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Der gesuchte Begriff oder Autor findet sich in folgenden 24 Einträgen:
| Begriff/ Autor/Ismus |
Autor |
Eintrag |
Literatur |
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| Allklasse | Allklasse: auch Allmenge, umfasst eine Gesamtheit, die durch eine Bestimmung zusammengefasst wird. Siehe auch Komprehensionsaxiom, Selbstreferenz, Paradoxien. |
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| Extensionalität | Bigelow | I 368 Menge/Identität/Bigelow/Pargetter: Eine Menge ändert sich, wenn sie ein zusätzliches Element erhält oder eins verliert. logische Form: Extensionalitätsaxiom: (y)(N(y ε x) v N~(y ε x)). Alltagssprachliche Übersetzung: „Entweder etwas ist ein Element einer gegebenen Menge in allen möglichen Welten oder in keiner Welt. Es kann nicht Element in einigen Welten, aber nicht in anderen sein“. Prinzip der Prädikation/Bigelow/Pargetter: von diesem Prinzip ist dies eine Instanz. (s.o. 3.2). >Prädikation. Es gilt für Mengen, aber nicht für Universalien. Ein Universale ist eine Menge nur, wenn das Extensionalitätsaxiom gilt. Wesentliche Eigenschaften/Bigelow/Pargetter: haben einen sehr ähnliche Charakter wie Mengen. Universalien: haben auch wesentliche Eigenschaften. Mengen: für sie ist die Menge der Elemente wesentlich. Mengen/Bigelow/Pargetter. sind Universalien. Ihre wesentliche Eigenschaft, die Extensionalität ist eine Reflexion der bestimmenden Essenzen von Universalien. >Mengen, >Mengenlehre, >Universalien. Elementbeziehung/Bigelow/Pargetter. wirkt in beide Richtungen. Alle Elemente zusammengenommen könnten nicht existieren, ohne gleichzeitig diese Menge zu konstituieren. Die einzelnen Elemente natürlich wohl. Daher ist die Zugehörigkeit zu einer Menge kein wesentliches Merkmal eines Elements, für sich genommen. Def plurale Essenz/plurales Wesen/Bigelow/Pargetter: ist dann das Wesentliche, das alle Elemente einer Menge gleichzeitig betrifft. I 369 Sie betrifft immer eine Mehrzahl von Dingen. „Eins von dieser Gruppe von Dingen zu sein“. Extensionalitätsaxiom/Bigelow/Pargetter: sichert noch nicht die Existenz von Mengen. Das leistet das Komprehensionsschema. >Extensionalität, >Komprehension. Komprehensionsschema/Komprehension/Abstraktionsschema/Bigelow/Pargetter: behauptet, dass für jede Beschreibung es eine Menge von dingen gibt, die diese Beschreibung erfüllen. (evtl. die leere Menge). Das ist eins der dramatischen Beispiele für das Folgen ontologischer Konklusionen aus semantischen Annahmen. Formal: Sei ψ(x) ein offener Satz, dann (Ey)(x)((x ε y ) ⇔ ψ(x)). Problem: zum Glück oder nicht zum Glück enthält das Komprehensionsschema einen Widerspruch : ((s) Bsp mögliche Instanz des Schemas: „Die Menge der Gegenstände, die nicht zu einer Menge gehören.) Priest: (1979) schließt daraus, dass einige Widersprüche wahr sind. Komprehensionsschema/Bigelow/Pargetter: Das Komprehensionsschema ist aber wegen des Widerspruchs nicht gültig. Ontologie/Bigelow/Pargetter: Die Entscheidung darüber was existiert, sollte der Semantik vorausgehen. Die Semantik kann diese dann modifizieren. I 370 Daher sollten wir nicht erwarten, dass das Komprehensionsschema gültig ist. BigelowVsKomprehensionsschema: Bsp Angenommen, eine allgemeine Beschreibung, die wir eine „Art mit offenem Ende“ nennen wollen. Vielleicht gibt es eine Eigenschaft, eins der Dinge zu sein, die von vielen dieser Dinge geteilt wird, die diese Beschreibung erfüllen. Aber dann kann es viele andere Dinge geben, die die Beschreibung erfüllen, die nicht die Eigenschaft haben, eins von diesen Dingen zu sein. Es kann Dinge geben, die die Eigenschaft nicht haben, aber die Beschreibung erfüllen! Bsp es kann auch sein, dass die Eigenschaft der Form „Eins von diesen Dingen sein“ von einigen, aber nicht von allen Dingen erfüllt wird, die die Beschreibung erfüllen. VsKomprehensionsschema/Zermelo-Fraenkel/ZF/Bigelow/Pargetter: Zermelo und Fraenkel schlagen einen Ersatz für das Komprehensionsschema vor: Separation: Separation/Separationsaxiom//Bigelow/Pargetter: mit Hilfe anderer Axiome beinhaltet (entails) es die Existenz von genügend Mengen für die Zwecke der Mathematik. Insbesondere für die Reduktion von Geometrie auf die Zahlentheorie....+... >Zahlentheorie. |
Big I J. Bigelow, R. Pargetter Science and Necessity Cambridge 1990 |
| Intensionalität | Logik-Texte | Hoyningen-Huene II 39 Intensionale Aussageverknüpfungen/Hoyningen-Huene: verknüpfen zwei Teilaussagen so zu einer Gesamtaussage, dass der Wahrheitswert der Gesamtaussage von den Wahrheitswerten der Teilaussagen allein nicht eindeutig bestimmt wird. >Intension, >Extensionen, >Wahrheitswerte. Intension: Satzsinn - Extension: vom Satzsinn unabhängig. Intension verlangt Zusatzwissen. II 68 Intensionale Interpretation/Hoyningen-Huene: Zuordnung von Aussagen zu Satzbuchstaben, gleichen Satzbuchstaben müssen gleiche Aussagen zugeordnet werden - Extensionale Interpretation: Zuordnung von Wahrheitswerten statt Aussagen. Read III 254 Unendliche Mengen können nur intensional behandelt werden: als Beispiele für einen allgemeinen Begriff. III 255 Def Komprehensionsprinzip/Read: jeder wohldefinierte Begriff bestimmt eine Menge. Die Antinomien von Burali-Forti und Russell zeigten, dass dem irgendeine Restriktion auferlegt werden musste. Nichtsdestoweniger, wenn Mengen von unten rekonstruiert werden, behaupten die Axiome der Unendlichkeit die Existenz der Extension der Begriffe »natürliche Zahl« und »reelle Zahl« als bestimmte Totalität. IntuitionismusVsKomprehensionsprinzip: der Intuitionist bestreitet dies. Diesen Begriffen entsprechen Operationen, also intensionale Begriffe. Keine Extensionen. Salmon IV 252 Intensionale Definition: sprachliche Definition. Bsp "explizite Definition". IV 253 Def explizite Definition: Angabe eines Wortes oder einer Wortverbindung mit derselben Wortbedeutung. Bsp "verlogen" = "unehrlich" "Pentagon"= "Fünfeck", "Junggeselle" = "unverheirateter Mann". |
Texte zur Logik Me I Albert Menne Folgerichtig Denken Darmstadt 1988 HH II Hoyningen-Huene Formale Logik, Stuttgart 1998 Re III Stephen Read Philosophie der Logik Hamburg 1997 Sal IV Wesley C. Salmon Logik Stuttgart 1983 Sai V R.M.Sainsbury Paradoxien Stuttgart 2001 Re III St. Read Philosophie der Logik Hamburg 1997 Sal I Wesley C. Salmon Logik Stuttgart 1983 Sal II W. Salmon The Foundations Of Scientific Inference 1967 SalN I N. Salmon Content, Cognition, and Communication: Philosophical Papers II 2007 |
| Klassen | Carnap | VI 99 Klasse/Carnap: Die Klasse ist das Gemeinsame ihrer Elemente - aber nicht als gemeinsame Bestandteile. >Elementrelation, >Komprehension, >Mengenlehre, >Mengen, >Teilmengen. |
