere und kleinere Klassen war hier Korrelation. Def größer/Klassen/Mengen/Quine: eine Klasse ist größer als eine andere, wenn nicht jedes ihrer Elemente mit einem Element der anderen Klasse gepaart werden kann. XIII 98 Problem: nach diesem Kriterium kann keine Klasse größer sein, als eine ihrer echten Teilklassen (Teilmengen). Bsp danach ist die Klasse der positiven ganzen Zahlen nicht größer als die der geraden Zahlen. Denn wir können immer Paare zwischen ihren Elementen bilden. Das zeigt einfach, dass unendliche Mengen sich ungewöhnlich verhalten. Unendlich/größer/kleiner/Klassen/mengen/Quine: Sollen wir unser Kriterium deswegen ändern? Wir haben die Wahl: a) Wir können sagen, dass eine unendliche Klasse nicht größer sein muss als ihre echten Teilklassen, oder b) das Kriterium ändern und sagen, dass eine Klasse immer größer als ihre echten Teile ist, nur dass sie manchmal ausgeschöpft werden können durch Korrelation mit Elementen einer kleineren Klasse. pro a): ist einfacher und Standard. Das war auch Dedekinds Definition von unendlich. Unendlich/falsch: ein Student schrieb einmal, eine unendliche Klasse wäre „eine, die echter Teil von sich selbst“ sei. Das stimmt nicht, sondern sie ist eine Klasse, die nicht größer ist, als ein (some) echter Teil von ihr selbst. Bsp die positiven ganzen Zahlen sind nicht zahlreicher als die geraden Zahlen. Bsp auch nicht zahlreicher als die Vielfachen von 3 (nach derselben Überlegung). Und sie sind Bsp auch nicht weniger zahlreich als die rationalen Zahlen! Lösung: jeder Bruch (ratio) kann ausgedrückt werden durch x/y, wobei x und y positive ganze Zahlen sind, und dieses Paar kann eindeutig repräsentiert werden durch eine positive ganze Zahl 2x mal 3y. Umgekehrt: erhalten wir den Bruch, indem wir sehen wie oft diese ganze Zahl durch 2 bzw. durch 3 Teilbar ist. Unendlich/Quine: Bevor wir von Cantor lernten, dass es verschiedene Unendlichkeiten gibt, wären wir nicht überrascht gewesen, dass es nicht mehr Brüche als ganze Zahlen gibt. XIII 99 Nun sind wir aber doch überrascht! Unspezifizierbar: da es mehr reelle Zahlen gibt, als es Ausdrücke (Namen) gibt, gibt es also unspezifizierbare reelle Zahlen. Namen/Ausdrücke/Quine: es gibt nicht mehr Namen (Ausdrücke) als es positive ganze Zahlen gibt. Lösung: einfach die Namen (Ausdrücke alphabetisch innerhalb jeder Länge anordnen. Dann kann man sie mit positiven ganzen Zahlen nummerieren. Reelle Zahlen/Cantor/Quine: Cantor zeigte, dass es ebenso viele reelle Zahlen gibt wie Klassen von positiven ganzen Zahlen. Das haben wir oben gesehen (s.o. decimals and dimidials) dass die reellen Zahlen zwischen 0 und 1 in Korrelation mit der unendlichen Klasse der positiven ganzen Zahlen sind. |
Quine I W.V.O. Quine Wort und Gegenstand Stuttgart 1980 Quine II W.V.O. Quine Theorien und Dinge Frankfurt 1985 Quine III W.V.O. Quine Grundzüge der Logik Frankfurt 1978 Quine V W.V.O. Quine Die Wurzeln der Referenz Frankfurt 1989 Quine VI W.V.O. Quine Unterwegs zur Wahrheit Paderborn 1995 Quine VII W.V.O. Quine From a logical point of view Cambridge, Mass. 1953 Quine VII (a) W. V. A. Quine On what there is In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (b) W. V. A. Quine Two dogmas of empiricism In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (c) W. V. A. Quine The problem of meaning in linguistics In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (d) W. V. A. Quine Identity, ostension and hypostasis In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (e) W. V. A. Quine New foundations for mathematical logic In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (f) W. V. A. Quine Logic and the reification of universals In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (g) W. V. A. Quine Notes on the theory of reference In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (h) W. V. A. Quine Reference and modality In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (i) W. V. A. Quine Meaning and existential inference In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VIII W.V.O. Quine Bezeichnung und Referenz In Zur Philosophie der idealen Sprache, J. Sinnreich (Hg) München 1982 Quine IX W.V.O. Quine Mengenlehre und ihre Logik Wiesbaden 1967 Quine X W.V.O. Quine Philosophie der Logik Bamberg 2005 Quine XII W.V.O. Quine Ontologische Relativität Frankfurt 2003 Quine XIII Willard Van Orman Quine Quiddities Cambridge/London 1987 |