Ca I R. Carnap Die alte und die neue Logik In Wahrheitstheorien, G. Skirbekk (Hg) Frankfurt 1996 Ca II R. Carnap Philosophie als logische Syntax In Philosophie im 20.Jahrhundert, Bd II, A. Hügli/P.Lübcke (Hg) Reinbek 1993 Ca IV R. Carnap Mein Weg in die Philosophie Stuttgart 1992 Ca IX Rudolf Carnap Wahrheit und Bewährung. Actes du Congrès International de Philosophie Scientifique fasc. 4, Induction et Probabilité, Paris, 1936 In Wahrheitstheorien, Gunnar Skirbekk Frankfurt/M. 1977 Ca VI R. Carnap Der Logische Aufbau der Welt Hamburg 1998 CA VII = PiS R. Carnap Sinn und Synonymität in natürlichen Sprachen In Zur Philosophie der idealen Sprache, J. Sinnreich (Hg) München 1982 Ca VIII (= PiS) R. Carnap Über einige Begriffe der Pragmatik In Zur Philosophie der idealen Sprache, J. Sinnreich (Hg) München 1982 |
| Klassen | Prior | I 63 Klasse/Prior: Eine Klasse denken wir uns als Term für das, was wir als identisch beschreiben, wenn Bedingung (2) erfüllt ist: (2) ∏x∏yEφxyψxy. >Mengen, >Mengenlehre, >Komprehension. |
Pri I A. Prior Objects of thought Oxford 1971 Pri II Arthur N. Prior Papers on Time and Tense 2nd Edition Oxford 2003 |
| Koextension | Carnap | VI 43/4 Def koextensiv/Carnap: umfangsgleichen Eigenschaften kommt dieselbe Klasse zu - Vorbereich: Klasse der möglichen Vorderglieder. Def homogen: ist eine Relation, wenn Vor- und Nachbereich sphärenverwandt sind. Def konstituieren: einen Begriff auf einen anderen zurückführen (Reduktion) - Problem: Umformungsregel. >Elementrelation, >Komprehension, >Mengenlehre, >Mengen, >Teilmengen. VI 48 Def logischer Komplex/Carnap: ist ein Gegenstand auf andere zurückführbar, nennen wir ihn einen Komplex der anderen Gegenstände. Klassen und Relationen sind Komplexe. Sie bestehen nicht aus ihren Elementen. >Komplex/Carnap. |
Ca I R. Carnap Die alte und die neue Logik In Wahrheitstheorien, G. Skirbekk (Hg) Frankfurt 1996 Ca II R. Carnap Philosophie als logische Syntax In Philosophie im 20.Jahrhundert, Bd II, A. Hügli/P.Lübcke (Hg) Reinbek 1993 Ca IV R. Carnap Mein Weg in die Philosophie Stuttgart 1992 Ca IX Rudolf Carnap Wahrheit und Bewährung. Actes du Congrès International de Philosophie Scientifique fasc. 4, Induction et Probabilité, Paris, 1936 In Wahrheitstheorien, Gunnar Skirbekk Frankfurt/M. 1977 Ca VI R. Carnap Der Logische Aufbau der Welt Hamburg 1998 CA VII = PiS R. Carnap Sinn und Synonymität in natürlichen Sprachen In Zur Philosophie der idealen Sprache, J. Sinnreich (Hg) München 1982 Ca VIII (= PiS) R. Carnap Über einige Begriffe der Pragmatik In Zur Philosophie der idealen Sprache, J. Sinnreich (Hg) München 1982 |
| Leere Menge | Quine | IX 218 Leere Menge/Nullklasse/Quine: Λ ungleich 0! (Für Freges 0, nämlich {Λ}. ad IX 226ff Leere Menge/Nullklasse/(s): anders als Definitionslücke (Bsp Stetigkeit, durch Null teilen.) - Echte Lücke: eine wohldefinierte Bedingung wird nicht erfüllt, Bsp Primzahlen zwischen 31 und 37: 5 natürliche Zahlen erfüllen die Bedingung nicht, 0 natürliche Zahlen erfüllen die Bedingung, für unendlich viele rationale Zahlen oder reelle Zahlen ist die Bedingung nicht definiert. ((s) Allklasse/(s): fraglich, ob, wenn es nichts gibt, was die Bedingung nicht erfüllt, überhaupt von einer Menge gesprochen werden kann (weil es keinem Begriff entspricht. > Komprehensionsaxiom). - Andersherum: was sollte die Bedingung für die Allklasse sein?) Weitere Einträge zu Leere Menge/Quine. |
Quine I W.V.O. Quine Wort und Gegenstand Stuttgart 1980 Quine II W.V.O. Quine Theorien und Dinge Frankfurt 1985 Quine III W.V.O. Quine Grundzüge der Logik Frankfurt 1978 Quine V W.V.O. Quine Die Wurzeln der Referenz Frankfurt 1989 Quine VI W.V.O. Quine Unterwegs zur Wahrheit Paderborn 1995 Quine VII W.V.O. Quine From a logical point of view Cambridge, Mass. 1953 Quine VII (a) W. V. A. Quine On what there is In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (b) W. V. A. Quine Two dogmas of empiricism In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (c) W. V. A. Quine The problem of meaning in linguistics In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (d) W. V. A. Quine Identity, ostension and hypostasis In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (e) W. V. A. Quine New foundations for mathematical logic In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (f) W. V. A. Quine Logic and the reification of universals In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (g) W. V. A. Quine Notes on the theory of reference In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (h) W. V. A. Quine Reference and modality In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (i) W. V. A. Quine Meaning and existential inference In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VIII W.V.O. Quine Bezeichnung und Referenz In Zur Philosophie der idealen Sprache, J. Sinnreich (Hg) München 1982 Quine IX W.V.O. Quine Mengenlehre und ihre Logik Wiesbaden 1967 Quine X W.V.O. Quine Philosophie der Logik Bamberg 2005 Quine XII W.V.O. Quine Ontologische Relativität Frankfurt 2003 Quine XIII Willard Van Orman Quine Quiddities Cambridge/London 1987 |
| Mathematik | Field | I 80 Existenz/Field: Existenz sollte nicht Teil der Logik sein, daher kann Mathematik nicht auf Logik reduziert werden - sonst müssten zu viele Eigenschaften angenommen werden. >Mathematische Entitäten. I 80f Mathematik/Wissen/Field: Dennoch ist mathematisches Wissen einfach logisches Wissen aufgrund des Deflationismus. >Deflationismus. Es gibt zwei Arten von Wissen: mathematisches Wissen ist nicht logisches Wissen: Bsp was andere Mathematiker akzeptieren. I 112 Dieses Wissen ist empirisch. III 9 Reine Mathematik/Anwendung/Field: Bsp Zahlentheorie: Die Zahlentheorie ist gar nicht auf die Welt anwendbar. Bsp Mengenlehre: Die Mengenlehre muss für die Anwendung Urelemente zulassen. >Mengenlehre. Lösung: "unreine Mathematik": sind Funktionen, die physikalische Objekte auf Zahlen abbilden, dann müssen die Komprehensionsaxiome auch nicht-mathematisches Vokabular enthalten, Bsp Instanzen des Abtrennungsaxioms. III 13 Mathematik/Field: Mathematik kann sich als inkonsistent herausstellen, auch wenn dies extrem unwahrscheinlich ist. Dann wäre sie auch nicht-konservativ. Mathematik ist also nicht a priori wahr. >Konservativität. |
Field I H. Field Realism, Mathematics and Modality Oxford New York 1989 Field II H. Field Truth and the Absence of Fact Oxford New York 2001 Field III H. Field Science without numbers Princeton New Jersey 1980 Field IV Hartry Field "Realism and Relativism", The Journal of Philosophy, 76 (1982), pp. 553-67 In Theories of Truth, Paul Horwich Aldershot 1994 |
| Mengen | Cantor | Quine IX 15 Klassen/Mengen/Cantor: (historischer Brief, 1899): Def Menge/Cantor: Klasse oder Vielheit, Quine IX 16 die man als "zusammenhängend" denken kann, als von einer "Einheit" oder einem "fertigen" Ding. Def Klasse/Cantor: Postulat: Eine Klasse oder Vielheit ist eine Menge, wenn sie von derselben Mächtigkeit wie eine Menge ist, oder wenn sie eine Teilklasse einer Menge ist, oder wenn sie die Klassen aller Elemente von Elementen einer Menge ist. >Elementrelation, >Komprehension, >Mengenlehre, >Mengen, >Teilmengen. |
Quine I W.V.O. Quine Wort und Gegenstand Stuttgart 1980 Quine II W.V.O. Quine Theorien und Dinge Frankfurt 1985 Quine III W.V.O. Quine Grundzüge der Logik Frankfurt 1978 Quine V W.V.O. Quine Die Wurzeln der Referenz Frankfurt 1989 Quine VI W.V.O. Quine Unterwegs zur Wahrheit Paderborn 1995 Quine VII W.V.O. Quine From a logical point of view Cambridge, Mass. 1953 Quine VII (a) W. V. A. Quine On what there is In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (b) W. V. A. Quine Two dogmas of empiricism In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (c) W. V. A. Quine The problem of meaning in linguistics In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (d) W. V. A. Quine Identity, ostension and hypostasis In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (e) W. V. A. Quine New foundations for mathematical logic In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (f) W. V. A. Quine Logic and the reification of universals In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (g) W. V. A. Quine Notes on the theory of reference In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (h) W. V. A. Quine Reference and modality In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (i) W. V. A. Quine Meaning and existential inference In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VIII W.V.O. Quine Bezeichnung und Referenz In Zur Philosophie der idealen Sprache, J. Sinnreich (Hg) München 1982 Quine IX W.V.O. Quine Mengenlehre und ihre Logik Wiesbaden 1967 Quine X W.V.O. Quine Philosophie der Logik Bamberg 2005 Quine XII W.V.O. Quine Ontologische Relativität Frankfurt 2003 Quine XIII Willard Van Orman Quine Quiddities Cambridge/London 1987 |
| Mengen | Carnap | Quine IX 15 Klassen/Mengen/Cantor: (historischer Brief, 1899): Def Menge/Cantor: Klasse oder Vielheit, Quine IX 16 die man als "zusammenhängend" denken kann, als von einer "Einheit" oder einem "fertigen" Ding. Def Klasse/Cantor: Postulat: eine Klasse oder Vielheit ist eine Menge, wenn sie von derselben Mächtigkeit wie eine Menge ist, oder wenn sie eine Teilklasse einer Menge ist, oder wenn sie die Klassen aller Elemente von Elementen einer Menge ist. >Elementrelation, >Komprehension, >Mengenlehre, >Mengen, >Teilmengen. |
Ca I R. Carnap Die alte und die neue Logik In Wahrheitstheorien, G. Skirbekk (Hg) Frankfurt 1996 Ca II R. Carnap Philosophie als logische Syntax In Philosophie im 20.Jahrhundert, Bd II, A. Hügli/P.Lübcke (Hg) Reinbek 1993 Ca IV R. Carnap Mein Weg in die Philosophie Stuttgart 1992 Ca IX Rudolf Carnap Wahrheit und Bewährung. Actes du Congrès International de Philosophie Scientifique fasc. 4, Induction et Probabilité, Paris, 1936 In Wahrheitstheorien, Gunnar Skirbekk Frankfurt/M. 1977 Ca VI R. Carnap Der Logische Aufbau der Welt Hamburg 1998 CA VII = PiS R. Carnap Sinn und Synonymität in natürlichen Sprachen In Zur Philosophie der idealen Sprache, J. Sinnreich (Hg) München 1982 Ca VIII (= PiS) R. Carnap Über einige Begriffe der Pragmatik In Zur Philosophie der idealen Sprache, J. Sinnreich (Hg) München 1982 Quine I W.V.O. Quine Wort und Gegenstand Stuttgart 1980 Quine II W.V.O. Quine Theorien und Dinge Frankfurt 1985 Quine III W.V.O. Quine Grundzüge der Logik Frankfurt 1978 Quine V W.V.O. Quine Die Wurzeln der Referenz Frankfurt 1989 Quine VI W.V.O. Quine Unterwegs zur Wahrheit Paderborn 1995 Quine VII W.V.O. Quine From a logical point of view Cambridge, Mass. 1953 Quine VII (a) W. V. A. Quine On what there is In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (b) W. V. A. Quine Two dogmas of empiricism In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (c) W. V. A. Quine The problem of meaning in linguistics In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (d) W. V. A. Quine Identity, ostension and hypostasis In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (e) W. V. A. Quine New foundations for mathematical logic In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (f) W. V. A. Quine Logic and the reification of universals In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (g) W. V. A. Quine Notes on the theory of reference In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (h) W. V. A. Quine Reference and modality In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (i) W. V. A. Quine Meaning and existential inference In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VIII W.V.O. Quine Bezeichnung und Referenz In Zur Philosophie der idealen Sprache, J. Sinnreich (Hg) München 1982 Quine IX W.V.O. Quine Mengenlehre und ihre Logik Wiesbaden 1967 Quine X W.V.O. Quine Philosophie der Logik Bamberg 2005 Quine XII W.V.O. Quine Ontologische Relativität Frankfurt 2003 Quine XIII Willard Van Orman Quine Quiddities Cambridge/London 1987 |
| Mengen | Field | I 157f Operator/Mengen/Field: Mengen können aus dem Operator "genau dieselben Dinge, die __ sind, sind __" plus Prädikat-Funktor "{x I...}" gewonnen werden. >Komprehension, >Mengenlehre, >Klassen, >Operatoren. |
Field I H. Field Realism, Mathematics and Modality Oxford New York 1989 Field II H. Field Truth and the Absence of Fact Oxford New York 2001 Field III H. Field Science without numbers Princeton New Jersey 1980 Field IV Hartry Field "Realism and Relativism", The Journal of Philosophy, 76 (1982), pp. 553-67 In Theories of Truth, Paul Horwich Aldershot 1994 |
| Mengen | Frege | IV 14/15 Menge/Klasse/Begriff/FregeVsSchröder: Man kann nicht von "Klassen" sprechen, ohne schon einen Begriff vorgegeben zu haben. ((s) >Intension bestimmt >Extension; >Komprehension). IV 95 Klasse/Frege: Eine Klasse ist ein Begriffsumfang, nicht der Begriff. |
F I G. Frege Die Grundlagen der Arithmetik Stuttgart 1987 F II G. Frege Funktion, Begriff, Bedeutung Göttingen 1994 F IV G. Frege Logische Untersuchungen Göttingen 1993 |