| Unendlichkeitsaxiom | Quine | IX 205 Def Unendlichkeitsaxiom/Quine: unendlich viele Elemente in Typen sollen möglich sein. Eine Möglichkeit: Tarski: dass es eine nicht leere Klasse x² gibt, derart, dass jedes ihrer Elemente Teilklasse eines weiteren Elements ist. Russell: zu jedem x² e N ³ gibt es eine Klasse y1 mit x² Elementen: kurz L² ε N³. (1) Ex² (Ey1(y1ε x²) u ∀y1[y1 ε x² › Ez1(y1 ‹ z1 ε x²)]). Vs: manche meinten, die Frage, ob es unendlich viele Individuen gäbe, sei eher eine Frage der Physik oder Metaphysik. Es sei unangemessen, die Arithmetik davon abhängen zu lassen. Russell und Whitehead bedauerten das UA und das Auswahlaxiom und machten beide von speziellen Fällen abhängig, So wie ich die meisten Komprehensionsannahmen. Fregesche natürliche Zahlen/Quine: sind von der Notwendigkeit es Unendlichkeitsaxioms geplagt, und zwar auch dann, wenn wir die Typentheorie, Liberalisierung und kumulative Typen oder endlich heterogene Klassen zulassen. Denn innerhalb jedes Typs gibt es eine endliche Schranke, wie groß eine Klasse sein kann, es sei denn, es gibt unendlich viele Individuen. Zermelos Zahlbegriff wäre hier eine Lösung, bringt aber Probleme mit der vollständigen Induktion. IX 206 Reelle Zahlen/Quine: für sie und darüber hinaus sind aber immer Unendlichkeitsaxiome notwendig. Unendlichkeitsaxiom/Zermelo: (5) Ex[Λ ε x u ∀y(y ε x › {y} ε x)]. Es postuliert eine Klasse, zu der zumindest alle natürlichen Zahlen in Zermelos Sinn gehören. Es ist äquivalent zu "N ε ϑ" denn N ist selbst ein x, das (5) erfüllt und umgekehrt, wenn x (5) erfüllt, so N ‹ x., und somit "N ε ϑ" nach dem Aussonderungsschema. Im Unterschied zu dem von Russell sagt dieses UA nichts über die Existenz von Individuen aus. Aber es trennt die letzten Verbindungen zur Typentheorie. Zermelos und Neumanns Zahlen sind sogar zur kumulativen Typentheorie antithetisch, denn eine solche Klasse sprengt die Grenzen aller Typen. Unendlichkeitsaxiome/Russell: wurde bei ihm durch das Subtraktionsgesetz "S'x = S'y > x = y" hervorgerufen. Andersrum gesagt: es wurde gebraucht, damit die natürlichen Zahlen nicht abbrechen. Gleicherweise für die reellen Zahlen. Aber seine Bedeutung geht noch weiter: jeder nachfolgende Typ ist die Klasse aller Teilklassen seines Vorgängers und somit nach dem Satz von Cantor größer als sein Vorgänger. Unendlich viele Individuen anzunehmen, bedeutet daher, höhere Unendlichkeiten ohne Ende anzunehmen. Bsp die Potenzklasse in (7) sagt, dass {x:x ‹ N} ε ϑ, und diese letzte Klasse ist nach dem Satz von Cantor größer als N. Und so geht es weiter nach oben. Unendlichkeitsaxiom/Zermelo: sprengt die Typengrenzen. Quine pro: das befreit uns von der Bürde die den Typenindices vergleichbar ist, denn selbst in der Typentheorie mit universellen Variablen waren wir zur Fregeschen Fassung der natürlichen Zahlen gezwungen, das bedeutete Anerkennung einer unterschiedlichen 5 in jedem Typ (über Klassen von Individuen) einer unterschiedlichen 6 in jedem Typ, einem unterschiedlichen N in jedem Typ usw. Dazu kommt noch, durch die ganze Hierarchie hindurch eine Vervielfachung aller Details der Theorie der reellen Zahlen. 3/5 ist in jedem nachfolgenden Typ etwas anderes und ebenso π, Q, R. Für alle diese Konstanten ist praktisch eine Beibehaltung der Typenindices erforderlich. In Zermelos System mit seinem Unendlichkeitsaxiom entfallen mit der Aufgabe der Typengrenzen solche Vervielfachungen. Zermelos Schutz bestand darin, daß er zu große Klassen mied. Für die umgekehrte Zusicherung, daß Klassen nur dann nicht existieren können, wenn sie größer wären als alle existierenden, wurden in seinem Aussonderungsschema nur sehr wenig Vorkehrungen getroffen. IX 208 Das machten erst Fraenkel und Skolem in ihrem Axiomenschema der Ersetzung. VII (e) 93 Unendlichkeitsaxiom/QuineVsRussell: Principia Mathematica(1) müssen durch das Unendlichkeitsaxiom ergänzt werden, wenn gewisse mathematische Prinzipien abgeleitet werden sollen. - Unendlichkeitsaxiom: sichert die Existenz einer Klasse mit unendlich vielen Elementen. - New Foundation/Quine: stattdessen kommt mit der Allklasse aus: V oder x^ (x = x). >Unendlichkeit, >Klassen. 1. Whitehead, A.N. and Russel, B. (1910). Principia Mathematica. Cambridge: Cambridge University Press. |
Quine I W.V.O. Quine Wort und Gegenstand Stuttgart 1980 Quine II W.V.O. Quine Theorien und Dinge Frankfurt 1985 Quine III W.V.O. Quine Grundzüge der Logik Frankfurt 1978 Quine V W.V.O. Quine Die Wurzeln der Referenz Frankfurt 1989 Quine VI W.V.O. Quine Unterwegs zur Wahrheit Paderborn 1995 Quine VII W.V.O. Quine From a logical point of view Cambridge, Mass. 1953 Quine VII (a) W. V. A. Quine On what there is In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (b) W. V. A. Quine Two dogmas of empiricism In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (c) W. V. A. Quine The problem of meaning in linguistics In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (d) W. V. A. Quine Identity, ostension and hypostasis In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (e) W. V. A. Quine New foundations for mathematical logic