| Mengen | Quine | IX 21 Ontologie/Klassen/Mengen/Relationen/Quine: Klassen und Relationen als Werte von quantifizierbaren Variablen müssen als reale Objekte angesehen werden. >Ontologie/Quine. IX 219f Menge/Quine: die Eigenschaft, eine Menge zu sein, bedeutet nur, dass Ez(x ε z). ((s) Es gibt etwas, wovon x ein Teil ist). - Dann Ey∀x(x e y ↔ (∃z(x ε z) ∧ Fx)). - Da ∃z(x ε z) x ε Uϑ. - Noch knapper: a ∩ Uϑ ε ϑ. - Uϑ ist dann die klasse aller Mengen. - Der Witz ist, dass ϑ ε ϑ (sofern es äußerste Klassen gibt), also ist Uϑ immer noch die umfassendste Klasse, die existiert. - Die Bedingung, eine Menge zu sein: ∃y(z ε y). III 318 Mengen/Klassen/von Neumann/Quine: (...) Klassen sind nicht Mengen. IX 228 Menge/Neumann/Quine: eine Klasse ist eine Menge, wenn sie nicht größer als eine gewisse Menge ist (Mengen können Element sein, Klassen nicht). IV 418 Ontologie/Quine: Maßstäbe der ontologischen Zulässigkeit: zwei Prinzipien. 1. Keine Entität ohne Identität. 2. Ontologische Sparsamkeit. Quine zufolge gibt es physische Gegenstände und Mengen. V 149 Klasse/Menge/Quantifikation/Quine: klassisch ist die Quantifikation über Klassen eine Gegenstands Quantifikation (referentielle Q.). >Quantifikation. Klasse: abstrakte Termini für Klassen sind singuläre Termini. Enthaltensein/Epsilon/Quine: „ε“ ist ein zwei stelliges Prädikat oder relativer allg Term. „Ist ein Element von“. (Stammt von der Prädikationskopula „ist ein“). Schreibweise/(s): hier eigentlich nicht Epsilon). Frage/(s): ist die Relation selbst oder das Zeichen der allg Term? Jetzt ergibt sich der Satz der Komprehension: V 150 Komprehension/Quine: (1) (EZ)(x)(x ε Z . ≡ Fx) Der Satz der Komprehension ordnet jeder Element Beziehung eine Klasse zu. |
Quine I W.V.O. Quine Wort und Gegenstand Stuttgart 1980 Quine II W.V.O. Quine Theorien und Dinge Frankfurt 1985 Quine III W.V.O. Quine Grundzüge der Logik Frankfurt 1978 Quine V W.V.O. Quine Die Wurzeln der Referenz Frankfurt 1989 Quine VI W.V.O. Quine Unterwegs zur Wahrheit Paderborn 1995 Quine VII W.V.O. Quine From a logical point of view Cambridge, Mass. 1953 Quine VII (a) W. V. A. Quine On what there is In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (b) W. V. A. Quine Two dogmas of empiricism In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (c) W. V. A. Quine The problem of meaning in linguistics In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (d) W. V. A. Quine Identity, ostension and hypostasis In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (e) W. V. A. Quine New foundations for mathematical logic In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (f) W. V. A. Quine Logic and the reification of universals In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (g) W. V. A. Quine Notes on the theory of reference In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (h) W. V. A. Quine Reference and modality In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (i) W. V. A. Quine Meaning and existential inference In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VIII W.V.O. Quine Bezeichnung und Referenz In Zur Philosophie der idealen Sprache, J. Sinnreich (Hg) München 1982 Quine IX W.V.O. Quine Mengenlehre und ihre Logik Wiesbaden 1967 Quine X W.V.O. Quine Philosophie der Logik Bamberg 2005 Quine XII W.V.O. Quine Ontologische Relativität Frankfurt 2003 Quine XIII Willard Van Orman Quine Quiddities Cambridge/London 1987 |
| Mengen | Wessel | I 359 Menge/Wessel:Mengen entstehen aus aus Abstraktion. Dagegen Anhäufung: durch Zusammenfassung. >Abstraktion, >Komprehension, >Mengen, >Mengenlehre, >Klassen, >Klassifikation, >Ordnung, >Ähnlichkeit, >Gleichheit, >Identität. |
Wessel I H. Wessel Logik Berlin 1999 |
| Mengenlehre | Mengenlehre: Das System von Regeln und Axiomen, das die Bildung von Mengen regelt. Die Elemente sind hier ausschließlich Zahlen. Mengen enthalten Einzelgegenstände, also Zahlen als Elemente. Des Weiteren enthalten Mengen Teilmengen, also wiederum Mengen von Elementen. Die Menge aller Teilmengen einer Menge heißt ihre Potenzmenge. Jede Menge enthält die leere Menge als Teilmenge, jedoch nicht als Element. Die Größe von Mengen wird als Mächtigkeit bezeichnet. Mengen, die dieselben Elemente enthalten, sind identisch. Siehe auch Komprehension, Komprehensionsaxiom, Auswahlaxiom, Unendlichkeitsaxiom, Paarmengenaxiom, Extensionalitätsprinzip. |
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| Mengenlehre | Prior | I 165 Substantive/Prior: Substantive sind keine Namen, auch keine Klassennamen. >Namen, >Singuläre Termini, >Allgemeine Termini, >Termini, >Wörter, >Wortbedeutung, >Referenz, >Prädikation, >Benennen, >Bezeichnen, >Designation, >Denotation, >Komprehension. Epsilon/Principia Mathematica(1)/Russell: "x ε a": Übersetzung: "A ist ein Element der Klasse der Menschen". - Scheint eine Relation zwischen konkretem und abstrakten Objekt zu sein. >Elementrelation. Vs: Nach der Typentheorie: besser "x ist ein a": "Russell ist ein Mensch" - Prior: "ist ein" ist kein echtes Verb, das einen Satz aus einem Namen bildet, eher einen Satz aus Namen und Substantiv. - "ε" kein echtes Prädikat. >Prädikate, >Prädikation, >Ist, >Typentheorie. 1. Whitehead, A.N. and Russel, B. (1910). Principia Mathematica. Cambridge: Cambridge University Press. |
Pri I A. Prior Objects of thought Oxford 1971 Pri II Arthur N. Prior Papers on Time and Tense 2nd Edition Oxford 2003 |
| Paradoxien | Quine | VI 124 Komprehension/Paradoxien/Quine: dass jede Elementbeziehung (jeder Begriff) eine Menge ergibt, geht nicht wegen Burali-Forti usw. - Lösung: diese Elementbeziehungen (Bedingungen) legen vielleicht Mengen, vielleicht letzte (äußerste) Klassen fest - äußerste Klasse: kann nicht selbst wieder Element sein - werden Schicht um Schicht eingeführt - für klassische Mathematik reicht schon "wahr0" aus. - Alles in einer Sprache - Hierarchie von W-Prädikaten. >W-Prädikat. VII (g) 136 Paradoxien/Quine: treten nicht mehr auf, wenn man die Ebenen der Sprachen auseinander hält, d.h. die Ausdrücke "wahr-in-L", "benennt-in-L"usw. aus der Sprache L selbst heraushält IX 124 Burali-Forti/Paradoxie/Quine: "die Klasse der Ordinalzahlen existiert nicht" :"NO ε ϑ": ist gezähmte Fassung der Burali-Forti: dass es eine größte Ordinalzahl geben muss und gleichzeitig nicht geben kann. - reductio ad absurdum der Vergleichbarkeit der Ordinalzahlen - Lösung/heute: man nimmt nicht an, dass jede Bedingung über das Bestehen einer Elementbeziehung eine Klasse bestimmt. X 70 Grelling Paradoxie/Quine: "x erfüllt sich nicht selbst" darf in der Objektsprache nicht vorkommen. >Objektsprache. |