In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (f) W. V. A. Quine Logic and the reification of universals In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (g) W. V. A. Quine Notes on the theory of reference In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (h) W. V. A. Quine Reference and modality In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (i) W. V. A. Quine Meaning and existential inference In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VIII W.V.O. Quine Bezeichnung und Referenz In Zur Philosophie der idealen Sprache, J. Sinnreich (Hg) München 1982 Quine IX W.V.O. Quine Mengenlehre und ihre Logik Wiesbaden 1967 Quine X W.V.O. Quine Philosophie der Logik Bamberg 2005 Quine XII W.V.O. Quine Ontologische Relativität Frankfurt 2003 Quine XIII Willard Van Orman Quine Quiddities Cambridge/London 1987 |
| Zahlen | Field | I 153 Zahlen/Frege/Crispin Wright: Frege schlägt vor, dass die Tatsache, dass unsere arithmetische Sprache diese Eigenschaften hat, hinreichend ist, um natürliche Zahlen als einen Sortal-Begriff aufzustellen, dessen Instanzen, wenn er welche hat, dann die Gegenstände sind. Crispin WrightVsFrege: Es muss aber die Gegenstände gar nicht geben. Problem: Frege fordert damit, dass empirische Bedenken irrelevant sind. Dann gibt es aber auch gar keine Möglichkeit eines Fehlers. >Zahlen/Frege, >Existenz/Frege. II 214 Zahlen/BenacerrafVsReduktion/Benacerraf/Field: Es kann mehrere Korrelationen geben, sodass man nicht von "dem" Referenten von Zahlwörtern sprechen kann. >Paul Benacerraf. Lösung/Field: Wir müssen "denotiert partiell" auch auf Folgen von Termen ausdehnen. Dann werden "gerade", "prim" usw. basis-abhängige Prädikate deren Basis die Sequenz der Zahlen ist. >Denotation, >Partielle Denotation, >Verallgemeinerung/Field. Dann kann man mathematische Wahrheit erhalten (>Wahrheitserhalt, Wahrheitstransfer) - Bsp "Die Zahl zwei ist Cäsar" ist weder wahr noch falsch (ohne Wahrheitswert). >Sinnloses. II 326 Def natürliche Zahlen/Zermelo/Benacerraf/Field: 0 ist die leere Menge und jede natürliche Zahl > 0 ist die Menge, die als einziges Element die Menge die n-1 ist, enthält. Def natürliche Zahlen/von Neumann/Benacerraf/Field: Jede natürliche Zahl n ist die Menge, die als Elemente die Mengen hat, die die Vorgänger von n sind. Tatsache/Nonfaktualismus/Field: Es ist klar, dass es keine Tatsache darüber gibt, ob Zermelos oder von Neumanns Ansatz die Dinge "richtig darstellt"; es gibt keine Tatsache die entscheidet, ob Zahlen Mengen sind. Das nenne ich die Def Strukturalistische Einsicht: Es macht keinen Unterschied, was die Objekte einer mathematischen Theorie sind, wenn sie nur in den richtigen Relationen zueinander stehen. |
Field I H. Field Realism, Mathematics and Modality Oxford New York 1989 Field II H. Field Truth and the Absence of Fact Oxford New York 2001 Field III H. Field Science without numbers Princeton New Jersey 1980 Field IV Hartry Field "Realism and Relativism", The Journal of Philosophy, 76 (1982), pp. 553-67 In Theories of Truth, Paul Horwich Aldershot 1994 |
| Zahlen | Quine | I 219 Nicht alle abstrakten Gegenstände sind Eigenschaften: Zahlen, Klassen, Funktionen, geometrische Figuren, Ideen, Möglichkeiten. - Wir müssen abstrakte Gegenstände aufgeben oder zurückführen und getreulich durch Gebrauch von "-heit" von konkreten Gegenständen unterscheiden! II 26 Zahlen: Quantifikation ist Vergegenständlichung, Ziffern Namen - Diagonalen: irrational, Umfang: transzendent. Messen: Messskala: mehrstelliger allgemeiner Term, setzt physikalische Gegenstände in Beziehung zu reinen Zahlen. Zählen: Messen einer Klasse >Messen. II 28 Zahlen/Ontologie: Zahlen sind bloß eine "facon de parler". - Höhere Klassen sind nötig, um Zahlen zu ersetzen - sonst nur physikalische Gegenstände. >Ontologie/Quine. IX 54 Zahlen/Frege/Quine: wie Vorgänger (Ahne): Def Vorgänger/Frege: die gemeinsamen Elemente aller Klassen z, die die Anfangsbedingung: "y ε z" und eine Abgeschlossenheitsbedingung: die auf "a " "z < z" hinauslief, erfüllten - wobei a die Elternrelation ist. Quine: Bis jetzt sagen wir noch nicht, dass Zahlen Klassen sind - unendliche Klassen vermeiden wir, wenn wir statt der Nachfolger- die Vorgängerrelation nehmen: {x: ∀z[(x ε z u ^S " "z < z) > 0 ε z]}. Problem: Die Nachfolgerrelation könnte auch zu Dingen führen, die keine >Zahlen sind - Zahlen/Quine: werden wir vor allem als Maß für Vielfachheiten benutzen (so hatte Frege sie definiert) - a hat x Elemente" - das Schema geht auf Frege zurück: a hat 0 Elemente <> a = Λ. - a hat S°x Elemente ↔ Ey(y ε a ∩ _{y} hat x Elemente. IX 59 Zahlen/Zermelo: (1908)(1) nimmt Λ als 0 und dann {x} als S°x für jedes x. (d.h. "{x}" immer eins mehr als x! - {x} Nachfolger von x! - Als Zahlen