Quine I W.V.O. Quine Wort und Gegenstand Stuttgart 1980 Quine II W.V.O. Quine Theorien und Dinge Frankfurt 1985 Quine III W.V.O. Quine Grundzüge der Logik Frankfurt 1978 Quine V W.V.O. Quine Die Wurzeln der Referenz Frankfurt 1989 Quine VI W.V.O. Quine Unterwegs zur Wahrheit Paderborn 1995 Quine VII W.V.O. Quine From a logical point of view Cambridge, Mass. 1953 Quine VII (a) W. V. A. Quine On what there is In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (b) W. V. A. Quine Two dogmas of empiricism In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (c) W. V. A. Quine The problem of meaning in linguistics In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (d) W. V. A. Quine Identity, ostension and hypostasis In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (e) W. V. A. Quine New foundations for mathematical logic In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (f) W. V. A. Quine Logic and the reification of universals In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (g) W. V. A. Quine Notes on the theory of reference In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (h) W. V. A. Quine Reference and modality In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (i) W. V. A. Quine Meaning and existential inference In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VIII W.V.O. Quine Bezeichnung und Referenz In Zur Philosophie der idealen Sprache, J. Sinnreich (Hg) München 1982 Quine IX W.V.O. Quine Mengenlehre und ihre Logik Wiesbaden 1967 Quine X W.V.O. Quine Philosophie der Logik Bamberg 2005 Quine XII W.V.O. Quine Ontologische Relativität Frankfurt 2003 Quine XIII Willard Van Orman Quine Quiddities Cambridge/London 1987 |
| Paradoxien | Thiel | I 321 Fehlschlüsse/Thiel: interessieren nur dann, wenn sie als "Trugschlüsse" absichtsvoll herbeigeführt werden, oder in Form von "Sophismen" vermeintlich legitime Schlüsse in eine Argumentation einschmuggeln, oder wie bei Kant sog. "Paralogismen" die "in der Natur der Menschenvernunft" ihren Grund haben und daher "unvermeidlich obzwar nicht unauflöslich" sind. Bsp arithmetischer Trugschluss: 5 = 7. (I 321 +). Bsp Syllogismus mit einer quaternia terminorum (verstecktes Auftreten von vier statt drei erlaubter Begriffe in einem Schlussschema Fliegende Elefanten sind Fantasievorstellungen. Fantasievorstellungen sind Teil unserer Wirklichkeit. Also sind fliegende Elefanten Teil unserer Wirklichkeit. Paradoxien sind etwas der gewöhnlichen Meinung (doxa) Zuwiderlaufendes. Andere Form: in eine Rätsellösung verpackte Tatsache. Bsp Dass ein eng um den Äquator gelegtes Band nach Verlängerung um nur einen Meter plötzlich um 1/2π, d.h. um etwa 16cm abstehen würde. I 322 Im alltägliche Gebrauch sind Paradoxien oft lediglich Kalauer, wie der Hypochonder, der sich lediglich einbildet, Wahnvorstellungen zu haben (Definitionsfrage) oder das "Murphysche Gesetz" dass alles länger dauert, auch wenn man das bereits berücksichtigt hat. Da in der englischsprachigen wissenschaftlichen Literatur "paradox" beides, Paradoxien (nicht wirkliche Antinomien) und Antinomien steht, hat sich eine Unterscheidung bisher nicht durchgesetzt. I 327 Bsp "Krokodilschluss" (schon in der Antike bekannt): Ein Krokodil hat ein Kind geraubt, die Mutter fleht es an, es zurückzugeben. Das Krokodil stellt die Aufgabe, zu erraten, was es als nächstes tun werde. Die Mutter (logisch vorgebildet) sagt: Du wirst es mit nicht zurückgeben. Daher Pattsituation. Denn die Mutter argumentiert jetzt, das Krokodil müsse das Kind zurückgeben, denn falls die Aussage wahr sei, bekomme sie es aufgrund der Vereinbarung zurück, sei sie aber falsch, so sei es eben falsch, dass sie das Kind nicht zurückbekomme, also weil es wahr, dass sie es bekomme. Das Krokodil dagegen argumentiert, das es das Kind nicht zurückzugeben brauche, denn wenn die Aussage der Mutter falsch sei, bekomme sie es aufgrund der Vereinbarung nicht zurück, sei es aber wahr, so besage dies ja gerade, dass sie das Kind nicht zurückerhalte. Erst eine sorgfältige Analyse deckt auf, dass die getroffene Vereinbarung ja noch keine Handlungsregel liefert. Steht "z" für dass Zurückgeben, "a" für die Antwort der Mutter, (die noch unbestimmt, daher nur schematisch durch a repräsentiert sein kann) so liefert die Vereinbarung noch kein befolgbares Regelsystem, sondern das Regelschema "a" ε wahr >> z "a" ε falsch >> ~z Wird dabei der Variabilitätsbereich von a nicht eingeschränkt, so kann man auch Wahlen von a treffen, die mit Tarskis Adäquatheitsbedingung für Wahrheitsdefinitionen unverträglich sind. Vgl. >Adäquatheit/Tarski, >Konvention W. I 328 Diese besagt, dass für ein Wahrheitsprädikat "W" und jede Aussage p, von der es sinnvoll ausgesagt werden kann, stets "p" ε W <> p gelten muss. In dem Krokodilschluss wählt die Mutter ~z für a und macht dadurch aus dem Regelschema das Regelsystem (R1) "~z" ε wahr >> z (R2) "~z" ε falsch >> ~z Das Krokodil schließt nun einerseits nach R2 und andererseits nach Tarski (mit ~z für p) auf ~z. Die Mutter dagegen schließt einerseits nach R1 und andererseits metalogisch von der Falschheit von "~z" sowie von da (nach Tarski) weiter auf z. Da die Argumentation von einem Wahrheits- und einem Falschheitsprädikat sowie dem Zusammenhang zwischen beiden Gebrauch macht, zählt man den Krokodilschluss gewöhnlich zu den "semantischen" Antinomien. Man kann in ihm einen Vorläufer der Russellschen Antinomie sehen. >Russellsche Paradoxie. Thiel I 328 Man sollte nicht vorschnell daraus ableiten, dass die Antinomien und Paradoxien für die Mathematik keine Bedeutung haben. Sowohl Poincarés Kriterium (Imprädikativität) als auch die Typentheorie erzwingen eine Einschränkung des sogenannten Komprehensionsaxioms, das die als definierende Bedingungen für Mengen zulässigen Aussageformen bestimmt. >Imprädikativität, >Komprehension, >Typentheorie. |
T I Chr. Thiel Philosophie und Mathematik Darmstadt 1995 |
| Stufen | Field | II 345 Unbestimmtheit 2. Stufe: Es ist unbestimmt, ob ein unentscheidbarer Satz einen bestimmten Wahrheitswert hat. >Platonismus. II 354 Logik/Theorie 2. Stufe/Field/(s): Die Logik schließt Nicht-Standard-Modelle besser aus als die Theorie 1. Stufe. Die 2. Stufe hat kein imprädikatives Komprehensionsschema. >Logik zweiter Ordnung, >Verstehen, >Unintendierte Modelle, >Modelle, >Modelltheorie III 33 Theorie 1. Stufe/Field: Bsp die Theorie der Raumzeit-Punkte ((s) Bsp Theorie, die nur Funktionen gebraucht, aber nicht über sie quantifiziert). >Quantifikation. Theorie 2. Stufe/Field: Bsp eine Theorie der reellen Zahlen, weil sie über Funktionen quantifiziert. Mengen höherer Stufe werden für die Definition der Kontinuität und der Differenzierbarkeit gebraucht. III 37 Theorie 1. Stufe/2. Stufe/Hilbert/Field. Variablen 1. Stufe: über Punkte, Linien, Flächen. - 2. Stufe: Mengen von ... Lösung/Field: Quantifikation 2. Stufe in Hilberts Geometrie als Quantifikation über Regionen. Einziges Axiom 2. Stufe: Dedekinds Kontinuitäts-Axiom. III 95 f Logik 2. Stufe/Field: Bsp Quantoren wie "Es gibt nur endlich viele" ((s) quantifiziert über Mengen). - auch nicht: Bsp "Es gibt weniger Fs als Gs". >Quantoren. III 98 Erweiterung der Logik: Die Erweiterung der Logik bewahrt uns vor einem Riesenreich an zusätzlich angenommenen Entitäten - Bsp "Was der Gravitationstheorie gehorcht". - QuineVs: Es ist besser abstrakte Entitäten anzunehmen, als die Logik zu erweitern (Quine in diesem Fall pro Platonismus). III 96 Platonismus 1. Stufe/Field: Der Platonismus 1. Stufe akzeptiert abstrakte Entitäten, aber keine Logik 2. Stufe. Problem: Er braucht diese aber wegen der Mächtigkeits-Quantoren. |