erhalten wir dann Λ, {Λ},{{Λ}}..usw. IX 59f Zahlen/von Neumann: (1923)(2) fasst jede natürliche Zahl als die Klasse der früheren Zahlen auf: 0 wird wieder Λ, - aber Nachfolger: S°x wird nicht {x}, sondern x U {x}. (vereinigt mit) - 1: wie bei Zermelo: gleich {Λ}, - aber 2: {0,1} oder {Λ,{Λ}}. - 3: {0,1,2} oder {Λ,{Λ},{Λ,{Λ,{Λ}}}, - für von Neumann besagt, dass a x Elemente hat, dass a ~ x. (Anzahl, gleichmächtig) - das ist gerade das "a ~ {y: y < x}" von Kap 11. denn für von Neumann ist x = {y: y < x}. IX 60 Zahlen/Frege: ausschließlich Zahlen als Maßzahlen von Vielfachheiten. - Jede Zahl ist die Klasse aller Klassen, die diese Zahl von Elementen haben - Null/Frege: ist für ihn daher lieber {Λ} als Λ - Nachfolger: {z: Ey(y ε z ∧ z D _{y} ε x )}. (_{y} Komplement) - gleichmächtig: wie bei den anderen: "a hat x Elemente" wird durch "a ~ {y : y Zahlen/Quine: ich verwende Zermelos Version für 0 und S. nämlich Λ und i. - Schreibweise: "i" jetzt statt "S" für Nachfolger - "b <= a" oder "a >= b" steht für "z[(a e z u ^i " "z < z) > b ε z]" - "b <=a" oder "a > b" steht für "{b} <= a" - "N" steht für "{x: Λ <= x}" - "<=" : diese Relation ist reflexiv und transitiv! - x <= x. ("kann nicht größer sein") - x <= {x}. - x < {x}. IX 203 Natürliche Zahlen/kumulative Typen/Quine: die Zermeloschen und von Neumannschen Zahlen fahren hier ein wenig besser als in Russells Typentheorie. Neumann: bei ihm war x U {x} Nachfolger von x und damit kommt er offenbar mit der Typentheorie in Konflikt. Zermelo: Dito, wenn man zwei Zahlen, z.B. x und seinen Nachfolger, in eine Klasse stecken möchte - neu: mit der Tolerierung der endlichen Heterogenität in Klassen wird der Konflikt vermieden. 1. Zermelo, E. (1908). Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I. Mathematische Annalen, 65, 261-281. http://dx.doi.org/10.1007/BF01449999 2. Neumann, John von. (1923) Zur Einführung der transfiniten Zahlen; in: Acta Scientiarum Mathematicarum (Szeged); Band: 1; Nummer: 4; Seite(n): 199-208; XII 61 Zahlen/Russell: man braucht nicht zu entscheiden, was sie über die Arithmetik hinaus sind. - QuineVsRussell: jede Progression ist ein Modell der natürlichen Zahlen. - Aber sie sind nicht alle verträglich -" Bsp die Progression der geraden und der ungeraden Z. können nicht gleichgesetzt werden. - Daher sind nicht alle Dinge, die die Arithmetik erfüllen, Zahlen. - Man kann nicht absolut sagen, was Zahlen sind - nur relativ zu einer Rahmentheorie. >Zahlen/Frege. XIII 40 Dezimalzahlen/Dimidialzahlen/Dezimalsystem/Quine: Bsp en gros: kommt von „gross“ = 1 Dutzend mal 1 Dutzend. score: = 20. Dezimalsystem: Bsp 365 = 3 x 10² + 6 x 101 + 5 x 100. XIII 41 Exponent/Hochzahlen/hoch Null/hoch 0: warum ist n0 = 1 und nicht 0? Weil wir wollen, dass n m + n immer nm x n ist. Bsp m = 0: dann ist n1 = n0, oder n = n0 x n; daher muss n0 = 1 sein. Dezimalsystem: die Positionen entsprechen einem eingebauten Abakus. Komma/Dezimalkomma: wurde durch negative Exponenten inspiriert: Bsp 3,65 = 3 x 100 + 6 10-1 + 5 x 10-2. Zählen/Division: hatte vor diesem Durchbruch wenig miteinander zu tun. Denn Teilen geschah auf der Basis von Teilung durch 2, während gleichzeitig schon im Dezimalsystem gezählt wurde. Reelle Zahlen: einige sind endlich, Bsp ½ = 0,5. Dezimalzahlen: ihre Korrespondenz mit reellen Zahlen ist nicht perfekt: jede endliche Dezimalzahl ist zu einer unendlichen äquivalent: Bsp 5 zu ,4999… Lösung: die Korrespondenz kann einfach dadurch perfekt gemacht werden, da man die „.5“ vergisst und an der „.4,999“ festhält. Unendlich/unendliche Ausdehnung/Dezimalzahl/Quine: Bsp eine sechsstellige Dezimalzahl wie 4,237251 ist der Bruch (ratio) 4.237.251 1 Mio. Unendliche Dezimalzahl: wird dann approximiert als Grenzwert durch die Reihe von Brüchen, die von immer längeren Brüchen, repräsentiert durch Abschnitte dieser Dezimalzahl. Grenzwert: kann hier wieder ein Bruch sein Bsp ,333…, oder ,1428428… oder irrational Bsp im Fall von 3.14159 ((s) Pointe: hier erstmals eine Zahl vor dem Komma, weil die konkrete Zahl π). XIII 42 Unendliche Dezimalzahlen/Quine: dürfen wir nicht als Ausdrücke ansehen! Und zwar, weil reelle Zahlen, die jegliche Ausdruckmittel übersteigen, ((s) behelfsmäßig) als unendliche Dezimalzahlen geschrieben werden. ((s) Also kann eine (notwendig endlich hingeschriebene Dezimalzahl) mehreren reellen Zahlen entsprechen). Dezimalsystem/Quine: jede Zahl >= 2 könnte statt der 10 als Basis eines Zahlsystems fungieren. Je größer die Basis, desto kompakter die Notation der Multiplikationstabelle. Dualsystem/binär/“dimidial“/binäre Zahlen/Binärsystem/Quine: aus “0 und “1”. d.h. Zahlen werden durch Halbe (partes dimidiae) zergliedert: Bsp 365 = 28 + 22 + 25 + 23 + 22 + 20. Pointe: Gesetz: jede positive ganze Zahl ist eine Summe