Field I H. Field Realism, Mathematics and Modality Oxford New York 1989 Field II H. Field Truth and the Absence of Fact Oxford New York 2001 Field III H. Field Science without numbers Princeton New Jersey 1980 Field IV Hartry Field "Realism and Relativism", The Journal of Philosophy, 76 (1982), pp. 553-67 In Theories of Truth, Paul Horwich Aldershot 1994 |
| Terminologien | Meixner | I 43f Tropen: individuelle Eigenschaften als Grundbausteine der Wirklichkeit - Dann gibt es keine Akzidentia sondern Substanzen. >Akzidens, >Substanz. Vs: Damit werden sprachliche Determinierungen übergangen, "Revisionäre" Ontologie: muss Sprache als irrelevant hinstellen. >Ontologie. I 45 Gruppenindividuum: Bsp "die ersten drei Kanzler" - Konstituenten: alle möglichen Kombinationen. - Aber: Adenauers Kopf ist Teil von Adenauer, aber kein (konstitutiver) Teil der Gruppe der ersten drei Kanzler. >Konstitution, >Mereologie, vgl. >Mengen, >Mengenlehre, >Komprehension. I 56f Individuale/Meixner: individuenähnliche Gegenstände: Bsp "das runde Quadrat" aber auch Bsp Sherlock Holmes, fiktive Personen und deren Körperteile, von denen nicht gesagt werden kann, ob sie gewisse Eigenschaften haben oder nicht haben - "Der Mann, der wusste, dass er nichts weiß": nicht Sokrates, sondern Individual (überdeterminiert: Wissen/Nichtwissen) >Individuen/Meixner. I 56 Def (ersteigenschaftlich) vollständig: Bsp Zahlen: man kann nicht sagen, dass sie lächeln oder nicht lächeln. >Zahlen, >Sinnloses. I 57 Def ersteigenschaftlich maximalkonsistent/Meixner: Entitäten, die ersteigenschaftlich vollständig und nicht ersteigenschaftlich überbestimmt sind. >Überdetermination, >Konsistenz, >Eigenschaften/Meixner. Def maximal konsistent/Wessel: (extern): eine Menge von Formeln, die konsistent sind und darüber hinaus keine weiteren konsistenten Formeln existieren. D.h. dass jede Hinzufügung einer weiteren Formel die Menge inkonsistent macht. Def maximalkonsistent/Meixner: von jeder Individueneigenschaft enthält das Individual entweder diese selbst oder seine Negation. ((s) >durchgängige Bestimmung/Kant). |
Mei I U. Meixner Einführung in die Ontologie Darmstadt 2004 |
| Unendlichkeit | Quine | V 165 Unendlich/materiell/Quine: wenn man unendlich viele Zeichen braucht (Bsp für natürliche Zahlen) kann man nicht sagen, ein Zeichen sei ein physikalischer Gegenstand, denn dann hören sie bald auf. - Auch nicht Formen als Klassen von Inskriptionen - Diese sind wieder physikalische Verwirklichungen von Formen. IX 64 Unendlich/Quine: wird erst bei Induktion notwendig - x = {y}, y = {z}, z = {w}....ad infinitum - das ist der Fall, wenn {,,,x} < i' ϑ und dennoch ~(x < x) - Komprehension: {,,,x} ∩ a ε ϑ ist zufriedenstellend. >Induktion. XIII 96 Unendliche Zahlen/Quine: Bsp Angenommen, wir ordnen Gegenstände willkürlich irgendwelchen Klassen zu, die einzige Einschränkung ist, dass kein Objekt zu mehr als einer Klasse gehören darf. Problem: dann wir es nicht genug Gegenstände für alle Klassen geben! Eine Klasse, für die es kein Korrelat gibt wird Bsp die Klasse aller Objekte, die nicht zu ihren korrelierten Klassen gehören. Denn ihr Korrelat müsste zu ihr gehören, gdw. es nicht zu ihr gehört. Cantor: bewies 1890, dass die Klassen von Gegenstände jeder Art die Zahl der Gegenstände übersteigen. XIII 97 Der Grund dafür hat mit den Paradoxien zu tun, wenn die Relation, von der dort die Rede ist, richtig spezifiziert ist. Es zeigt sich, dass es unendlich viele verschiedene Unendlichkeiten gibt. Bsp Es gibt mehr Klassen ganzer Zahlen als es ganze Zahlen gibt. Da es aber unendlich viele ganze Zahlen gibt, muss die Unendlichkeit der unendlich viele Klassen ganzer Zahlen von einer höheren Art sein. Bsp es gibt auch mehr Klassen von Klassen von ganzen Zahlen als es Klassen von ganzen Zahlen gibt. Das ist eine noch höhere Unendlichkeit. Das kann unendlich fortgesetzt werden. Das Argument hing hier von der Klasse der Nichtelemente mit sich selbst korrelierter Klassen (nonmembers of own correlated classes) ab. Russellsche Antinomie/Quine: hing ab von der Klasse von Nichtelementen ihrer selbst (nonelements of selves). >Russels Paradoxie. Cantorsche Paradoxie/Quine: wenn man die Korrelation als Selbstkorrelation nimmt, läuft Cantors Paradox auf Russells Paradox hinaus. So kam Russell auch darauf. Cantor/Theorem/Quine: sein Theorem ist selbst aber keine Paradoxie. Russells Antinomie/Lösung/Quine: wird so verhindert, wie man einen Spezialfall von Cantors Theorem ausschließt, der zu ihr führt. (siehe Paradoxien.) Cantor Theorem/Korollar/unspezifizierbare Klassen/Quine: die Existenz unspezifizierbarer Klassen folgt als Korollar aus Cantors Theorem. D.h. Klassen, für die wir die Enthaltenseinsbedingung nicht angeben können. Auch keinen anderen identifizierenden Zug. Bsp Die unendliche Gesamtheit grammatisch konstruierbarer Ausdrücke in einer Sprache. Nach Cantors Theorem übersteigt schon die Klasse solcher Ausdrücke die Ausdrücke selbst. Klassen/größer/kleiner/Kriterium/Quine: unser Kriterium für größere und kleinere Klassen war hier Korrelation. Def größer/Klassen/Mengen/Quine: eine Klasse ist größer als eine andere, wenn nicht jedes ihrer Elemente mit einem Element der anderen Klasse gepaart werden kann. XIII 98 Problem: nach diesem Kriterium kann keine Klasse größer sein, als eine ihrer echten Teilklassen (Teilmengen). Bsp danach ist die Klasse der positiven ganzen Zahlen nicht größer als die der geraden Zahlen. Denn wir können immer Paare zwischen ihren Elementen bilden. Das zeigt einfach, dass unendliche Mengen sich ungewöhnlich verhalten. Unendlich/größer/kleiner/Klassen/mengen/Quine: Sollen wir unser Kriterium deswegen ändern? Wir haben die Wahl: a) Wir können sagen, dass eine unendliche Klasse nicht größer sein muss als ihre echten Teilklassen, oder b) das Kriterium ändern und sagen, dass eine Klasse immer größer als ihre echten Teile ist, nur dass sie manchmal ausgeschöpft werden können durch Korrelation mit Elementen einer kleineren Klasse. pro a): ist einfacher und Standard. Das war auch Dedekinds Definition von unendlich. Unendlich/falsch: ein Student schrieb einmal, eine unendliche Klasse wäre „eine, die echter Teil von sich selbst“ sei. Das stimmt nicht, sondern sie ist eine Klasse, die nicht größer ist, als ein (some) echter Teil von ihr selbst. Bsp die positiven ganzen Zahlen sind nicht zahlreicher als die geraden Zahlen. Bsp auch nicht zahlreicher als die Vielfachen von 3 (nach derselben Überlegung). Und sie sind Bsp auch nicht weniger zahlreich als die rationalen Zahlen! Lösung: jeder Bruch (ratio) kann ausgedrückt werden durch x/y, wobei x und y positive