eindeutiger (distinct) Vielfacher von 2. Das geht nur bei 2 als Basis, keiner anderen Zahl!. D.h. Bsp bei 365 kommt die 10² nicht einmal, sondern dreimal vor. Dezimalkomma/binär: in Binärnotation: die Stellen rechts sind dann negative Potenzen von 2. Bsp .0001 ist ein 16tel. Reelle Zahlen/Binärnotation: nette Konsequenz: wenn wir die Reihe der reellen Zahlen zwischen 0 und 1 (ohne die 0) betrachten, haben wir eine 1:1-Korrespondenz zwischen diesen reellen Zahlen und den unendlichen Klassen von positiven ganzen Zahlen. Lösung: jede binär dargestellten reellen Zahl wird identifiziert mit einer binären Ausdehnung, die unendlich ist in dem Sinn, dass es keine letzte „1“ gibt. XIII 43 Ganze Zahlen: die korrespondierende Klasse von ganzen Zahlen ist dann die der ganzen Zahlen, die die Stellen abzählen, an denen die „1“ vorkommt. Bsp Angenommen, die binäre Darstellung der fraglichen reellen Zahl beginnt mit „001011001“: die korrespondierende Klasse von ganzen Zahlen wird dann beginnen mit 3,5,6 und 9. Denn „1“ kommt an der dritten, 5, sechsten und neunten Stelle der binären Ausdehnung (expansion) vor. Pointe: die so bestimmte Klasse ist also unendlich! Denn es gibt kein letztes Vorkommnis von „1“ in der Binärziffer (binary expansion). Und umgekehrt: Reelle Zahlen: jede unendliche Klasse von positiven ganzen Zahlen legt eine reelle Zahl fest, indem sie alle Stellen angibt, an denen „1“ statt „0“ vorkommt. |
Quine I W.V.O. Quine Wort und Gegenstand Stuttgart 1980 Quine II W.V.O. Quine Theorien und Dinge Frankfurt 1985 Quine III W.V.O. Quine Grundzüge der Logik Frankfurt 1978 Quine V W.V.O. Quine Die Wurzeln der Referenz Frankfurt 1989 Quine VI W.V.O. Quine Unterwegs zur Wahrheit Paderborn 1995 Quine VII W.V.O. Quine From a logical point of view Cambridge, Mass. 1953 Quine VII (a) W. V. A. Quine On what there is In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (b) W. V. A. Quine Two dogmas of empiricism In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (c) W. V. A. Quine The problem of meaning in linguistics In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (d) W. V. A. Quine Identity, ostension and hypostasis In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (e) W. V. A. Quine New foundations for mathematical logic In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (f) W. V. A. Quine Logic and the reification of universals In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (g) W. V. A. Quine Notes on the theory of reference In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (h) W. V. A. Quine Reference and modality In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (i) W. V. A. Quine Meaning and existential inference In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VIII W.V.O. Quine Bezeichnung und Referenz In Zur Philosophie der idealen Sprache, J. Sinnreich (Hg) München 1982 Quine IX W.V.O. Quine Mengenlehre und ihre Logik Wiesbaden 1967 Quine X W.V.O. Quine Philosophie der Logik Bamberg 2005 Quine XII W.V.O. Quine Ontologische Relativität Frankfurt 2003 Quine XIII Willard Van Orman Quine Quiddities Cambridge/London 1987 |
| Zahlen | Wittgenstein | II 32 Zahl/Wittgenstein: Eine Zahl ist kein Begriff, sondern eine logische Form. >Begriffe. II 283 Zahlen/KZ/Wittgenstein: Dass es unendlich viele Kardinalzahlen gibt, ist eine Regel, die man aufstellt. >Regeln. II 343 Zahl/Frege/WittgensteinVsFrege: Eine Zahl sei eine Eigenschaft einer Eigenschaft. - Problem: Bsp Für blauäugige Männer im Zimmer. - Dann wäre die Fünf eine Eigenschaft der Eigenschaft, ein blauäugiger Mann im Zimmer zu sein - Bsp Um auszudrücken, dass Hans und Paul zwei sind, müsste ihnen dann eine Eigenschaft gemeinsam sein, die dem anderen gerade nicht zukommt. - ((s) Jeder müsste die Eigenschaft haben, vom anderen verschieden zu sein.) - Lösung/Frege: Die Eigenschaft, Hans oder Paul zu sein. >Disjunktion. II 344 Zahl/Wittgenstein: Eine Zahl ist nicht bloß ein Zeichen. - Man kann zwei Gegenstände der Form "Drei" haben, aber nur eine Zahl. - ((s) WittgensteinVsFormalismus.) >Zeichen, >Formalismus. II 360 Zahl/Definition/WittgensteinVsRussell: Gleichzahligkeit ist die Voraussetzung für eineindeutige Zuordnung. - Daher ist Russells Definition der Zahl zwecklos. - ((s) Weil zirkulär, wenn man Zahl über Abbildung definieren will). >Zirkularität. II 361 Definition/Wittgenstein: Statt einer Definition von "Zahl" müssen wir uns über die Gebrauchsregeln klar werden. >Gebrauch, >Regeln. II 415 Zahl/Russell/Wittgenstein: Russell hat behauptet, 3 sei die Eigenschaft, die allen Triaden gemeinsam ist. II 416 Def Zahl/WittgensteinVsRussell: Die Zahl ist ein Attribut einer Funktion, die eine Klasse definiert, nicht eine Eigenschaft der Extension. - Bsp Extension: Es wäre eine Tautologie zu sagen, ABC sei drei. - Dagegen sinnvoll: zu sagen, in diesem Zimmer sind drei Personen. IV 93 Def Zahl/Zahlen//Wittgenstein/Tractatus: 6.021 - Die Zahl ist der Exponent einer Operation. Waismann I 66 Def Natürliche Zahlen/Wittgenstein: Diejenigen, auf die man die Induktion bei Beweisen anwenden kann. |
W II L. Wittgenstein Vorlesungen 1930-35 Frankfurt 1989 W III L. Wittgenstein Das Blaue Buch - Eine Philosophische Betrachtung Frankfurt 1984 W IV L. Wittgenstein Tractatus logico-philosophicus Frankfurt/M 1960 Waismann I F. Waismann Einführung in das mathematische Denken Darmstadt 1996 Waismann II F. Waismann Logik, Sprache, Philosophie Stuttgart 1976 |
| Zahlentheorie | Quine | IX 81 Elementare Zahlentheorie/Quine: darunter versteht man die Theorie, die nur mit den Begriffen "Null, Nachfolger, Summe, Potenz, Produkt, Identität" und mit Hilfe der a.l. Verknüpfungen und der Quantifikation über natürliche Zahlen ausgedrückt werden kann. Man kann die ersten vier dieser Punkte weglassen oder die beiden ersten und den fünften. Die ausführlichere Liste ist aber bequem, weil das klassische Axiomensystem unmittelbar dazu passt. Quine: unsere quantifizierbaren Variablen lassen noch andere Objekte als Zahlen zu. Wir werden jetzt aber stillschweigend eine Begrenzung auf "x ε N" einführen. Elementare Zahlentheorie/Quine: kleiner/gleich: ist hier überflüssig. "Ez(x + z = y)" - x ε N > Λ + x = x. - x,y ε N >{x} + y = {x+y}. IX 239 Relative Stärke/Beweistheorie/Theorie/Beweisbarkeit/Quine: Gödel, Unvollständigkeitssatz (1931)(1). Da die Zahlentheorie in der Mengenlehre entwickelt werden kann, bedeutet das, dass die Klasse aller Theoreme IX 239 (in Wirklichkeit aller Gödelnummern von Theoremen) einer vorliegenden Mengenlehre in dieser selben Mengenlehre definiert werden kann, und verschiedene Dinge können darin über sie bewiesen werden. Unvollständigkeitssatz: Als seine Folge zeigte Gödel aber, dass die Mengenlehre (falls sie widerspruchsfrei ist) eines nicht über die Klasse ihrer eigenen Theoreme beweisen kann, nämlich, dass sie widerspruchsfrei ist, d.h. z.B. dass "0 = 1" nicht in ihr liegt. Wenn die Widerspruchsfreiheit einer Mengenlehre in einer anderen bewiesen werden kann, ist letztere die stärkere (es sei denn, dass beide widerspruchsvoll sind). Zermelos System ist stärker als die Typentheorie. >Typentheorie, >Stärke von Theorien, >Mengenlehre, >Beweisbarkeit. 1.Kurt Gödel: Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I. In: Monatshefte für Mathematik und Physik. 38, 1931, S. 173–198, doi:10.1007/BF01700692 II 178 Die elementare Zahlentheorie ist der bescheidene Teil der Mathematik, der sich mit der Addition und Multiplikation ganzer Zahlen beschäftigt. Egal, einige wahre Aussagen werden unbeweisbar bleiben. Dies ist der Kern des Gödelschen Satzes. Er hat gezeigt, wie man bei beliebigem gegebenen Beweisverfahren rein in der dürftigen Notation der elementaren Zahlentheorie einen Satz bilden kann, der sich dann und nur dann beweisen lässt, wenn er falsch ist. Doch halt! Der Satz kann nicht bewiesen werden und dennoch falsch sein. Also ist er wahr, aber nicht beweisbar. Quine: wir pflegten zu glauben, dass mathematische Wahrheit in Beweisbarkeit besteht. Nun sehen wir, dass diese Ansicht für die Mathematik als ganze unhaltbar ist. II 179 Gödels Unvollständigkeitssatz hat sich, (die dort angewandten Techniken) in anderen Gebieten als nützlich erwiesen: Rekursive Zahlentheorie oder kurz Rekursionstheorie. Oder Hierarchientheorie. III 311 Elementare Zahlentheorie/eZT/Quine: hat nicht einmal ein vollständiges Beweisverfahren. Beweis: reductio ad absurdum: Angenommen, wir hätten es, mit dem man jeden wahren Satz in der Schreibweise der eZT beweisen könnte, III 312 Dann gäbe es auch ein vollständiges Widerlegungsverfahren: um einen Satz zu widerlegen beweise man seine Negation. Aber dann könnten wir das Beweis und Widerlegungsverfahren von Seite III 247 Mitte zu einem Entscheidungsverfahren kombinieren. V 165 Substitutionale Quantifikation/referentielle Quantifikation/Zahlen/Quine: Dilemma: die substitutionale Quantifikation verhilft der elementaren Zahlentheorie zu keiner ontologischen Sparsamkeit, den entweder gehen die Zahlen aus oder es gibt unendlich viele Zahlzeichen. Wenn die erklärende Rede von unendlich vielen Zahlzeichen selbst wieder im Einsetzungs Sinn zu verstehen ist, stehen wir vor einem mindestens so schweren Problem wie dem der Zahlen – wenn sie im Sinne der referentiellen Quantifikation zu verstehen ist, dann könnte man sich auch von vornherein unkritisch mit Gegenstands Quantifikation über Zahlen zufrieden geben. >Quantifikation. V 166 Wahrheitsbedingungen: wenn man nun substitutionale Quantifikation annimmt, kann man die Wahrheitsbedingungen