ganze Zahlen sind, und dieses Paar kann eindeutig repräsentiert werden durch eine positive ganze Zahl 2x mal 3y. Umgekehrt: erhalten wir den Bruch, indem wir sehen wie oft diese ganze Zahl durch 2 bzw. durch 3 Teilbar ist. Unendlich/Quine: Bevor wir von Cantor lernten, dass es verschiedene Unendlichkeiten gibt, wären wir nicht überrascht gewesen, dass es nicht mehr Brüche als ganze Zahlen gibt. XIII 99 Nun sind wir aber doch überrascht! Unspezifizierbar: da es mehr reelle Zahlen gibt, als es Ausdrücke (Namen) gibt, gibt es also unspezifizierbare reelle Zahlen. Namen/Ausdrücke/Quine: es gibt nicht mehr Namen (Ausdrücke) als es positive ganze Zahlen gibt. Lösung: einfach die Namen (Ausdrücke alphabetisch innerhalb jeder Länge anordnen. Dann kann man sie mit positiven ganzen Zahlen nummerieren. Reelle Zahlen/Cantor/Quine: Cantor zeigte, dass es ebenso viele reelle Zahlen gibt wie Klassen von positiven ganzen Zahlen. Das haben wir oben gesehen (s.o. decimals and dimidials) dass die reellen Zahlen zwischen 0 und 1 in Korrelation mit der unendlichen Klasse der positiven ganzen Zahlen sind. |
Quine I W.V.O. Quine Wort und Gegenstand Stuttgart 1980 Quine II W.V.O. Quine Theorien und Dinge Frankfurt 1985 Quine III W.V.O. Quine Grundzüge der Logik Frankfurt 1978 Quine V W.V.O. Quine Die Wurzeln der Referenz Frankfurt 1989 Quine VI W.V.O. Quine Unterwegs zur Wahrheit Paderborn 1995 Quine VII W.V.O. Quine From a logical point of view Cambridge, Mass. 1953 Quine VII (a) W. V. A. Quine On what there is In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (b) W. V. A. Quine Two dogmas of empiricism In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (c) W. V. A. Quine The problem of meaning in linguistics In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (d) W. V. A. Quine Identity, ostension and hypostasis In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (e) W. V. A. Quine New foundations for mathematical logic In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (f) W. V. A. Quine Logic and the reification of universals In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (g) W. V. A. Quine Notes on the theory of reference In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (h) W. V. A. Quine Reference and modality In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (i) W. V. A. Quine Meaning and existential inference In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VIII W.V.O. Quine Bezeichnung und Referenz In Zur Philosophie der idealen Sprache, J. Sinnreich (Hg) München 1982 Quine IX W.V.O. Quine Mengenlehre und ihre Logik Wiesbaden 1967 Quine X W.V.O. Quine Philosophie der Logik Bamberg 2005 Quine XII W.V.O. Quine Ontologische Relativität Frankfurt 2003 Quine XIII Willard Van Orman Quine Quiddities Cambridge/London 1987 |
| Unendlichkeitsaxiom | Quine | IX 205 Def Unendlichkeitsaxiom/Quine: unendlich viele Elemente in Typen sollen möglich sein. Eine Möglichkeit: Tarski: dass es eine nicht leere Klasse x² gibt, derart, dass jedes ihrer Elemente Teilklasse eines weiteren Elements ist. Russell: zu jedem x² e N ³ gibt es eine Klasse y1 mit x² Elementen: kurz L² ε N³. (1) Ex² (Ey1(y1ε x²) u ∀y1[y1 ε x² › Ez1(y1 ‹ z1 ε x²)]). Vs: manche meinten, die Frage, ob es unendlich viele Individuen gäbe, sei eher eine Frage der Physik oder Metaphysik. Es sei unangemessen, die Arithmetik davon abhängen zu lassen. Russell und Whitehead bedauerten das UA und das Auswahlaxiom und machten beide von speziellen Fällen abhängig, So wie ich die meisten Komprehensionsannahmen. Fregesche natürliche Zahlen/Quine: sind von der Notwendigkeit es Unendlichkeitsaxioms geplagt, und zwar auch dann, wenn wir die Typentheorie, Liberalisierung und kumulative Typen oder endlich heterogene Klassen zulassen. Denn innerhalb jedes Typs gibt es eine endliche Schranke, wie groß eine Klasse sein kann, es sei denn, es gibt unendlich viele Individuen. Zermelos Zahlbegriff wäre hier eine Lösung, bringt aber Probleme mit der vollständigen Induktion. IX 206 Reelle Zahlen/Quine: für sie und darüber hinaus sind aber immer Unendlichkeitsaxiome notwendig. Unendlichkeitsaxiom/Zermelo: (5) Ex[Λ ε x u ∀y(y ε x › {y} ε x)]. Es postuliert eine Klasse, zu der zumindest alle natürlichen Zahlen in Zermelos Sinn gehören. Es ist äquivalent zu "N ε ϑ" denn N ist selbst ein x, das (5) erfüllt und umgekehrt, wenn x (5) erfüllt, so N ‹ x., und somit "N ε ϑ" nach dem Aussonderungsschema. Im Unterschied zu dem von Russell sagt dieses UA nichts über die Existenz von Individuen aus. Aber es trennt die letzten Verbindungen zur Typentheorie. Zermelos und Neumanns Zahlen sind sogar zur kumulativen Typentheorie antithetisch, denn eine solche Klasse sprengt die Grenzen aller Typen. Unendlichkeitsaxiome/Russell: wurde bei ihm durch das Subtraktionsgesetz "S'x = S'y > x = y" hervorgerufen. Andersrum gesagt: es wurde gebraucht, damit die natürlichen Zahlen nicht abbrechen. Gleicherweise für die reellen Zahlen. Aber seine Bedeutung geht noch weiter: jeder nachfolgende Typ ist die Klasse aller Teilklassen seines Vorgängers und somit nach dem Satz von Cantor größer als sein Vorgänger. Unendlich viele Individuen anzunehmen, bedeutet daher, höhere Unendlichkeiten ohne Ende anzunehmen. Bsp die Potenzklasse in (7) sagt, dass {x:x ‹ N} ε ϑ, und diese letzte Klasse ist nach dem Satz von Cantor größer als N. Und so geht es weiter nach oben. Unendlichkeitsaxiom/Zermelo: sprengt die Typengrenzen. Quine pro: das befreit uns von der Bürde die den Typenindices vergleichbar ist, denn selbst in der Typentheorie mit universellen Variablen waren wir zur Fregeschen Fassung der natürlichen Zahlen gezwungen, das bedeutete Anerkennung einer unterschiedlichen 5 in jedem Typ (über Klassen von Individuen) einer unterschiedlichen 6 in jedem Typ, einem unterschiedlichen N in jedem Typ usw. Dazu kommt noch, durch die ganze Hierarchie hindurch eine Vervielfachung aller Details der Theorie der reellen Zahlen. 3/5 ist in jedem nachfolgenden Typ etwas anderes und ebenso π, Q, R. Für alle diese Konstanten ist praktisch eine Beibehaltung der Typenindices erforderlich. In Zermelos System mit seinem Unendlichkeitsaxiom entfallen mit der Aufgabe der Typengrenzen solche Vervielfachungen. Zermelos Schutz bestand darin, daß er zu große Klassen mied. Für die umgekehrte Zusicherung, daß Klassen nur dann nicht existieren können, wenn sie größer wären als alle existierenden, wurden in seinem Aussonderungsschema nur sehr wenig Vorkehrungen getroffen. IX 208 Das machten erst Fraenkel und Skolem in ihrem Axiomenschema der Ersetzung. VII (e) 93 Unendlichkeitsaxiom/QuineVsRussell: Principia Mathematica(1) müssen durch das Unendlichkeitsaxiom ergänzt werden, wenn gewisse mathematische Prinzipien abgeleitet werden sollen. - Unendlichkeitsaxiom: sichert die Existenz einer Klasse mit unendlich vielen Elementen. - New Foundation/Quine: stattdessen kommt mit der Allklasse aus: V oder x^ (x = x). >Unendlichkeit, >Klassen. 1. Whitehead, A.N. and Russel, B. (1910). Principia Mathematica. Cambridge: Cambridge University Press. |