für sie über Zahlen tatsächlich erklären, indem man nur von Zahlzeichen und ihrer Einsetzung spricht. Problem: wenn die Zahlzeichen ihren Zweck erfüllen sollen, müssen sie so abstrakt wie die Zahlen sein. Ausdrücke, von denen es unendlich viele geben soll, könnte man mit ihren Gödelnummern identifizieren. Keine andere Betrachtungsweise führt zu einer spürbaren Verringerung der Abstraktheit. Substitutionale Quantifikation: zwingt zum Verzicht auf das Gesetz, dass jede Zahl einen Nachfolger hat. Eine Zahl wäre die letzte, aber der sQ Theoretiker wüsste nicht, welche. Es würde von tatsächlichen Inskriptionen in der Gegenwart und Zukunft abhängen. (Quine/Goodman 1947). Das wäre ähnlich wie die Theorie der herstellbaren Zahlen von Esenin Volpin: man hätte eine unbekannte endliche Schranke. >Substitutionale Quantifikation. V 191 QuineVsSubstitutionale Quantifikation: die einzusetzenden Ausdrücke sind ebenso abstrakte Entitäten wie die Zahlen selbst. V 192 NominalismusVsVs: man könnte die Ontologie der reellen Zahlen oder Mengenlehre auf die der elementaren Zahlentheorie reduzieren, indem man Wahrheitsbedingungen für die sQ anhand von Gödelzahlen aufstellt. >Gödelnummern. QuineVs: das ist nicht nominalistisch, sondern pythagoräisch. Es geht da nicht um die Hochschätzung des Konkreten und Abscheu vor dem Abstrakten, sondern um die Hinnahme der natürlichen Zahlen und die Verwerfung der meisten transzendenten Zahlen. Wie Kronecker sagt: „Die natürlichen Zahlen schuf Gott, die anderen sind Menschenwerk“. QuineVs: aber auch das geht nicht, wir sahen oben, dass die sQ über Klassen grundsätzlich nicht vereinbar mit der Gegenstands Quantifikation über Gegenstände ist. V 193 VsVs: man könnte doch auch die Quantifikation über Gegenstände so auffassen. QuineVs: das ging nicht, weil es nicht genug Namen gibt. Zwar könnte man Raumzeit Koordination beibringen, aber das erklärt nicht das Sprachlernen. X 79 Gültigkeit/Satz/Menge/Schema/Quine: wenn Mengen und Sätze derart auseinander fallen, sollte es einen Unterschied zwischen diesen beiden Definitionen der Gültigkeit (Über Schema (mit Sätzen) bzw. Modelle (mit Mengen) geben. Aber aus dem Satz von Löwenheim folgt, dass die beiden Definitionen der Gültigkeit (über Sätze, bzw. Mengen) nicht auseinanderfallen, solange die Objektsprache nicht allzu ausdrucksschwach (ausdrucksarm) ist. Bedingung: die Objektsprache muss die elementare Zahlentheorie ausdrücken können. (enthalten). Objektsprache: In einer solchen Sprache wird ein Schema, das bei allen Einsetzungen von Sätzen wahr bleibt, auch von allen Modellen erfüllt und umgekehrt. Die Forderung der elementaren Zahlentheorie ist ziemlich schwach. Def elementare Zahlentheorie/eZT/Quine: spricht über die positiven ganzen Zahlen mit Hilfe der Addition, Multiplikation, Identität, Wahrheitsfunktionen und Quantifikation. Standardgrammatik/Quine: die Standardgrammatik würde die Funktoren der Addition, Multiplikation, wie die Identität, durch geeignete Prädikate ausdrücken. X 83 Elementare Zahlentheorie/eZT/Quine: ist zwar ähnlich wie die Theorie der endlichen n tupel effektiv einem gewissem Teil der Mengenlehre äquivalent, aber nur der Theorie der endlichen Mengen. XI 94 Übersetzungsunbestimmtheit/Quine/Harman/Lauener: („Words and Objections): Bsp Übersetzung der Zahlentheorie in die Sprache der Mengenlehre von Zermelo bzw. v. Neumann: beide Versionen übertragen wahre bzw. falsche Sätze der Zahlentheorie in wahre bzw. falsch Sätze der Mengenlehre. Nur die Wahrheitswerte von Sätzen wie Bsp „Die Zahl zwei hat genau ein Element“, die vor der Übersetzung keinen Sinn hatten, weichen in beiden Systemen voneinander ab. ( XI 179 :Er ist wahr in von Neumanns und falsch in Zermelos System, in der Zahlentheorie ist er sinnlos). XI 94 Da sie beide in gleicher Weise sämtliche Zwecke der Zahlentheorie erfüllen, ist es nicht möglich, eine von beiden als richtige Übersetzung auszuzeichnen. |
Quine I W.V.O. Quine Wort und Gegenstand Stuttgart 1980 Quine II W.V.O. Quine Theorien und Dinge Frankfurt 1985 Quine III W.V.O. Quine Grundzüge der Logik Frankfurt 1978 Quine V W.V.O. Quine Die Wurzeln der Referenz Frankfurt 1989 Quine VI W.V.O. Quine Unterwegs zur Wahrheit Paderborn 1995 Quine VII W.V.O. Quine From a logical point of view Cambridge, Mass. 1953 Quine VII (a) W. V. A. Quine On what there is In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (b) W. V. A. Quine Two dogmas of empiricism In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (c) W. V. A. Quine The problem of meaning in linguistics In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (d) W. V. A. Quine Identity, ostension and hypostasis In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (e) W. V. A. Quine New foundations for mathematical logic In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (f) W. V. A. Quine Logic and the reification of universals In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (g) W. V. A. Quine Notes on the theory of reference In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (h) W. V. A. Quine Reference and modality In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (i) W. V. A. Quine Meaning and existential inference In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VIII W.V.O. Quine Bezeichnung und Referenz In Zur Philosophie der idealen Sprache, J. Sinnreich (Hg) München 1982 Quine IX W.V.O. Quine Mengenlehre und ihre Logik Wiesbaden 1967 Quine X W.V.O. Quine Philosophie der Logik Bamberg 2005 Quine XII W.V.O. Quine Ontologische Relativität Frankfurt 2003 Quine XIII Willard Van Orman Quine Quiddities Cambridge/London 1987 |
| Zahlentheorie | Tarski | Berka I 532 Elementare Zahlentheorie/Tarski: Die Wissenschaft, in der alle Variablen Namen von natürlichen Zahlen repräsentieren und als Konstanten (neben den Zeichen des Aussagenkalküls und des Funktionskalküls) die Zeichen der Null, der Einheit, der Gleichheit, der Summe, des Produkts auftreten.(1) >Zahlen, >Einheit, >Gleichheit, >Gleichheitszeichen, >Variablen, >Zahlenname, >Natürliche Zahlen, >Reelle Zahlen, >Rationale Zahlen, >Eins, >Null. 1. A.Tarski, Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen, Commentarii Societatis philosophicae Polonorum. Vol 1, Lemberg 1935 |
Tarski I A. Tarski Logic, Semantics, Metamathematics: Papers from 1923-38 Indianapolis 1983 Berka I Karel Berka Lothar Kreiser Logik Texte Berlin 1983 |
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Der gesuchte Begriff oder Autor findet sich in folgenden 2 Thesen von Autoren des zentralen Fachgebiets.
| Begriff/ Autor/Ismus |
Autor |
Eintrag |
Literatur |
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| Fiktionalsmus | Field, Hartry | I 3 Field: These: der Sinn in dem "2+2=4" wahr ist, ist eher der Sinn, in dem "Oliver Twist lebte in London" wahr ist: nämlich entsprechend einer wohlbekannten Geschichte, beziehungsweise in Bezug auf die Standardmathematik. D.h. er glaubt nicht buchstäblich, daß "2+2=4"! Field pro Fiktionalismus: diese Sichtweise ist die korrekte. I 5 Def starken Fiktionalismus: schwacher F. plus die Doktrin, daß schwacher F und Platonismus unterschieden werden müssen. Field pro starker F: These: schwacher Fiktionalismus und Platonismus fallen nicht zusammen. I 22 Lösung/Wagner: (1982): These: wir haben eine gute Geschichte über natürliche Zahlen und eine gute Geschichte über Mengen usw. Innerhalb dieser Geschichten ist es völlig unwichtig, ob man z.B. Zahlen mit Mengen oder mit etwas anderem identifiziert. II 323 Fiktionalismus/Mathematik/Objektivität/Field: These: es gibt überhaupt keine mathematischen Objekte. a) Das führt zur selben Begrenzung der mathematischen Objektivität: alles geht, "anything goes", solange es Konsistenz (WSF) im obigen (weiten) Sinn erfüllt. II 324 b) Modale Interpretation/Fiktionalismus/Field: könnte sagen, eine nicht-direkte Sicht der mathematischen Sprache nach der Bsp "Es gibt Primzahlen größer als eine Milliarde" nicht die Existenz von irgendetwas behauptet, sondern nur eine modale Behauptung macht. III 2 Statt dessen: These: Mathematik als Fiktion auffassen. |
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| ontol. Relativit. | Quine, W.V.O. | XII 75f Löwenheim/Skolem/starke Form/Auswahlaxiom/Ontologie/Reduktion/ontologische Relativität/Quine: (frühe Form): These wenn eine Theorie wahr ist und einen überabzählbaren Gegenstandsbereich hat, dann ist alles bis auf einen abzählbaren Teil überflüssig, in dem Sinn, daß es aus dem Bereich der Variablen eliminiert werden kann, ohne daß irgendein Satz falsch wird. D.h. daß sich alle akzeptablen Theorien auf abzählbare Ontologien reduzieren lassen. Und diese wiederum auf eine spezielle Ontologie der natürlichen zahlen. Dafür nimmt man die Aufzählung, soweit sie explizit bekannt ist, als SF. Und selbst, wenn die Aufzählung nicht bekannt ist, existiert sie. Demnach können wir alle unsere Gegenstände als natürliche Zahlen auffassen, auch wenn die Aufzählungsnummer ((s) der Name) nicht immer bekannt ist. Ontologie: könnten wir dann nicht ein für alle Mal eine Pythagoreische Allzweckontologie festlegen? Pythagoreische Ontologie/Terminologie/Quine: besteht entweder nur aus Zahlen, oder nur aus Körpern, oder nur aus Mengen usw. XII 76 VsPythagoreismus: daran sieht man daß ein allumfassender Pythagoreismus nicht attraktiv ist, denn er bietet nur neue und undurchsichtigere Versionen alter Methoden und Probleme. Lösung: ontologische Relativität, relativistische Theorie. |
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