Quine I W.V.O. Quine Wort und Gegenstand Stuttgart 1980 Quine II W.V.O. Quine Theorien und Dinge Frankfurt 1985 Quine III W.V.O. Quine Grundzüge der Logik Frankfurt 1978 Quine V W.V.O. Quine Die Wurzeln der Referenz Frankfurt 1989 Quine VI W.V.O. Quine Unterwegs zur Wahrheit Paderborn 1995 Quine VII W.V.O. Quine From a logical point of view Cambridge, Mass. 1953 Quine VII (a) W. V. A. Quine On what there is In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (b) W. V. A. Quine Two dogmas of empiricism In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (c) W. V. A. Quine The problem of meaning in linguistics In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (d) W. V. A. Quine Identity, ostension and hypostasis In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (e) W. V. A. Quine New foundations for mathematical logic In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (f) W. V. A. Quine Logic and the reification of universals In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (g) W. V. A. Quine Notes on the theory of reference In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (h) W. V. A. Quine Reference and modality In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (i) W. V. A. Quine Meaning and existential inference In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VIII W.V.O. Quine Bezeichnung und Referenz In Zur Philosophie der idealen Sprache, J. Sinnreich (Hg) München 1982 Quine IX W.V.O. Quine Mengenlehre und ihre Logik Wiesbaden 1967 Quine X W.V.O. Quine Philosophie der Logik Bamberg 2005 Quine XII W.V.O. Quine Ontologische Relativität Frankfurt 2003 Quine XIII Willard Van Orman Quine Quiddities Cambridge/London 1987 |
| Universum | Quine | VII (e) 97 Universum/v.Neumann/Mengenlehre/Quine: teilt das Universum (of discourse) in Dinge, die Elemente sein können und solche, die es nicht sein können. Das, was für Zermelo existiert, sind v. Neumanns Elemente. Für die Existenz von Klassen, Elementen und anderem gibt es weitere Postulate, die jeder Bedingung φ genügt, deren gebundenen Variablen auf Elemente als Werte beschränkt sind. IX 221 Universum/Quine: wir erhalten unser erweitertes Universum, indem wir äußerste Klassen zu dem Universum von NF hinzufügen. Das resultierende System ist eine Vergrößerung des Systems von New Foundations nennen - wir können nicht das alte Komprehensionsschema von New Foundations ("x: Fx} ε ϑ" (Fx stratifiziert)") beibehalten. Denn z.B. "{x: x = x}" wird jetzt falsch. ((s) weil nicht stratifiziert). |
Quine I W.V.O. Quine Wort und Gegenstand Stuttgart 1980 Quine II W.V.O. Quine Theorien und Dinge Frankfurt 1985 Quine III W.V.O. Quine Grundzüge der Logik Frankfurt 1978 Quine V W.V.O. Quine Die Wurzeln der Referenz Frankfurt 1989 Quine VI W.V.O. Quine Unterwegs zur Wahrheit Paderborn 1995 Quine VII W.V.O. Quine From a logical point of view Cambridge, Mass. 1953 Quine VII (a) W. V. A. Quine On what there is In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (b) W. V. A. Quine Two dogmas of empiricism In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (c) W. V. A. Quine The problem of meaning in linguistics In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (d) W. V. A. Quine Identity, ostension and hypostasis In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (e) W. V. A. Quine New foundations for mathematical logic In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (f) W. V. A. Quine Logic and the reification of universals In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (g) W. V. A. Quine Notes on the theory of reference In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (h) W. V. A. Quine Reference and modality In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (i) W. V. A. Quine Meaning and existential inference In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VIII W.V.O. Quine Bezeichnung und Referenz In Zur Philosophie der idealen Sprache, J. Sinnreich (Hg) München 1982 Quine IX W.V.O. Quine Mengenlehre und ihre Logik Wiesbaden 1967 Quine X W.V.O. Quine Philosophie der Logik Bamberg 2005 Quine XII W.V.O. Quine Ontologische Relativität Frankfurt 2003 Quine XIII Willard Van Orman Quine Quiddities Cambridge/London 1987 |
| Vokabular | Field | II 237 Deflationismus/VsDeflationismus: Ist es möglich, dass die meisten unserer gegenwärtigen wissenschaftlichen Begriffe in deflationistischer Sicht weniger Kraft haben? >Deflationismus, >Begriffe, >Beobachtung, >Erklärung, >Theoriesprache. Field: Vielleicht ist das der Fall: Der Deflationismus zeigt, dass es keine beste Übersetzung der Newtonschen Begriffe in der heutigen Sprache gibt. >Theoriewechsel, >Bedeutungswandel. Neues Vokabular/Field: Neues Vokabular kann oft mit altem Vokabular plus Quantifikation höherer Ordnung eingefangen werden. Das ist z.B. beim Ramsey-Satz der Fall. >Konservativität, >Ramsey-Satz, >Quantifizierung, >Beschreibungsebenen, >Ebenen. II 267 Zutreffen/Erklärung/Beobachtung/Field: Unsere Beobachtungspraxis erklärt, wie unser physikalisches Vokabular auf all das und nur das zutrifft, worauf es zutrifft. Das erklärt, warum einige Nicht-Standard-Modelle unintendiert sind. >Erfüllung, >Referenz, >Unintendierte Modelle, >Modelle, >Modelltheorie. II 355 Unbestimmt/Sprache/McGee/Field: "Unbestimmt" heißt, Nicht-Standard-Modelle habend. Lösung: ist die Erweiterung durch ein Prädikat: Bsp "Standard-Natürliche Zahl". FieldVs: Das ist Mogelei. >Erweiterung/Field. Neue Axiome mit neuem Vokabular sind nicht besser als neue Axiome im alten Vokabular. Mogelei: Wäre es, anzunehmen, dass die neuen Prädikate bestimmte Extensionen haben. (Dennoch: FieldVsIndeterminismus). III 9 Reine Mathematik/Anwendung/Field: Bsp Zahlentheorie: ist gar nicht auf die Welt anwendbar. Bsp Mengenlehre: muss für die Anwendung Urelemente zulassen. Lösung: "unreine Mathematik": Funktionen, die physikalische Objekte auf Zahlen abbilden. Dann müssen die Komprehensionsaxiome auch nicht-mathematisches Vokabular enthalten. Bsp Instanzen des Abtrennungsaxioms. >Komprehension. |
Field I H. Field Realism, Mathematics and Modality Oxford New York 1989 Field II H. Field Truth and the Absence of Fact Oxford New York 2001 Field III H. Field Science without numbers Princeton New Jersey 1980 Field IV Hartry Field "Realism and Relativism", The Journal of Philosophy, 76 (1982), pp. 553-67 In Theories of Truth, Paul Horwich Aldershot 1994 |
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